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第二十九章 投影与视图
2022年新课标要求
学业要求 学生核心素养目标
1.理解平行投影和中心投影的概念、特征、区别与联系;能根据正投影的性质画出简单平面图形的正投影,并进行相关计算. 2.能识别和会画简单几何体的三视图.会根据复杂的三视图判断实物原型,能做出原事物的几何图形.由三视图想象出立体图形后能进行简单的面积或体积的计算. 3.根据三视图制作立体模型,体验平面图形向立体图形转化的过程,进一步感受立体图形与平面图形之间的联系. 经历观察实践、动手操作等小组合作探究活动,提高发现问题、解决问题的能力和发展抽象概括的思维能力,体会平面图形和立体图形的相互转化.培养学生全面观察的能力和空间想象能力.
29.1 投 影
第1课时 投影的概念
1.投影
(1)一般地,用光线照射物体,在某个 (地面、墙壁等)上得到的影子叫做物体的投影.照射光线叫做 ,投影所在的平面叫做 ;
(2)影子既与物体的形状有关,也与光线的照射方式有关.
2.平行投影和中心投影
(1)由 形成的投影叫做平行投影;
(2)由 发出的光线形成的投影叫做中心投影.
平面
投影线
投影面
平行光线
同一点(点光源)
平行投影
[例1] 如图所示,AB和DE是直立在地面上的两根立柱.AB=4 m,某一时刻AB在阳光下的投影BC=3 m.
(1)请你在图中画出此时DE在阳光下的投影;
(2)在测量AB的投影时,同时测量出DE在阳光下的投影长为8 m,那么DE的长为 m.
解:(1)如图所示,线段EF即为DE在阳光下的投影.
新知应用
1.下列四幅图中,表示两棵树在同一时刻阳光下的影子是( )
B
2.如图所示,小王晚上由路灯A下的B处向前走3 m到达C处时,测得影子CD的长为1 m,已知小王的身高是1.5 m,那么路灯A的高度AB等于
m.
6
中心投影
[例2] 如图(1)、图(2)所示,分别是两棵树及其影子的情形.
(1)哪个图反映了阳光下的情形 哪个图反映了路灯下的情形;
解:(1)图(1)反映了阳光下的情形,图(2)反映了路灯下的情形.
(2)请画出图中表示小丽影长的线段.
中心投影的“一点两不同”
新知应用
如图所示,平面直角坐标系中,一点光源位于 A(-3,4),线段BC的两个端点坐标分别为 B(-2,2)与C(0,2),则线段BC在x轴上的影子B′C′的长度为 .
4
1.一幢4层楼房只有一个窗户亮着一盏灯,一棵小树和一根电线杆在窗口灯光下的影子如图所示,则亮着灯的窗口是( )
A.1号窗口 B.2号窗口
C.3号窗口 D.4号窗口
B
2.如图所示,阳光从教室的窗户射入室内,窗户框AB在地面上的影长DE=1.8 m,窗户下檐到地面的距离BC=1 m,EC=1.2 m,那么窗户的高AB为( )
A.1.5 m B.1.6 m
C.1.86 m D.2.16 m
3.如图所示,电影胶片上每一个图片的规格为3.5 cm×3.5 cm,放映屏幕的规格为2 m×2 m,若放映机的光源S距胶片20 cm,那么光源S距
屏幕 m时,放映的图象刚好布满整个屏幕.
A
4.如图所示,在水平地面上竖立着一面墙AB,墙外有一盏路灯D,光线DC恰好通过墙的最高点B,且与地面形成37°角.墙在灯光下的影子为线段AC,并测得AC=5.5 m.求墙AB的高度(结果精确到0.1 m.参考数
据:tan 37°≈0.75,sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80).
第2课时 正投影
1.正投影
投影线 投影面产生的投影,叫做正投影.
2.正投影的性质
(1)当物体的某个面平行于投影面时,这个面的正投影与这个面的形状、大小 ;
(2)当物体的面倾斜于投影面时,这个面的正投影随着这个面的倾斜程度不同而发生变化;
(3)当物体的某个面垂直于投影面时,这个面的正投影为一条线段.
垂直于
完全相同
[提醒] 正投影规律:平行长不变,倾斜长缩短,垂直成一点.
正投影的作图
[例1] 如图所示的是某体育馆内的颁奖台,按照要求画出正投影.
(1)投影线由物体前方射到后方;
(2)投影线由物体上方射到下方.
正投影作图的三个步骤
(1)找点:找出图形的关键点;
(2)作线:分别过关键点作投影面的垂线,得到关键点的垂足;
(3)连线:连接各垂足,得到图形的正投影.
新知应用
画出图中所摆放的正三棱柱在投影面P上的正投影.
与正投影有关的计算
[例2] 如图所示,一个圆锥的轴截面平行于投影面,圆锥的正投影是△ABC,已知AB=AC=5,BC=6,求该圆锥的体积.
新知应用
1.一根笔直的小木棒(记为线段AB),它的正投影为CD,则下列各式中一定成立的是( )
A.AB=CD B.AB≤CD
C.AB>CD D.AB≥CD
D
2.如图所示,按投影线的方向画出圆锥的正投影,并求出正投影的面积和周长.
1.如图所示的是一个三棱柱,按投影线的方向,其正投影是( )
D
2.(2022田林模拟)矩形纸片在平行投影下的正投影不可能是( )
A.矩形 B.平行四边形
C.线段 D.点
D
3.随着光伏发电项目投资成本下降,越来越多的“光伏+”项目正在逐步走进我们的生活.光伏发电不仅能为城市提供清洁能源,还能减少城市污染和能源消耗.如图所示,长BC=8 m、宽AB=1.5 m的太阳能电池板与水平面成30°夹角,经过太阳光的正投影,它在水平面所形成的阴影的面积为( )
C
4.如图所示的是一个水管的三通管件,平行光线从左向右照射得到的正投影是( )
A
5.如图所示,已知木棒AB在投影面r上的正投影为A′B′,且AB=
20 cm,∠BAA′=120°,则A′B′的长为 .
6.如图所示,棱长为a cm的正方体其上下底面的对角线AC,A1C1与平面H垂直.
(1)指出正方体在平面H上的正投影图形;
(2)计算投影MNPQ的面积.
解:(1)正方体在平面H上的正投影图形是矩形MNPQ.
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29.2 三视图
第1课时 几何体的三视图
1.视图
当我们从某一方向观察一个物体时,所看到的 叫做物体的一个视图,视图可以看作物体在某一方向光线下的 .
2.三视图
对一个物体在三个投影面内进行正投影,在正面内得到的由前向后观察物体的视图,叫做 ;在水平面内得到的由上向下观察物体的视图,叫做 ;在侧面内得到的由左向右观察物体的视图,叫做 .
平面图形
正投影
主视图
俯视图
左视图
3.三视图的画法
(1)三视图的位置:主视图在左上方,它的正下方是俯视图,它的右边是左视图(如图所示);
长和高
长和宽
(2)三视图的特征:主视图可以反映物体的 ,俯视图可以反映物体的 ,左视图可以反映物体的 ;(3)三视图中各视图的大小关系:画三视图时,三个视图要放在正确的位置,并且主视图与俯视图的 ,主视图与左视图的 ,左视图与俯视图的 .
高和宽
长对正
高平齐
宽相等
简单几何体三视图的识别
[例1] (2022阜新)在如图所示的几何体中,俯视图和左视图相同的是( )
C
新知应用
1.(2022德州)如图所示几何体的俯视图为( )
C
2.由两个长方体和一个正方体组成的几何体如图所示,则它的主视图为( )
A
三视图的画法
[例2] 由8个棱长为1的相同小正方体搭成的几何体如图所示.
(1)请画出它的三视图;
解:(1)三视图如图所示.
(2)请计算它的表面积.
解:(2)从正面看,有6个面,从后面看,有6个面,从上面看,有5个面,从下面看,有5个面,从左面看,有4个面,从右面看,有4个面,
中间空处的两边两个正方形有2个面,
∴表面积为(6+4+5)×2+2=32.
新知应用
1.由4个正方体搭成的几何体按如图所示放置,若要求画出它的三视图,则在所画的俯视图中正方形共有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
C
2.如图所示的几何体是由5个大小完全相同的小正方体搭成的,请你在网格中画出该几何体的主视图、左视图和俯视图.
1.(2022凉山)如图所示的几何体的主视图是( )
C
2.(2023自贡)如图所示的六棱柱的左视图是( )
A
3.如图所示的是一个空心圆柱体,其主视图正确的是( )
B
4.如图所示的是由6个棱长均为1的小正方体组成的几何体,它的俯视图的面积为 .
5.水平放置的长方体的底面是长和宽分别是4和6的长方形,它的左视图的面积是12,则这个长方体的体积等于 .
4
48或72
6.如图所示,是由6个大小相同的小正方体搭建的几何体,其中每个小正方体的棱长为1 cm.
(1)直接写出这个几何体的表面积(包括底部): ;
解:(1)26 cm2
(2)请按要求在方格内分别画出从这个几何体的三个不同方向看到的形状图;
(3)保持这个几何体的左视图和俯视图不变,那么最多可以再添加
个小正方体.
解:(3)4
第2课时 复原几何体
三视图与几何体的关系
(1)由三视图想象几何体的形状,首先应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左面的形状,然后综合起来考虑整体的形状;
(2)由主视图可得到几何体的长和高,由俯视图可得到几何体的
,由左视图可得到几何体的 .
长和宽
高和宽
由三视图判断几何体
[例1] 一个几何体的三视图如图所示.
(1)这个几何体的名称是 ;
(2)在网格中画出它的一种表面展开图(网格中每个小正方形边长均为1).
解:(1)正三棱柱
新知应用
1.(2023泸州)一个立体图形的三视图如图所示,则该立体图形是
( )
A.圆柱 B.圆锥
C.长方体 D.三棱柱
D
2.根据下列主视图和左视图,找出对应物体并连线:
解:
与三视图有关的计算
[例2] 一个零件的主视图、左视图、俯视图如图所示(尺寸单位:cm).
(1)写出这个几何体的名称: ;
(2)根据图中数据计算这个几何体的体积和表面积.
解:(1)长方体
(2)根据长方体的体积和表面积公式可知
V=10×12×15=1 800(cm3),
S=(10×12+10×15+12×15)×2=(120+150+180)×2=450×2=900(cm2).
故这个几何体的体积是1 800 cm3,表面积是900 cm2.
新知应用
D
2.如图所示是一个几何体的三视图,其中俯视图为等边三角形.则该几何体的左视图中a的值为 .
1.如图所示的是一个几何体的三视图,则这个几何体是( )
B
2.如图所示的是某几何体的三视图,则该几何体的侧面展开图是( )
A
3.(2023成都)一个几何体由几个大小相同的小正方体搭成,它的主视图和俯视图如图所示,则搭成这个几何体的小正方体最多有 个.
6
4.已知某几何体的三视图如图所示,其中俯视图为正六边形,则该几何体的侧面积为 .
108
5.某酒店经理准备在前门台阶铺上红色地毯,下面是当时修建台阶时的图纸.
(1)画出该台阶的实物模型.
(2)若红地毯每平方米50元,那么铺红地毯需要多少钱
解:(2)由主视图,知此台阶长6 m,由左视图,知台阶宽6 m,高1 m.
∴红地毯的面积为6×6+1×6=42(m2).
∴铺红地毯需要42×50=2 100(元).
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第二十九章 投影与视图
章末知识复习
知识点一 投影
1.如图所示,平面上两棵不同高度、笔直的小树,同一时刻在太阳光线照射下形成的影子分别是AB,DC,则( )
A.四边形ABCD是平行四边形
B.四边形ABCD是梯形
C.线段AB与线段CD相交
D.以上三个选项均有可能
B
2.如图所示,校园内有一棵与地面垂直的树,数学兴趣小组两次测量它在地面上的影子,第一次是阳光与地面成60°角时,第二次是阳光与地面成30°角时,两次测量的影长相差8 m,则树高 m(结果保留根号).
知识点二 几何体的三视图
3.(2022泸州)如图所示的是一个由6个大小相同的正方体组成的几何体,它的俯视图是( )
C
4.(2022深圳)下列图形中,主视图和左视图一样的是( )
D
5.我国古代数学家利用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法.
“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体.如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型,它的主视图是( )
B
知识点三 三视图的有关计算
6.如图所示的是某圆柱体果罐,它的主视图是边长为10 cm的正方形,该果罐侧面积为 cm2.
100π
7.如图所示是一个几何体的三视图.
(1)写出这个几何体的名称;
(2)根据所示数据计算这个几何体的表面积;
解:(1)圆锥.
(2)表面积S=S扇形+S圆=πrR+πr2=12π+4π=16π(cm2),
即该几何体表面积为16π cm2.
(3)如果一只蚂蚁要从这个几何体中的点B出发,沿表面爬到AC的中点D,请你求出这个线路的最短路程.
类型一 转化思想
本章中几种常见的转化类型
(1)将投影问题转化为相似问题;
(2)将立体图形转化为平面图形;
(3)将实际问题转化为数学问题.
1.已知某几何体的三视图(单位: cm)如图所示,则该
几何体的侧面积等于( )
A.12π cm2 B.15π cm2
C.24π cm2 D.30π cm2
2.(2022河南)2022年北京冬奥会的奖牌“同心”表达了“天地合·人心同”的中华文化内涵,将这六个汉字分别写在某正方体的表面
上,如图所示是它的一种展开图,则在原正方体中,与“地”字所在面相对的面上的汉字是( )
A.合 B.同 C.心 D.人
B
D
3.如图所示的是某一时刻甲、乙两根木杆在太阳光下的影子.已知乙木杆的长为3 m,乙木杆的影子有一部分落在墙上,且墙上部分的影子长度与落在地面上的影子长度相同,均为2 m,现测得甲木杆的影子长为8 m,求甲木杆的实际长度.
类型二 方程思想
本章中应用方程思想的常见题型
投影问题中应用三角形相似构造方程.
1.如图所示,左边的楼高AB=60 m,右边的楼高CD=24 m,且BC=30 m,地面上的目标P位于距C点15 m处.
(1)请画出从A处看地面上距点C最近的点,这个点与点
C之间的距离是多少
(2)从A处能看见目标P吗,为什么
解:(2)从A处不能看见目标P.
∵目标P位于距C点15 m处,
∴CE>PC.
∴从A处不能看见目标P.
2.如图所示,小明和他的父亲晚饭后到广场去散步,休息时小明站在广场中路灯杆MZ的左侧点B处,小明的父亲站在灯杆MZ的右侧点F处,小明在路灯下的影子为线段BC.
(1)作出路灯Q的位置及小明的父亲在路灯下的影子FG;
(2)已知小明到路灯杆的距离为3 m,影长为1 m,小明的父亲到路灯杆的距离为4.3 m.若小明的身高为1.5 m,小明父亲身高为1.7 m,则此时小明父亲的影长为多少米
类型三 分类讨论思想
本章关于分类讨论思想的常见题型
根据部分视图确定几何体的形状.
如图所示是由几个相同的小正方体搭成的几何体从正面和上面看到的图形,组成这个几何体的小正方体的个数是( )
A.8个或9个 B.7个或8个
C.6个或7个 D.5个或6个
C
1.(2023广安)如图所示,由5个大小相同的小正方体搭成的几何体,它的俯视图是( )
B
2.(2022广安)如图所示,几何体的左视图是( )
B
D
4.(2023凉山)如图所示的是由4个相同的小正方体堆成的几何体的俯视图,小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数,则这个几何体的主视图是( )
B
5.(2023眉山)由相同的小正方体搭成的立体图形的部分视图如图所示,则搭成该立体图形的小正方体的个数最少为( )
A.6个 B.9个
C.10个 D.14个
6.(2021菏泽)如图所示的是一个几何体的三视图,根据图中所标数据计算这个几何体的体积为( )
A.12π B.18π
C.24π D.30π
B
B
7.(2021云南)如图所示的是某几何体的三视图(其中主视图也称正视图,左视图也称侧视图).已知主视图和左视图是两个全等的矩形.若主视图的相邻两边长分别为2和3,俯视图是直径等于2的圆,则这个几何体的体积为 .
3π
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