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27.2 相似三角形
27.2.1 相似三角形的判定
第1课时 平行线分线段成比例的基本事实
1.相似三角形
相似
k
相似于
△ABC∽△DEF
≌
2.平行线分线段成比例的基本事实
(1)基本事实
两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段 .
(2)推论
平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段 .
3.判定三角形相似的定理
平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形 .
成比例
成比例
相似
平行线分线段成比例的基本事实
[例1] 如图所示,已知直线l1,l2,l3分别截直线l4于点A,B,C,截直线l5于点D,E,F,直线l4与直线l5交于点O,且l1∥l2∥l3.
(1)若DE∶EF=2∶3,AC=15,则 BC= ;
(2)若OD=30,OE=12,OB=10,则AB的长为 .
9
15
(2)必须是夹在平行线间的对应线段成比例.
(1)平行线分线段成比例的三种图形变式
新知应用
B
2.如图所示,AD∥BE∥CF,直线l1,l2与三条平行线分别交于点A,B,C和点D,E,F.已知AB=1,BC=3,DE=2,则DF的长为 .
8
由平行线判定三角形相似
[例2] 如图所示,在平行四边形ABCD中,E为AB延长线上一点,AB=3BE,
DE与BC相交于点F,请找出图中各对相似三角形及其相似比.
通常把图(1)、图(2)之类的图形叫做“A”字形,把图(3)之类的图形叫做“X”字形,运用平行定理判定三角形相似时,不要忽略图(3)的情况.
由平行线判定三角形相似的三种常见类型
新知应用
1.如图所示,DE∥BC,FG∥BC,AF=4.5,AD=4,DB=6,AE=3,则AC= ,
AG= .
7.5
6
2.如图所示,点F,D,E分别在△ABC的边AB,AC上,已知DE∥BC,FE∥CD,
AF=3,AD=5,则AB的长为 .
C
2.如图所示,在△ABC中,DE∥BC,∠ADE=∠EFC,AD∶DB=5∶3,FC=6,则DE的长为( )
A.6 B.8
C.10 D.12
3.如图所示,已知点D,E在△ABC的边AB和AC上,DE∥BC,AD=10,BD=5,
DE=6,则BC= .
C
9
4.如图所示,已知菱形ABCD在△AEF的内部,AE=5 cm,AF=4 cm,则菱形
ABCD的边长为 cm.
5.如图所示,AB∥CD∥EF,AF与BE相交于点G,且AG=4,GD=2,DF=8,求BC∶CE的值.
第2课时 相似三角形的判定(一)
1.相似三角形的判定定理(1)
(1)内容:三边 的两个三角形相似;
成比例
夹角
A
D
应用三边成比例判定三角形相似
[例1] 如图所示,AB∥EF,AC∥FG,BC∥EG,且AF,BE,CG交于点O,求证:
△ABC∽△FEG.
(2)计算:分别计算对应边的比;
(3)判断:三条边的比相等,则两三角形相似.
利用三边成比例判定三角形相似的方法
(1)排序:将两个三角形的边按从小到大(或从大到小)顺序排列,找出对应边;
新知应用
A
①②
由平行线判定三角形相似
[例2] 如图所示,AB∥CD,AC与BD交于点E,且AB=6,AE=3,AC=12.
(1)求CD的长;
(2)求证:△ABE∽△ACB.
(2)求比值:求两组对应边的比值;
(3)做判断:若比值相等,则两三角形相似.
应用两边成比例且夹角相等判定三角形相似的方法
(1)定关系:明确已知相等的两角的对应邻边;
新知应用
1.如图所示,已知∠1=∠2,若想应用两边成比例且夹角相等判定
△ABC∽△ADE,则需添加的条件是 .
2.如图所示,在△ABC中,BC=8,AC=4,D是BC边上一点,CD=2.求证:
△ABC∽△DAC.
1.已知△ABC的边长分别为6 cm,7.5 cm,9 cm,△DEF中最短的一条边长为4 cm,如果这两个三角形相似,则△DEF的另两条边长应该是( )
A.4 cm,5 cm B.5 cm,6 cm
C.6 cm,7 cm D.7 cm,8 cm
B
B
3.如图所示,已知AB·AD=AC·AE,∠B=30°,则∠E= .
30°
4.已知等腰三角形ABC的两边长分别是4和9,等腰三角形DEF的腰长为
6,则当它的底边长为 时,等腰三角形ABC和等腰三角形DEF相似.
5.如图所示,在△ABC中,AB=25,BC=40,AC=20.在△ADE中,AE=12,AD=
15,DE=24,试判断这两个三角形是否相似,并说明理由.
6.如图所示,已知∠B=∠E=90°,AB=6,BF=3,CF=5,DE=15,DF=25.
(1)求CE的长;
(2)求证:△ABC∽△DEF.
第3课时 相似三角形的判定(二)
1.相似三角形的判定定理(3)
(1)内容:两 分别相等的两个三角形相似;
(2)应用格式:如图所示,∵∠A ∠D,∠B ∠E,∴△ABC∽△DEF.
2.直角三角形相似的判定
(1)斜边和一条直角边 的两个直角三角形相似;
(2)直角三角形两组直角边 的两个直角三角形相似;
(3)有一个锐角 的两个直角三角形相似.
角
=
=
成比例
成比例
对应相等
应用两角相等判定三角形相似
[例1]如图所示,点M是AB上一点,AE与BD交于点C,∠DME=∠A=∠B=α,且DM交AC于点F,ME交BC于点G.
(1)求证:△AMF∽△BGM;
(1)证明:∵∠DME=∠A=∠B=α,
∴∠AMF+∠BMG=180°-α.
∵∠A+∠AMF+∠AFM=180°,
∴∠AMF+∠AFM=180°-α.∴∠AFM=∠BMG.
∵∠A=∠B,∴△AMF∽△BGM.
(2)请你再写出两对相似三角形(无需证明).
(2)解:△DMG∽△DBM;
△EMF∽△EAM.
新知应用
如图所示,在四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,∠DAC=∠DBC.则下列三角形中,与△AOD一定相似的是( )
A.△BOC B.△AOB
C.△DOC D.△ABC
A
直角三角形相似的判定
[例2] 如图所示,在Rt△ABC和Rt△A′B′C 中,∠ACB=∠A′CB′=
90°,若添加一个条件,使得Rt△ABC∽Rt△A′B′C,则下列条件中不符合要求的是( )
D
新知应用
如图所示,AB是☉O的直径,AD是☉O的切线,点C在☉O上,BC∥OD,AB=
2,OD=3,则BC的长为( )
A
相似三角形判定方法的综合应用
[例3] 如图所示,在△ABC中,AD,BE分别是BC,AC边上的高.求证:
△DCE∽△ACB.
相似三角形的基本模型
新知应用
1.(2023萧县一模)如图所示,点D在△ABC的边AC上,添加一个条件,使得△ADB∽△ABC,下列不正确的是( )
D
2.如图所示,在△ABC中,AB>AC,D,E两点分别在边AC,AB上,且DE与BC不平行.请填上一个你认为合适的条件:当 时,
△ADE∽△ABC.
∠ADE=∠B(答案不唯一)
1.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,则相似三角形有( )
A.1对 B.2对 C.3对 D.0对
2.如图所示,AB是半圆O的直径,D,E是半圆上任意两点,连接AD,DE,
AE,BD.AE与BD相交于点C,要使△DAC与△DBA相似,可以添加一个条
件,下列添加的条件中不正确的是( )
A.AD=DE B.AD·AB=CD·BD
C.AD2=BD·CD D.∠ACD=∠DAB
C
B
3.如图所示,在四边形ABCD中∠BAC=∠ADC=90°,添加一个条件
,可以利用定理“斜边和直角边对应成比例,两个直
角三角形相似”证明 Rt△DCA∽Rt△ABC.
4.如图所示,∠C=∠E=90°,AD=10,DE=8,AB=5,则AC= .
3
5.如图所示,CD是☉O的直径,弦CB平分∠ACD,AC⊥AB,过点D作☉O的切线交CB的延长线于点E,连接BD.求证:△ACB∽△BDE.
证明:∵CD为☉O的直径,∴∠CBD=90°.
∴∠DBE=90°.而AB⊥AC,∴∠A=∠DBE=90°.
∵过点D作☉O的切线DE,∴∠CDE=90°=∠DBE.
∴∠DCE+∠E=90°=∠E+∠BDE.∴∠DCE=∠BDE.
∵CB平分∠ACD,∴∠DCE=∠ACB.
∴∠BDE=∠ACB.∴△ACB∽△BDE.
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易错专练二
易错点一 忽视成比例线段的顺序而出错
D
2.已知三条长度分别为2 cm,6 cm,12 cm的线段,若再添一条线段,使这四条线段成比例.求所添线段的长度.
解:分情况讨论:设第四条线段长x cm.
当2∶6=12∶x时,解得x=36;
当6∶12=2∶x时,解得x=4;
当12∶2=6∶x时,解得x=1;
则所添线段的长度为36 cm或4 cm或1 cm.
易错点二 对相似多边形的概念理解不透而出错
3.下列各组图形,一定相似的是( )
A.两个等腰梯形 B.两个菱形
C.两个正方形 D.两个矩形
4.将边长为4,6,6的等腰三角形、边长为4的正方形和长、宽分别为6,4的矩形按如图所示的方式向外扩张,各得到一个新图形,它们的对应边间距均为1,则新图形与原图形相似的有( )
A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
C
C
易错点三 对于相似三角形的判定定理理解不透而出错
5.如图所示,在△ABC中,P为AB上一点,下列四个条件中:①AC2=AP·
AB;②AB·CP=AP·CB;③∠APC=∠ACB;④∠ACP=∠B.能满足△APC与△ACB相似的条件是( )
A.①②③ B.①②④
C.①③④ D.②③④
C
易错点四 忽略相似三角形的对应关系而漏解
6.如图所示,在平面直角坐标系xOy中,四边形OABC是矩形,其中点A,C分别在x轴、y轴上,B(4,2).P是x轴负半轴上一点,OP=OC,过点P的直线l分别与y轴、边BC交于点D,E,连接AE.当△POD与△ABE相似时,则CE的长为 .
7.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,CD⊥AB于点D.点P从点D出发,沿线段DC向点C运动,点Q从点C出发,沿线段CA向点A运动,两点同时出发,速度都为每秒1个单位长度,当点P运动到C时,两点都停止运动,设运动时间为t s.
(1)求线段CD的长.
(2)当t为何值时,△CPQ与△ABC相似
易错点五 混淆相似三角形对应线段的比、周长的比和面积的比而出错
8.已知△ABC∽△A′B′C′,△A′B′C′的面积为6,周长为△ABC周长的一半,则△ABC的面积等于( )
A.1.5 B.3
C.12 D.24
D
B
易错点六 未明确位似图形的坐标变换或图形位置而出错
10.在平面直角坐标系中,已知点A(-2,1),B(-1,2),以原点O为位似中心,相似比为2,把△ABO放大,则点B的对应点B′的坐标是( )
A.(-4,2)
B.(-2,4)
C.(-4,2)或(-2,4)
D.(-2,4)或(2,-4)
D
11.如图所示,在平面直角坐标系中,△ABC三个顶点分别为A(-1,2),
B(3,1),C(2,3).
(1)以坐标原点O为位似中心,相似比为2,将△ABC放大得到△A′B′C′,请在平面直角坐标系中画出△A′B′C′;
解:(1)可作△A′B′C′有2个,如图中△A′B′C′和△A″B″C″
所示.
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27.2.3 相似三角形应用举例
1.物高与影长
在同一时刻同一地点的阳光下,竖直的两个物体的高度和影长成
.
2.相似三角形的应用
(1)测高:不能直接用皮尺或刻度尺测量的物体高度;
(2)测距:不能直接测量的两地间的距离;
(3)方案设计:利用相似进行测量方案设计.
正比
应用相似三角形测高度
[例1] 小明在测量楼高时,先测出楼房落在地面上的影长BA为15 m
(如图所示),然后在A处竖立一根高2 m的标杆AE,测得标杆AE的影长AC为3 m,则楼高BD为多少米
利用相似三角形测量高度的常见模型
新知应用
1.如图所示,树AB在路灯O的照射下形成投影AC,已知路灯高PO=5 m,树影AC=3 m,树AB与路灯O的水平距离AP=4.5 m,则树的高度AB长是
( )
A
2.如图所示,小明同学(DG)用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB,他调整自己的位置,设法使斜边DF保持水平,并且边DE与点B在同一条直线上,已知纸板的两条直角边DE=35 cm,EF=20 cm,测得边DF离地面的高度AC=1.3 m,CD=7 m,则树高AB为 m.
5.3
应用相似三角形测宽度
[例2] 如图所示,为估算某河的宽度,在河对岸岸边选定一个目标点A,在近岸取点B,C,D,使得AB⊥BC,CD⊥BC,点E在BC上,并且点A,E,D在同一条直线上.若测得 BE=20 m,EC=10 m,CD=20 m,求河的宽度AB.
利用三角形相似测河宽的三种基本图形
新知应用
1.如图所示,一条河的两岸有一段是平行的,在河的南岸边每隔5 m有一棵树,在河的北岸边每隔60 m有一根电线杆.王老师站在离南岸边15 m的点P处看北岸,发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住,并且在这两棵树之间还有三棵树,则河宽为 m.
30
2.为了测量河宽AB,有如下方法:如图所示,取一根标尺CD横放,使CD∥AB,并使点B,D,O和点A,C,O分别在同一条直线上,量得CD=15 m,
OC=10 m,AC=20 m,则河宽AB的长度为 m.
45
1.(2022德州)如图所示,把一根长为4.5 m的竹竿AB斜靠在石坝旁,量出竿长1 m 处离地面的高度CD为0.6 m,则石坝的高度为( )
A.2.7 m B.3.6 m
C.2.8 m D.2.1 m
2.如图所示,小明在A时测得某树的影长为 4 m,B时又测得该树的影长为1 m,若两次日照的光线互相垂直,则树的高度为( )
A.2 m B.4 m
C.6 m D.8 m
A
A
3.如图所示,A,B两点被一河隔开,为了测量A,B两点间的距离,小明过点B作BF⊥AB,在BF上取两点C,D,使BC=2CD,过点D作DE⊥BF且使点A,
C,E在同一条直线上,测得DE=20 m,则A,B两点间的距离是 m.
40
4.为测量一棵大树的高度,设计的测量方案如图所示:标杆高度CD=
3 m,人的眼睛A、标杆的顶端C和大树顶端M在一条直线上,标杆与大树的水平距离DN=14 m,人的眼睛与地面的高度AB=1.6 m,人与标杆CD的水平距离BD=2 m,B,D,N三点共线,AB⊥BN,CD⊥BN,MN⊥BN,求大树MN的高度.
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27.3 位 似
第1课时 位似图形
1.位似图形
两个图形,如果它们的对应顶点的连线 ,并且这点与对应顶点所连线段成比例,像这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做 .
2.位似图形的性质
(1)位似图形是 图形,各对应顶点到位似中心的距离的比等于
;
(2)每组对应顶点连线相交于 ;
(3)对应边互相 (或在同一条直线上).
相交于一点
位似中心
相似
相似比
一点
平行
位似图形的概念及性质
D
判断图形是位似图形的条件
新知应用
1.已知△ABC∽△A′B′C′,下列图形中,△ABC与△A′B′C′不存在位似关系的是( )
D
2.如图所示,△ABC与△A1B1C1位似,位似中心是点O,且OA∶OA1=1∶2,
△ABC的面积为3,则△A1B1C1的面积是 .
12
画位似图形
[例2] 如图所示,以O为位似中心,画出将四边形ABCD放大为原来的2倍的图形.
解:四边形A′B′C′D′(或四边形A″B″C″D″)即为所求.
画位似图形的步骤
(1)确定位似中心和相似比;
(2)确定原图形的关键点;
(3)根据相似比画出新图形的关键点;
(4)连接新图形的各关键点.
新知应用
1.画出下列图形的位似中心.
2.如图所示,根据要求作△A′B′C′,使△A′B′C′∽△ABC,且以点C为位似中心,相似比为1∶5.
1.下列图形中,不是位似图形的是( )
B
2.如图所示,两个三角形是位似图形,它们的位似中心是( )
A.点P B.点O
C.点M D.点N
A
3.如图所示,正五边形FGHMN与正五边形ABCDE是位似图形,若AB∶FG=
2∶3,则下列结论正确的是( )
A.2DE=3MN B.3DE=2MN
C.3∠A=2∠F D.2∠A=3∠F
4.如图所示,放映幻灯片时,通过光源,把幻灯片上的图形放大到屏幕上.若光源到幻灯片的距离为20 cm,到屏幕的距离为60 cm,且幻灯片中图形的高度为6 cm,则屏幕上图形的高度为 cm.
B
18
5.(2022潍坊)《墨子·天文志》记载:“轮匠执其规矩,以度天下之方圆.”度方知圆,感悟数学之美.如图所示,正方形ABCD的面积为4,以它的对角线的交点为位似中心,作它的位似图形 A′B′C′D′,若A′B′∶AB=2∶1,则四边形A′B′C′D′的外接圆的周长为 .
6.请在如图所示的正方形网格纸中,以O为位似中心,将△ABC放大为原来的2倍.
第2课时 位似变换与坐标
1.图形变换
在平面直角坐标系中,可以利用变化前后两个多边形 的坐标之间的关系表示某些平移、轴对称、旋转(中心对称)和位似,其中前三种为 变换,而位似为 变换.
2.位似变换与坐标
一般地,在平面直角坐标系中,如果以原点为位似中心,画出一个与原图形位似的图形,使它与原图形的相似比为k,那么与原图形上的点(x,y)对应的位似图形上的点的坐标为 或 .
对应顶点
全等
相似
(kx,ky)
(-kx,-ky)
位似图形的坐标特征
[例1] 如图所示,在平面直角坐标系中,O是坐标原点,以点O为位似中心,△A1B1C1和△ABC的相似比为2∶1,在网格中画出新图象△A1B1C1,若每个小正方形边长均为1,求点B1的坐标.
解:如图所示,△A1B1C1即为所求,B1(6,6).
应用位似坐标规律时的注意事项
(1)位似中心必须是原点,否则不能应用规律;
(2)位似图形位置不确定时要分类讨论.
新知应用
A
(4,8)或(-4,-8)
图形变换
[例2] 如图所示,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,按要求画出△A1B1C1和△A2B2C2.
(1)将△ABC向右平移4个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到△A1B1C1;
(2)以图中的O为位似中心,将△A1B1C1作位似变换且放大到原来的两倍,得到△A2B2C2.请在网格中画出△A2B2C2(不要超出网格区域).
图形变换的坐标变化
平移:(横坐标)左减右加,(纵坐标)上加下减.
旋转(180°):(x,y)→(-x,-y).
新知应用
A
B
2.在平面直角坐标系中,△OAB各顶点的坐标分别为O(0,0),A(1,2),
B(0,3),以O为位似中心,△OA′B′与△OAB位似,若B点的对应点B′的坐标为(0,-6),则A点的对应点A′的坐标为( )
A.(-2,-4) B.(-4,-2)
C.(-1,-4) D.(1,-4)
3.已知平行四边形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示,点D的坐标为(-12,9),点A的坐标为(-15,0).以点B为位似中心,作平行四边形ABCD的位似图形平行四边形EBFG,位似图形与原图形的相似比为2∶3,点C的对应点为点F,则点F的坐标为 .
A
(2,6)或(-2,-6)
4.如图所示,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,给出了格点△ABC及平面直角坐标系xOy.
(1)将△ABC绕O点逆时针旋转90°得到△A1B1C1,请作出△A1B1C1;
(2)以点O为位似中心,在第四象限将△ABC放大2倍得到△A2B2C2,请作出△A2B2C2.则△ABC与△A2B2C2的面积的比为 .
解:(1)如图所示,△A1B1C1为所作.
(2)如图所示,△A2B2C2为所作.
1∶4
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27.2.2 相似三角形的性质
相似三角形的性质
(1)相似三角形对应线段(即对应高、对应角平分线、对应中线)的比等于 ;
(2)相似三角形周长的比等于 ;
(3)相似三角形面积的比等于 .
相似比
相似比
相似比的平方
相似三角形的对应线段比与周长比
[例1] 如图所示,△ABC∽△A′B′C′,其相似比为k,点D在BC上,点D′在B′C′上,连接AD和A′D′.
解:(1)k
(2)k
(3)求△ABC与△A′B′C′的周长之比.
新知应用
1.已知△ABC∽△A′B′C′,AD和A′D′是它们的对应中线,若AD=
10,A′D′=6,则△ABC与△A′B′C′的周长比是( )
A.3∶5 B.9∶25
C.5∶3 D.25∶9
C
相似三角形的面积比
[例2]如图所示,BC∥DE,△ABC的周长为36 cm,△ADE的周长为48 cm,
BD=5 cm.
(1)求AB的长;
(2)若S△ABC=27 cm2,求S四边形BDEC的值.
已知相似比或对应线段的比计算面积或面积的比时,一定要注意相似三角形面积的比等于相似比的平方,不要与三角形周长的比混淆.
新知应用
1.如图所示,在△ABC中,点D,E分别是边AB,AC的中点,若△ADE的面积是 3 cm2,则四边形BDEC的面积为( )
A.12 cm2 B.9 cm2
C.6 cm2 D.3 cm2
2.已知△ABC与△DEF相似且面积比为4∶25,则△ABC与△DEF的相似比为 .
B
2∶5
3.已知两相似三角形对应角平分线的比为3∶10,且大三角形的面积为400 cm2,求小三角形的面积.
2.两个相似三角形的对应边分别是15 cm和23 cm,它们的周长相差
40 cm,则这两个三角形的周长分别是( )
A.75 cm,115 cm B.60 cm,100 cm
C.85 cm,125 cm D.45 cm,85 cm
A
A
3.如图所示,四边形ABCD为平行四边形,E,F为CD边的两个三等分点,连接AF,BE交于点G,则S△EFG∶S△ABG等于( )
A.1∶3 B.3∶1
C.1∶9 D.9∶1
4.如果△ABC∽△DEF,且△ABC的三边长分别为3,4,5,△DEF的最短边长为6,那么△DEF的周长等于 .
5.两个相似三角形的对应边的中线之比是2∶3,周长之和是20 cm,那么这两个三角形中较小三角形的周长是 .
C
24
8 cm
6.已知△ABC∽△DEF,△ABC和△DEF的周长分别为20 cm和25 cm,且BC=5 cm,DF=4 cm,求△ABC与△DEF的面积比及EF,AC的长.
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第二十七章 相 似
章末知识复习
知识点一 平行线分线段成比例的基本事实
B
C
知识点二 相似三角形的性质和判定
B
4.(2022扬州)如图所示,在△ABC中,AB
△DFC;②DA平分∠BDE;③∠CDF=∠BAD.其中所有正确结论的序号是
( )
A.①② B.②③
C.①③ D.①②③
D
知识点三 相似三角形的实际应用
5.(连云港中考)在如图所示的象棋棋盘(各个小正方形的边长均相
等)中,根据“马走日”的规则,“马”应落在下列哪个位置处,能使“马”“车”“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”“相”
“兵”所在位置的格点构成的三角形相似( )
A.①处 B.②处
C.③处 D.④处
B
6.(跨学科融合)小孔成像的示意图如图所示,光线经过小孔O,物体AB在幕布上形成倒立的实像CD(点A,B的对应点分别是C,D).若物体AB的高为6 cm,小孔O到物体和实像的水平距离BE,CE分别为8 cm,6 cm,则实像CD的高度为 cm.
4.5
知识点四 位似
D
8.(巴中中考)如图所示,△ABC在边长为1的正方形网格中.
(1)以点C为位似中心,作出△ABC的位似图形△A1B1C,△ABC与△A1B1C的相似比为1∶2,且△A1B1C位于点C的异侧,并写出点A1的坐标;
(2)作出△ABC绕点C顺时针旋转90°后的图形△A2B2C;
解:(1)如图所示,△A1B1C即为所作图形,点A1的坐标为(3,-3).
(2)如图所示,△A2B2C即为所作图形.
(3)在(2)的条件下求出点B经过的路径长.
知识点五 相似三角形的综合应用
类型一 分类讨论思想
易出现双解的两种常见类型
(1)相似三角形的对应边不确定时;
(2)位似图形在位似中心的同侧或异侧不确定时.
1.如图所示,在由边长为1的小正方形组成的网格中,建立平面直角坐标系,△ABC的三个顶点均在格点(网格线的交点)上,以原点O为位似中心,画△A1B1C1,使它与△ABC的相似比为2∶1,则点B的对应点B1的坐标是 .
(4,2)或(-4,-2)
2.如图所示,在△ABC中,∠A=30°,AB=24 cm,AC=16 cm,点P从点B出发,沿BA边以4 cm/s的速度移动到点A;点Q从点C出发,沿CA边以
2 cm/s的速度向点A移动.P,Q两点同时出发,设运动的时间为t(0≤t≤6) s.当以点Q,A,P为顶点的三角形与△ABC相似(全等除外)时,t的值为 .
5
类型二 方程思想
应用方程思想的常见类型
应用相似多边形对应边成比例列方程.
1.如图所示,在直角三角形ABC中(∠C=90°),放置了三个大小不等的正方形,若两边的正方形边长分别为3和4,则中间正方形的边长
为 .
7
2.如图所示,在△ABC中,AB=AC=6,∠BAC=108°,点D在边BC上,∠BAD=
36°.
(1)求证:△BAD∽△BCA;
(2)求AD的长.
C
2.(2022连云港)△ABC的三边长分别为2,3,4,另有一个与它相似的△DEF,其最长边为12,则△DEF的周长是( )
A.54 B.36
C.27 D.21
3.(2022巴中)如图所示,在平面直角坐标系中,C为△AOB的OA边上一点,AC∶OC=1∶2,过点C作CD∥OB交AB于点D,C,D两点纵坐标分别为1,3,则B点的纵坐标为( )
A.4 B.5
C.6 D.7
C
C
4.(2023南充)如图所示,数学活动课上,为测量学校旗杆的高度,小菲同学在脚下水平放置一平面镜,然后向后退(保持脚、平面镜和旗杆底端在同一直线上),直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端.已知小菲的眼睛离地面高度为 1.6 m,同时量得小菲与镜子的水平距离为2 m,镜子与旗杆的水平距离为10 m,则旗杆高度为( )
A.6.4 m B.8 m
C.9.6 m D.12.5 m
B
5.(2022达州)如图所示,点E在矩形ABCD的AB边上,将△ADE沿DE翻折,点A恰好落在BC边上的点F处,若CD=3BF,BE=4,则AD的长为( )
A.9 B.12
C.15 D.18
6.(2022成都)如图所示,△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形.若OA∶AD=2∶3,则△ABC与△DEF的周长比是 .
C
2∶5
7.(2022陕西)小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高.如图所示,在某一时刻,他们在阳光下,分别测得该建筑物OB的影长OC为16 m,OA的影长OD为20 m,小明的影长FG为2.4 m,其中O,C,D,F,G五点在同一条直线上,A,B,O三点在同一条直线上,且 AO⊥
OD,EF⊥FG.已知小明的身高EF为 1.8 m,求旗杆的高AB.
8.(2022滨州)如图所示,已知AC为☉O的直径,直线PA与☉O相切于点A,直线PD经过☉O上的点B且∠CBD=∠CAB,连接OP交AB于点M.
求证:(1)PD是☉O的切线;
证明:(1)连接OB,如图所示.
∵OB=OC,
∴∠OCB=∠OBC.
∵AC是☉O的直径,
∴∠CBA=90°.
∴∠CAB+∠OCB=90°.
∵∠CBD=∠CAB,
∴∠CBD+∠OCB=90°.
∴∠CBD+∠OBC=90°.
∴∠OBD=90°.
∵OB为☉O半径,
∴PD是☉O的切线.
(2)AM2=OM·PM.
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第二十七章 相 似
2022年新课标要求
学业要求 学生核心素养目标
1.理解相似图形和相似比的概念,掌握相似图形的性质;理解成比例线段的意义,并能够求得线段的长度. 2.掌握平行线分线段成比例的基本事实,了解相似三角形的判定和性质,并进行证明和计算. 3.了解位似图形及其有关概念,掌握位似图形的画法,会用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换,掌握点的坐标变化的规律. 学会从几何的角度发现问题和提出问题,发展几何直观与空间观念,提升想象力,增强推理能力,进一步培养学生的应用意识和创新意识.
27.1 图形的相似
1.相似图形
相同的图形叫做相似图形.两个图形相似,其中一个图形可以看作由另一个图形 得到.
形状
放大或缩小
相等
成比例
3.相似多边形
(1)定义:两个边数相同的多边形,如果它们的角分别 ,边
,那么这两个多边形叫做相似多边形,相似多边形 的比叫做相似比;
(2)性质:相似多边形的对应角 ,对应边 .
相等
成比例
对应边
相等
成比例
相似图形的识别
[例1] 下面这两组分别是图形放大或缩小的情况,请仔细观察:
它们是相似图形吗 两个相同的图形一定是相似图形吗
解:是相似图形;两个相同的图形一定是相似图形.
新知应用
如图所示,用放大镜将图形放大,这种图形的变换属于( )
A.相似 B.平移
C.轴对称 D.旋转
A
线段成比例
[例2] 判断下列各组线段是否成比例
(1)12 mm,5 cm,15 mm,4 cm;
(2)1 cm,5 mm,10 mm,3 cm.
(2)四条线段成比例时,要把这四条线段按顺序排列,不能随意颠倒;
(3)成比例的线段单位必须统一.
(1)判断四条线段成比例,把这四条线段从小到大排列,若前面两条线段的比等于后面两条线段的比,则四条线段成比例,若不等,则不成比例;
新知应用
1.在比例尺是1∶50的图纸上,量得一个零件的长是32 cm,则它实际长是( )
A.32 cm B.320 cm
C.160 cm D.1 600 cm
2.已知四条线段的长度分别为x,2,6,x+1,且它们是成比例线段,则x的值为 .
D
3
相似多边形的性质及判定
[例3] 如图所示,在长为 8 cm,宽为4 cm的矩形中截去一个矩形(阴影部分).
探究问题:
(1)留下的矩形与原矩形一定相似吗
解:(1)不一定相似.
(2)留下的矩形的宽为多少时,与原矩形相似
(3)求留下的矩形的面积.
(3)留下的矩形的面积为2×4=8(cm2).
新知应用
已知图中的两个四边形是相似四边形,则未知边x的长度为 ,角α的度数为 .
69°
1.下列各组图形中,两个图形形状不一定相似的是( )
A.两个等边三角形 B.两个等腰三角形
C.两个正方形 D.两个圆
2.下列各组线段中,不成比例的是( )
A.3 cm,5 cm,15 cm,9 cm
B.4 cm,2 cm,3 cm,1 cm
C.12 cm,3 cm,4 cm,1 cm
D.10 cm,5 cm,20 cm,10 cm
B
B
3.在比例尺为1∶100的工程规划图上,量得某大桥两端的图上距离为140 cm,则此大桥两端实际距离为 m.
140
4.如图所示的两个矩形相似吗 若相似,相似比是多少 满足什么条件的两个矩形一定相似
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