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28.2 解直角三角形及其应用
28.2.1 解直角三角形
1.解直角三角形
一般地,直角三角形中,除直角外,共有五个元素,即 条边和
个锐角,由直角三角形中的已知元素,求出其余 元素的过程,叫做解直角三角形.
2.直角三角形中的边角关系
如图所示,在Rt△ABC中,∠C为直角,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,
b,c,那么除直角∠C外的五个元素之间有如下关系:
(1)三边之间的关系: ;
(2)两锐角之间的关系: ;
三
两
未知
a2+b2=c2
∠A+∠B=90°
解直角三角形
根据已知条件解直角三角形
新知应用
B
利用锐角三角函数解非直角三角形
[例2] 校园内有一块闲置的空地,如图所示,经测量,∠A=30°,∠B=
45°,最短边BC=20 m.为美化校园,学校准备在这块空地上种植草坪,你能求出空地的面积吗(结果保留根号)
新知应用
A
D
A
45°
5
1.3
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28.2.2 应用举例
第1课时 仰角、俯角
仰角和俯角
在进行测量时,视线与水平线所成的角中,视线在水平线 方的角叫做仰角,视线在水平线 方的角叫做俯角.
上
下
应用解直角三角形解决实际问题
[例1] (2022盐城)如图所示是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图,OA是垂直于工作台的移动基座,AB,BC为机械臂,OA=1 m,AB=5 m,
BC=2 m,∠ABC=143°.机械臂端点C到工作台的距离CD=6 m.
(1)求A,C两点之间的距离(结果精确到0.1 m);
新知应用
2
2.(2022通辽改编)某型号飞机的机翼形状如图所示,根据图中数据可得AB的长度为 m(结果保留根号).
仰角与俯角
18
(2)抽象:实际问题抽象出直角三角形;
(3)转化:通常应用俯角的内错角解题.
(1)水平:俯角、仰角以水平线为准;
新知应用
B
2.(2023岳阳)2023年岳阳举办以“跃马江湖”为主题的马拉松赛事.如图所示,某校数学兴趣小组在A处用仪器测得赛场一宣传气球顶部E处的仰角为21.8°,仪器与气球的水平距离BC=20 m,且距地面高度 AB=1.5 m,则气球顶部离地面的高度EC是 (结果精确到 0.1 m,
sin 21.8°≈0.371 4,cos 21.8°≈0.928 5,tan 21.8°≈0.400 0).
9.5 m
A
B
3.(2022武汉)如图所示,沿AB方向架桥修路,为加快施工进度,在直线AB上湖的另一边的D处同时施工.取∠ABC=150°,BC=1 600 m,∠BCD=
105°,则C,D两点的距离是 m.
4.如图所示,从无人机C处测得地面A,B两点的俯角分别为30°,45°,如果此时无人机C处的高度CD为100 m,点A,D,B在同一直线上,求A,B两点的距离.
第2课时 方向角、坡度、坡角
1.方向角
(1)平面测量时,经常以 、 方向为基准描述物体运动的方向,这种表示方向的角叫做方向角;
(2)如图所示,射线OA,OB,OC,OD分别表示北偏东30°,南偏东70°,南偏西50°,北偏西35°.
正北
正南
2.坡度、坡角
方向角问题
[例1] (2022锦州)如图所示,一艘货轮在海面上航行,准备要停靠到码头C,货轮航行到A处时,测得码头C在北偏东60°方向上.为了躲避A,C之间的暗礁,这艘货轮调整航向,沿着北偏东30°方向继续航行,当它航行到B处后,又沿着南偏东70°方向航行 20 n mile 到达码头C.则货轮从A到B航行的距离约为 n mile(结果精确到0.1 n mile.参考数据:sin 50°≈0.766,cos 50°≈0.643,
tan 50°≈1.192).
30.6
新知应用
D
2.(2023眉山)如图所示,一渔船在海上A处测得灯塔C在它的北偏东60°方向,渔船向正东方向航行12 n mile到达点B处,测得灯塔C在它的北偏东45°方向,若渔船继续向正东方向航行,则渔船与灯塔C的最短距离是 n mile.
坡度与坡角问题
[例2] 如图所示,扶梯AB的坡度为4∶3,滑梯CD的坡度为1∶2.已知AE=30 dm,BC=50 dm,BC∥AD,一女孩从扶梯走到滑梯的顶部,然后从滑梯滑下,她经过的总路程是多少(结果保留根号)
新知应用
B
8
B
50
12
4.(2022丹东)如图所示,我国某海域有A,B,C三个港口,B港口在C港口正西方向33.2 n mile(n mile是单位“海里”的符号)处,A港口在B港口北偏西50°方向且距离B港口40 n mile处,在A港口北偏东53°方向且位于C港口正北方向的点D处有一艘货船,求货船与A港口之间的距离(参考数据:sin 50°≈0.77,cos 50°≈0.64,tan 50°≈
1.19,sin 53°≈0.80,cos 53°≈0.60,tan 53°≈1.33).
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第二十八章 锐角三角函数
2022年新课标要求
学业要求 学生核心素养目标
1.理解锐角三角函数正弦、余弦、正切的概念,并掌握它们的表示方法;能灵活运用锐角三角函数进行相关运算;熟记三个特殊锐角的三角函数值,并能准确地加以运用. 2.了解解直角三角形的意义和条件;理解直角三角形中的五个元素之间的联系;能根据已知条件解直角三角形. 3.理解仰角、俯角、方位角及坡度等概念,能够运用锐角三角函数解决实际问题. 经历探索直角三角形中的边与角的关系,培养学生由特殊到一般的演绎推理能力,学会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力,体会数形相结合思想与建模思想.
28.1 锐角三角函数
第1课时 正 弦
1.直角三角形中的边角关系
(1)在Rt△ABC中,当锐角A的度数一定时,无论这个直角三角形大小如何,∠A的对边与斜边的比都是一个 值;
(2)锐角的正弦值只与 有关,与所在的三角形无关.
2.锐角A的正弦
固定
角的大小
对边
斜边
sin A
求一个角的正弦值
[例1]如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2BC,求sin A和sin B的值.
求一个角的正弦值,一般将这个角转化到直角三角形中,根据已知条件求出这个角的对边和斜边,运用正弦的定义求出这个角的正
弦值.
新知应用
1.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=4,AC=3,则sin B等于( )
A
2.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,分别在两图中求sin A和sin B的值.
已知锐角的正弦值求边长
新知应用
D
A
D
3.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线,CD=4,AC=6,则
sin B的值是 .
4.(2022连云港)如图所示,在6×6的正方形网格中,△ABC的顶点A,B,
C都在网格线上,且都是小正方形边的中点,则sin A= .
5.如图所示,在△ABC中,∠A=120°,AB=4,AC=2,求sin B的值.
第2课时 余弦和正切
1.锐角A的余弦、正切
邻边
斜边
cos A
对边
邻边
tan A
2.锐角三角函数
(1)对于锐角A的每一个确定的值,sin A有唯一确定的值与它对应,所以sin A是A的函数.同样地,cos A,tan A也是A的函数;
(2)锐角A的 、 、 都是∠A的锐角三角函数.
正弦
余弦
正切
余弦和正切
[例1] 如图所示,在等腰△ABC中,AB=AC,如果2AB=3BC,求∠B的余弦值和正切值.
求锐角三角函数的两种方法
(1)直接法:在直角三角形中,确定各个边的长或比,根据定义直接求出;
(2)间接法:利用相似、全等、圆周角等关系,寻找与所求角相等的角(此角的锐角三角函数值知道或者易求).
新知应用
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,AB=5,则tan A的值是( )
C
2.如图所示,已知△ABC的一边BC与以AC为直径的☉O相切于点C,若
BC=4,AB=5,则cos B= ,tan B= .
锐角三角函数的综合应用
(2)sin∠ADC的值.
新知应用
A
D
C
B
(4,2)
5.(2022凉山)如图所示,CD是平面镜,光线从A点出发经CD上点O反射后照射到B点,若入射角为α,反射角为β(反射角等于入射角),AC⊥
CD于点C,BD⊥CD于点D,且AC=3,BD=6,CD=12,则tan α的值为 .
6.如图所示,AB为☉O的直径,C为☉O上的一点,DC是☉O的切线,OD交AC于点E,DE=DC.若OA=4,OE=2,求cos D.
第3课时 特殊角的锐角三角函数值
1.特殊角的锐角三角函数值
锐角三角 函数 锐角A
30° 45° 60°
sin A
cos A
tan A
1
2.计算器的应用
特殊角的锐角三角函数值的运算
[例1] 计算:
(1)sin 60°-2sin 30°cos 30°;
(2)tan 60°sin 245°+4cos 30°tan 30°-tan 45°;
巧记特殊角的三角函数值
(1)三角板记忆法:借助如图所示三角板进行记忆;
新知应用
B
由锐角三角函数值求角的度数
新知应用
C
A
90°
A
A
A
4.若某三角形的三个内角度数之比为1∶2∶3,则该三角形中最小内
角的余弦值为 .
直角
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第二十八章 锐角三角函数
章末知识复习
知识点一 锐角三角函数
C
A
等边
知识点二 解直角三角形
D
(2)求tan ∠FBD的值.
知识点三 解直角三角形的应用
A
(2)点D处有一个小商店,某人从点A出发沿人行步道去商店购物,可以经点B到达点D,也可以经点E到达点D,请通过计算说明他走哪条路较近(结果精确到个位).
类型一 转化思想
本章常见的几种转化类型
(1)直角三角形中边与角的转化;
(2)不同锐角三角函数间的转化;
(3)非直角三角形与直角三角形之间的转化.
D
A
类型二 方程思想
本章应用方程思想的几种类型
(1)根据勾股定理列方程;
(2)根据线段的数量关系列方程.
1.如图所示,为了求某条河的宽度,在它的对岸岸边任意取一点A,再在河的这边沿河边取两点B,C,使得∠ABC=45°,∠ACB=30°,量得BC的长为 40 m,则河的宽度为 m(结果保留根号).
2.(2022广元)如图所示,计划在山顶A的正下方沿直线CD方向开通穿山隧道EF.在点E处测得山顶A的仰角为45°,在距E点80 m的C处测得山顶A的仰角为30°,从与F点相距10 m的D处测得山顶A的仰角为45°,点C,E,F,D在同一直线上,求隧道EF的长度.
解:如图所示,过点A作AH⊥DE,垂足为H,
设EH=x m,在Rt△AEH中,∠AEH=45°,
∴AH=EH·tan 45°=x(m).
∵CE=80 m,∴CH=CE+EH=(80+x)m.
1.(2022福建)如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC,其中AB=AC,∠ABC=27°,BC=44 cm,则高AD约为(参考数据:sin 27°≈
0.45,cos 27°≈0.89,tan 27°≈0.51)( )
A.9.90 cm B.11.22 cm
C.19.58 cm D.22.44 cm
B
B
4.(2022凉山)如图所示,在边长为1的正方形网格中,☉O是△ABC的外
接圆,点A,B,O在格点上,则cos∠ACB的值是 .
6.(2022广安)八年级(2)班学生到某劳动教育实践基地开展实践活
动,当天,他们先从基地门口A处向正北方向走了450 m,到达菜园B处锄草,再从B处沿正西方向到达果园C处采摘水果,再向南偏东37°方向走了300 m,到达手工坊D处进行手工制作,最后从D处回到门口A处,手工坊在基地门口北偏西65°方向上.求菜园与果园之间的距离(结果保留整数.参考数据:sin 65°≈0.91,cos 65°≈0.42,tan 65°
≈2.14,sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75).
解:如图所示,过点D作DH⊥AB于点H,过点D作DG⊥BC于点G,
则四边形GDHB是矩形,∴GD=BH,DH=GB.
根据题意,CD=300 m,∠CDG=37°,
∴DG=CD·cos 37°≈300×0.80=240(m),
CG=CD·sin 37°≈300×0.60=180(m).
∴HB=240 m.∵AB=450 m,∠DAH=65°,
∴AH=210 m.∴DH=AH·tan 65°≈210×2.14=449.4(m).
∴BC=CG+BG=180+449.4=629.4≈629(m).
∴菜园与果园之间的距离为629 m.
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