2023-2024学年山东省济南高新区七年级下学期数学期末考试试题（含答案）

济南高新区 2023-2024 学年第二学期七年级学业质量抽测数学试题
本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷共2页，满分为48分；第Ⅱ卷共5页，满分为102分．本试题共6页，满分为150分．考试时间为120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的考点、姓名、准考证号、座号填写在答题卡上和试卷规定的位置上．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器．
第I卷（选择题 共48分）
注意事项：第Ⅰ卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效．
一.选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是 ( )
A. B. C. D.
2.如图，AB∥CD，若∠1=125°，则∠2的度数为( )
A.35° B.45° C.55° D.125°
3.要画一个面积为30cm2长方形，其长为x cm，宽为y cm，在这一变化过程中，常量与变量分别为( )
A.常量为30，变量为x、y B.常量为30、y，变量为x
C.常量为30、x，变量为y D.常量为x、y，变量为30
4.下列诗句所描述的事件中，属于必然事件的是( )
A.黄河入海流 B.手可摘星辰 C.锄禾日当午 D.大漠孤烟直
5.下列运算正确的是( )
A.a2+a3=a5 B.a2·a3=a5 C.(a2)3=a5 D.(2a)3=6a3
6.具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是( )
A.∠A+∠B=∠C B.∠A-∠B=∠C C.∠A:∠B:∠C=1:2:3 D.∠A=∠B=2∠C
7.在学校科技宣传活动中，某科技活动小组从“北斗”“天眼”“高铁”“人工智能”4个内容中，随机选择一个进行介绍．科技活动小组恰好选中“高铁”的概率为( )
A. B. C. D.
8.碳酸钠的溶解度y(g)与温度t(℃)之间的对应关系如图所示，则下列说法正确的是( )
A.当温度为60℃时，碳酸钠的溶解度为49g
B.碳酸钠的溶解度随着温度的升高而增大
C.当温度为40℃时，碳酸钠的溶解度最大
D.要使碳酸钠的溶解度大于43.6g，温度只能控制在40~80℃
（第8题图） （第9题图） （第10题图）
9.如图，小李用若干长方体小木块，分别垒了两堵与地面垂直的木块墙，其中木块墙AD=24cm，
CE=12cm．木块墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点B在DE上，点A和C分别与木块墙的顶端重合，则两堵木块墙之间的距离DE为( )
A.48cm B.42cm C.38cm D.36cm
10.如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地面的高度AB为2.5米，一名学生站在C处时，感应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离BC为1.2米，头顶离感应器的距离AD为1.5米，则这名学生身高CD为( )米．
A.0.9 B.1.3 C.1.5 D.1.6
11.已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，
折痕为EF，则△ABE的面积为( )
A.3 cm2 B.4 cm2 C.6 cm2 D.12 cm2
（第11题图） （第12题图）
12.有两个正方形A、B，将A、B并列放置后构造新的图形，分别得到长方形图甲与正方形图
乙．若图甲、图乙中阴影的面积分别为12与30，则正方形B的面积为 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
第Ⅱ卷（非选择题 共102分）
注意事项：
1.第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位
置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
2.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
二．填空题:（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13.计算：2m(m+n)= .
14.如果所示的地板由15块方砖组成，每一块方砖除颜色外完全相同，小球自由滚动，随机停在黑色方砖的概率为 ．
(第14题图) (第15题图) (第16题图) （第18题图）
15.有一个英语单词，其四个字母都关于直线l对称，如图是该单词各字母的一部分，请写出补全后的单词所指的物品 ．
16.如图，△ABC的顶点均在正方形网格的格点上，则∠ABC+∠ACB的度数等于 ．
17.我国首辆火星车正式被命名为“祝融”，为应对极限温度环境，火星车使用的是新型隔温材料纳米气凝胶，该材料导热率 K(W/m·K)与温度T（℃）的关系如表：根据表格中两者的对应关系，若导热率为0.5W/m·K，则温度为 ℃．
18.如图，△ABC中，∠B=30°，∠C=50°，点D为边BC上一点，将△ABD沿直线AD折叠后，点B落到点B’处，恰有B’D∥AC，则∠ADB的度数为 ．
三．解答题:（本大题共12个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19.（本题4分）计算：（﹣a）2·a4+（2a3）2．
20.（本题4分）计算：（3x﹣1）（x+2）．
21.（本题4分）根据条件画图，并回答问题：
（1）画一个锐角△ABC；
（2）画出BC边上的中线AE和AB边上的高CD．
22.（本题5分）请完善下列题目的解答过程，并在括号内填写相应的理论依据．
已知：如图，AB⊥BC，BC⊥CD且∠1=∠2，求证：BE∥CF．
证明：∵AB⊥BC，BC⊥CD
∴∠ABC=∠BCD=90°（ ）
∴∠1+∠EBC=90°，∠2+（ ）=90°
又∵∠1=∠2（已知）
∴∠EBC= （ ）
∴BE∥CF（ ）
23．（本题5分）如图，在△ABC中，∠ABC=80°，∠ACB=50°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，求∠BPC的度数．
对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．
解：∵ （已知），
∴∠PBC=∠ =40°
∴∠PBC=∠ABC=×80°=40°
同理可得∠PCB= ．
∵∠BPC+∠PBC+∠PCB=180( )
∴∠BPC=180°﹣∠PBC﹣∠PCB（等式的性质）
∴∠BPC= °
24．（本题6分）先化简，再求值：(x﹣2y)2﹣(2x﹣y)(2x+y)﹣5y2，其中x=1,y=﹣．
25．（本题6分）如图，点A、D、C、F在同一条直线上，AD=CF，AB=DE，BC=EF，
求证：∠B=∠E．
26．（本题6分）甲袋中有红球8个、白球5个和黑球12个；乙袋中有红球18个、白球9个和黑球23个．（每个球除颜色外都相同）“从乙袋中取出10个红球后，乙袋中的红球个数和甲袋中红球个数一样多，所以此时若从中任意摸出一个球是红球，选甲、乙两袋成功的机会相同”．你认为这种说法正确吗？为什么？
27．（本题8分）为了解某种品牌轿车的耗油情况，将油箱加满后进行了耗油试验，得到如下数据：
（1）该轿车油箱的容量为 L，行驶150km时，油箱剩余油量为 L．
（2）根据上表中的数据，直接写出油箱剩余油量Q(L)与轿车行驶的路程s(km)之间的关系式．
（3）某人将油箱加满后，驾驶该汽车从A地前往B地，到达B地时油箱剩余油量为10L，求A、B两地之间的距离．
28．（本题8分）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节，某校八年级（1）班的小明学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE（如图1），进行了如下操作：
①牵线放风筝的小明手抓线的地方与地面的距离AB为1.5米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线CB的长为17米；③测得小明手抓线的地方与风筝的水平距离BD的长为8米．
（1）求风筝的垂直高度CE；
（2）如图2，小明想让风筝沿CD方向下降9米到点M处，则他应该往回收线多少米？
29．（本题10分）（1）如图①，已知：△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥m于D，CE⊥m于E，猜想DE、BD、CE之间的数量关系为 ；
（2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，α为任意锐角或钝角，请问（1）中结论是否仍然成立？
如成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）应用：如图③，在△ABC中，∠BAC是钝角，AB=AC，∠BAD＞∠CAE，∠BDA=∠AEC=∠BAC，直线m与BC的延长线交于点F，若BC=2CF，△ABC的面积是12，求△ABD与△CEF的面积之和．
30．（本题12分）读材料，解答下列问题：若(x﹣1)(5﹣x)=3 ，求(x﹣1)2+(5﹣x)2的值.
小亮的解题方法如下：
设x﹣1=a，5﹣x=b
则(x﹣1)(5﹣x)=ab=3，a+b=x﹣1+5﹣x=4
∴(x﹣1)2+(5﹣x)2=a2+b2=（a+b）2﹣2ab=42﹣2×3=10
（1）运用材料中的方法解答：若(10﹣x)2+(x﹣8)2=124，求(10﹣x)(x﹣8)的值；
（2）如图1，长方形ABCD空地，AB=15米，BC=12米，在中间长方形EFGH上安放雕塑，四周剩余的宽度相同，设该宽度为x米，长方形EFGH中EF= 米，FG= 米．（用含x代数式表示）
（3）在（2）的条件下，如图2，以长方形EFGH四边为直径在形外做半圆，在四个半圆里种花，若长方形EFGH的面积为30平方米，求种花的面积．（结果保留π）
答案
一.选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是 ( D )
A. B. C. D.
2.如图，AB∥CD，若∠1=125°，则∠2的度数为( C )
A.35° B.45° C.55° D.125°
3.要画一个面积为30cm2长方形，其长为x cm，宽为y cm，在这一变化过程中，常量与变量分别为( A )
A.常量为30，变量为x、y B.常量为30、y，变量为x
C.常量为30、x，变量为y D.常量为x、y，变量为30
4.下列诗句所描述的事件中，属于必然事件的是( A )
A.黄河入海流 B.手可摘星辰 C.锄禾日当午 D.大漠孤烟直
5.下列运算正确的是( B )
A.a2+a3=a5 B.a2·a3=a5 C.(a2)3=a5 D.(2a)3=6a3
6.具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是( D )
A.∠A+∠B=∠C B.∠A-∠B=∠C C.∠A:∠B:∠C=1:2:3 D.∠A=∠B=2∠C
7.在学校科技宣传活动中，某科技活动小组从“北斗”“天眼”“高铁”“人工智能”4个内容中，随机选择一个进行介绍．科技活动小组恰好选中“高铁”的概率为( B )
A. B. C. D.
8.碳酸钠的溶解度y(g)与温度t(℃)之间的对应关系如图所示，则下列说法正确的是( C )
A.当温度为60℃时，碳酸钠的溶解度为49g
B.碳酸钠的溶解度随着温度的升高而增大
C.当温度为40℃时，碳酸钠的溶解度最大
D.要使碳酸钠的溶解度大于43.6g，温度只能控制在40~80℃
（第8题图） （第9题图） （第10题图）
9.如图，小李用若干长方体小木块，分别垒了两堵与地面垂直的木块墙，其中木块墙AD=24cm，
CE=12cm．木块墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点B在DE上，点A和C分别与木块墙的顶端重合，则两堵木块墙之间的距离DE为( D )
A.48cm B.42cm C.38cm D.36cm
10.如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地面的高度AB为2.5米，一名学生站在C处时，感应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离BC为1.2米，头顶离感应器的距离AD为1.5米，则这名学生身高CD为( D )米．
A.0.9 B.1.3 C.1.5 D.1.6
11.已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，
折痕为EF，则△ABE的面积为( C )
A.3 cm2 B.4 cm2 C.6 cm2 D.12 cm2
（第11题图） （第12题图）
12.有两个正方形A、B，将A、B并列放置后构造新的图形，分别得到长方形图甲与正方形图
乙．若图甲、图乙中阴影的面积分别为12与30，则正方形B的面积为 ( A )
A.3 B.4 C.5 D.6
第Ⅱ卷（非选择题 共102分）
注意事项：
1.第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位
置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
2.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
二．填空题:（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13.计算：2m(m+n)= 2m2+2mn .
14.如果所示的地板由15块方砖组成，每一块方砖除颜色外完全相同，小球自由滚动，随机停在黑色方砖的概率为 ．
(第14题图) (第15题图) (第16题图) （第18题图）
15.有一个英语单词，其四个字母都关于直线l对称，如图是该单词各字母的一部分，请写出补全后的单词所指的物品 书 ．
16.如图，△ABC的顶点均在正方形网格的格点上，则∠ABC+∠ACB的度数等于 45° ．
17.我国首辆火星车正式被命名为“祝融”，为应对极限温度环境，火星车使用的是新型隔温材料纳米气凝胶，该材料导热率 K(W/m·K)与温度T（℃）的关系如表：根据表格中两者的对应关系，若导热率为0.5W/m·K，则温度为 450 ℃．
18.如图，△ABC中，∠B=30°，∠C=50°，点D为边BC上一点，将△ABD沿直线AD折叠后，点B落到点B’处，恰有B’D∥AC，则∠ADB的度数为 115° ．
三．解答题:（本大题共12个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19.（本题4分）计算：（﹣a）2·a4+（2a3）2．
解：原式＝x6+4x6
＝5x6
20.（本题4分）计算：（3x﹣1）（x+2）．
解：原式=3x2﹣x+6x﹣2
=3x2+5x﹣2
21.（本题4分）根据条件画图，并回答问题：
（1）画一个锐角△ABC；
（2）画出BC边上的中线AE和AB边上的高CD．
略
22.（本题5分）请完善下列题目的解答过程，并在括号内填写相应的理论依据．
已知：如图，AB⊥BC，BC⊥CD且∠1=∠2，求证：BE∥CF．
证明：∵AB⊥BC，BC⊥CD
∴∠ABC=∠BCD=90°（ 垂直的定义 ）
∴∠1+∠EBC=90°，∠2+（ ∠BCF ）=90°
又∵∠1=∠2（已知）
∴∠EBC= ∠BCF （ 等角的余角相等 ）
∴BE∥CF（ 内错角相等，两直线平行 ）
23．（本题5分）如图，在△ABC中，∠ABC=80°，∠ACB=50°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，求∠BPC的度数．
对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．
解：∵ BP平分∠ABC （已知），
∴∠PBC=∠ ABC =40°
∴∠PBC=∠ABC=×80°=40°
同理可得∠PCB= 25° ．
∵∠BPC+∠PBC+∠PCB=180( 三角形内角和是180° )
∴∠BPC=180°﹣∠PBC﹣∠PCB（等式的性质）
∴∠BPC= 115° °
24．（本题6分）先化简，再求值：(x﹣2y)2﹣(2x﹣y)(2x+y)﹣5y2，其中x=1,y=﹣．
解：原式=x2﹣4xy+4y2﹣4x2+y2﹣5y2
=﹣3x2﹣4xy
当x=1,y=﹣时，原式=﹣3×12﹣4×1×(﹣)=﹣3+2=﹣1
25．（本题6分）如图，点A、D、C、F在同一条直线上，AD=CF，AB=DE，BC=EF，
求证：∠B=∠E．
证明：∵AD=CF
∴AD+DC=CF+DC
∴AC=DF
在△ABC和△DEF中
∴△ABC≌DEF(SSS)
∴∠B=∠E
26．（本题6分）甲袋中有红球8个、白球5个和黑球12个；乙袋中有红球18个、白球9个和黑球23个．（每个球除颜色外都相同）“从乙袋中取出10个红球后，乙袋中的红球个数和甲袋中红球个数一样多，所以此时若从中任意摸出一个球是红球，选甲、乙两袋成功的机会相同”．你认为这种说法正确吗？为什么？
解：说法不正确
从甲袋中摸到红球的可能性为P甲==
从乙袋中取出10个红球后，从乙袋中摸到红球的可能性为P乙===
∵≠
所以选甲、乙两袋成功的机会不相同，故说法不正确．
27．（本题8分）为了解某种品牌轿车的耗油情况，将油箱加满后进行了耗油试验，得到如下数据：
（1）该轿车油箱的容量为 L，行驶150km时，油箱剩余油量为 L．
（2）根据上表中的数据，直接写出油箱剩余油量Q(L)与轿车行驶的路程s(km)之间的关系式．
（3）某人将油箱加满后，驾驶该汽车从A地前往B地，到达B地时油箱剩余油量为10L，求A、B两地之间的距离．
解：（1）该轿车油箱的容量为50L行驶150km ，剩余油量为 38
Q=50﹣0.08s
（3）令Q=10，即50﹣0.08s=10
解得：s=500
A、B两地之间的距离为500km
28．（本题8分）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节，某校八年级（1）班的小明学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE（如图1），进行了如下操作：
①牵线放风筝的小明手抓线的地方与地面的距离AB为1.5米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线CB的长为17米；③测得小明手抓线的地方与风筝的水平距离BD的长为8米．
（1）求风筝的垂直高度CE；
（2）如图2，小明想让风筝沿CD方向下降9米到点M处，则他应该往回收线多少米？
解：（1）在Rt△CDB中，CD=15（米）
∵DE=AB=1.5米
∴CE=CD+DE=15+1.5=16.5（米）
答：风筝的高度CE为16.5米
（2）由题意得，CM=9米，
∴DM=CD﹣CM=15﹣9=6（米）
在Rt△BDM中，由勾股定理得：BM=10（米）
∴BC﹣BM=17﹣10=7（米）
答：小明应该往回收线7米
29．（本题10分）（1）如图①，已知：△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥m于D，CE⊥m于E，猜想DE、BD、CE之间的数量关系为 ；
（2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，α为任意锐角或钝角，请问（1）中结论是否仍然成立？
如成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）应用：如图③，在△ABC中，∠BAC是钝角，AB=AC，∠BAD＞∠CAE，∠BDA=∠AEC=∠BAC，直线m与BC的延长线交于点F，若BC=2CF，△ABC的面积是12，求△ABD与△CEF的面积之和．
（1）DE=BD+CE
（2）解：结论仍然成立
∵∠BDA=∠AEC=∠BAC=α
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180﹣α
∴∠CAE=∠ABD
在△ADB和△CEA中
∴△ADB≌△CEA(AAS)
∴AE=BD，AD=CE
∴DE=AE+AD=BD+CE
（3）解：∵∠BAD＞∠CAE，∠BDA=∠AEC=∠BAC
∴∠CAE=∠ABD
在△ABD和△CEA中
∴△ADB≌△CEA(AAS)
S△ABD=S△CEA
设△ABC的底边BC上的高为h，则△ACF的底边CF上的高为h
S△ABC=BC·h=12，S△ACF=CF·h=12
∵BC=2CF
∵S△ACF=6
∴S△ACF=S△CEF+S△CEA=S△CEF+S△ABD=6
∴△ABD与△CEF的面积之和为6
30．（本题12分）读材料，解答下列问题：若(x﹣1)(5﹣x)=3 ，求(x﹣1)2+(5﹣x)2的值.
小亮的解题方法如下：
设x﹣1=a，5﹣x=b
则(x﹣1)(5﹣x)=ab=3，a+b=x﹣1+5﹣x=4
∴(x﹣1)2+(5﹣x)2=a2+b2=（a+b）2﹣2ab=42﹣2×3=10
（1）运用材料中的方法解答：若(10﹣x)2+(x﹣8)2=124，求(10﹣x)(x﹣8)的值；
（2）如图1，长方形ABCD空地，AB=15米，BC=12米，在中间长方形EFGH上安放雕塑，四周剩余的宽度相同，设该宽度为x米，长方形EFGH中EF= 米，FG= 米．（用含x代数式表示）
（3）在（2）的条件下，如图2，以长方形EFGH四边为直径在形外做半圆，在四个半圆里种花，若长方形EFGH的面积为30平方米，求种花的面积．（结果保留π）
解：（1）设10﹣x=a，x﹣8=b
则有(10﹣x)2+(x﹣8)2=a2+b2=124
∴a+b=2，(10﹣x)(x﹣8)=ab
∴(10﹣x)(x﹣8)=ab=（22﹣124）=﹣60
即(10﹣x)(x﹣8)=﹣60
由题意得：EF=AB﹣x﹣x=(15﹣2x)米，FG=BC﹣x﹣x=(12﹣2x)米
（3） 长方形EFGH的面积为30平方米
∴(15﹣2x)(12﹣2x)=30
(15﹣2x)2+(12﹣2x)2=32+2×30=69
∴种花的面积=π（）2+π（）2=×69=m2