2023-2024学年北京市第一零九中学高二下学期期中考试数学试卷（含答案）

2023-2024学年北京市第一零九中学高二下学期期中考试数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.已知函数，设是函数的导函数，则的值为( )
A. B. C. D.
3.在二项式的展开式中，的系数为( )
A. B. C. D.
4.已知，，等于
A. B. C. D.
5.将六位教师分配到所学校，若每所学校分配人，其中分配到同一所学校，则不同的分配方法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6.设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是( )
A. B.
C. D.
7.甲口袋中有个红球，个白球，乙口袋中有个红球，个白球，先从甲口袋中随机取出球放入乙口袋，分别以，表示从甲口袋取出的球是红球白球的事件；再从乙口袋中随机取出球，以表示从乙口袋取出的球是红球的事件，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数，则不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
9.某校一场小型文艺晩会有个节目，类型为：个舞蹈类个歌唱类个小品类个相声类现确定节目的演出顺序，要求第一个节目不排小品类，个歌唱类节目不相邻，则不同的排法总数有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
10.已知定义域为的函数，其导函数为，且满足，，则( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.的展开式中的常数项为 ．
12.已知，则 ．
13.从，，，，这个数中任选个数，组成没有重复数字的三位数的个数为 ．
14.将五个学生代表名额分配到四个班级，每班至少有一人，则有 种不同的分配方案．用数字作答
15.设某学校有甲、乙两个校区和两个食堂，并且住在甲、乙两个校区的学生比例分别为和；在某次调查中发现住在甲校区的学生在食堂吃饭的概率为，而住在乙校区的学生在食堂吃饭的概率为，则任意调查一位同学是在食堂吃饭的概率为 如果该同学在食堂吃饭，则他是住在甲校区的概率为 结果用分数表示
三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
袋中有大小相同，质地均匀的个白球，个黑球，从中任取个球，设取到白球的个数为．
求的值；
求随机变量的分布列和数学期望．
17.本小题分
已知函数．
求函数的图象在点处的切线方程；
求函数的单调区间．
18.本小题分
如图，在三棱柱中，侧面为正方形，，，为的中点．
求证：平面；
若，求二面角的余弦值．
19.本小题分
已知函数．
若曲线在点处的切线斜率为，求实数的值；
当时，求证：；
若函数在区间上存在极值点，求实数的取值范围．
20.本小题分
已知椭圆的一个顶点为，离心率为．
求椭圆的方程；
设为原点．直线与椭圆交于两点不是椭圆的顶点，与直线交于点，直线分别与直线交于点求证：．
21.本小题分
已知函数．
求的单调区间；
若对恒成立，求的取值范围；
证明：若在区间上存在唯一零点，则．
答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.；．
16.根据题意可知，
“”指事件“取出的个球中，恰有个白球”，
所以．
根据题意可知，的可能取值为：．
；；．
所以随机变量的分布列为：
则的数学期望．
17.【详解】解：由函数，可得，可得，
因为切点为，所以切线方程为，即．
解：由函数，其定义域为，且，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增；
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为．
18.【详解】
如图，连接，设，连接．
因为在三棱柱中，四边形是平行四边形，所以为的中点．
因为为的中点，所以．
又因为平面，平面，
所以平面．
因为，，
又，平面，平面，
所以平面，又因平面，所以．
又，所以，，两两相互垂直．如图建立空间直角坐标系，
则，，，．
所以，．
设平面的法间量为，则即
令，则，于是．
因为平面，所以是平面的一个法向量．
所以．
由题设，二面角的平面角为钝角，
所以二面角的余弦值为．
19.【详解】解：因为，
所以．
由题知，
解得．
当时，，
所以．
当时，，在区间上单调递减；
当时，，在区间上单调递增；
所以是在区间上的最小值．
所以．
由知，．
若，则当时，，在区间上单调递增，
此时无极值．
若，令，
则．
因为当时，，所以在上单调递增．
因为，
而，
所以存在，使得．
和的情况如下：
极小值
因此，当时，有极小值．
综上，的取值范围是．
20.【详解】由题意可得，解得
所以椭圆的方程为；
由题意可知直线的斜率存在，设其方程为．
则，直线的方程为，
由，得，
由，得，
设，则，
直线的方程为，
联立直线和得，
解得，
同理可得，
所以，
因为
，
所以，即点和点关于原点对称，
所以．
．
21.解：因为，所以．
若，则，所以在区间上单调递增．
若，令，得．
当时，，所以在区间上单调递减
当时，，所以在区间上单调递增．
综上，当时，的单调递增区间为
当时，的单调递减区间为，单调递增区间为
若，当时，，，则在区间上单调递增．
所以所以符合题意．
若，则．
由可知在区间上单调递减，
所以当时，，综上，的取值范围为．
若在区间上存在唯一零点，
则，且．
欲证：只需证：
只需证：，
即证：．
由知，在区间上恒成立，
所以在区间上恒成立．
所以．
所以．
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