2023-2024学年江苏省泰州市高二下学期6月期末考试数学试题（含答案）

2023-2024学年江苏省泰州市高二下学期6月期末考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设是实数，已知，，若，则的值为
A. B. C. D.
2.对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是( )
A. B.
C. D.
3.学校安排位教师任教个班级，每位教师任教个班，则不同的安排方法的总数为
A. B. C. D.
4.抛掷一颗质地均匀的骰子一次，设表示结果向上的点数，则的方差为
A. B. C. D.
5.若某银行储蓄卡的密码由位数字组成．某人在银行自助取款机上输入密码时，忘记了密码的最后位数字，如果某人记得密码的最后位是偶数，那么这个人不超过次就输对密码的概率为
A. B. C. D.
6.已知的展开式中，仅有第项的二项式系数最大，则展开式中系数的最小值为
A. B. C. D.
7.已知条试题中有条选择题，甲无放回地依次从中抽取条题，乙有放回地依次从中抽取条题，甲、乙每次均抽取一条试题，抽出的条题中选择题的条数分别为，，，的期望分别为，，方差分别为，，则
A. ， B. ，
C. ， D. ，
8.在空间直角坐标系中，已知点，，，若点到平面的距离为，则点的坐标可以是
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某种产品的加工需要经过道工序，则以下说法正确的是
A. 如果其中某道工序不能放在最后，那么有种加工顺序
B. 如果其中某道工序不能放在最前，也不能放在最后，那么有种加工顺序
C. 如果其中某道工序必须相邻，那么有种加工顺序
D. 如果其中某道工序不能相邻，那么有种加工顺序
10.下列命题正确的是
A. 若随机变量，满足，，则
B. 若，，，则
C. 若，则
D. 若分布，，则
11.如图，四棱锥的底面为平行四边形，且，，，为的重心，为的中点．若，，则下列结论正确的是
A.
B.
C. 若，则向量，，共面
D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某企业生产的金属棒的长度单位：近似的服从正态分布，则长度的期望 ；随机抽取万根金属棒，长度在单位：的金属棒大约有 根．参考数据：，，
13.已知，，则__________用含有的式子表示
14.某高中高二班名学生、高二班名学生、高二班名学生参加“少年强则国强”演讲比赛，比赛采用随机抽签的方式确定出场顺序，每位学生依次出场．记“高二班全部学生完成比赛后，高二班和高二班都有学生尚未完成比赛”为事件，则事件发生的概率为__________．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在的展开式中，第项与倒数第项的系数之比为．
求的值；
求展开式中的有理项．
16.本小题分
某旅游景点开展景区游客满意度调查活动，统计得到年月至月对景区服务不满意的游客人数如下：
月份
不满意的人数
求对景区服务不满意的游客人数与月份之间的线性回归方程，并预测月该景点对景区服务不满意的游客人数；
工作人员从这个月内的调查表中随机抽查人，调查满意度与性别的关系，得到下表，则能否有的把握认为满意度与性别有关？
满意 不满意
女性
男性
附：线性回归方程为，其中，．
，．
17.本小题分
某同络挑战赛，依次回答从系统题库中随机选择的试题，每题作答完毕后，可以选择继续答题，或者结束比赛，系统计算比赛得分．已知该同学答对每道题的概率均为，且每次答题相互独立．
已知，若该同学连续作答道试题后结束比赛，记该同学答对道试题的概率为，则为何值时，取得最大值？
已知，若该同学选择连续作答道试题后结束比赛的概率为，，，，，求该同学恰好答错道试题的概率．
18.本小题分
在空间几何体中，四边形，均为直角梯形，，，，．
如图，若，求直线与平面所成角的正弦值；
如图，设
(ⅰ)求证：平面平面；
(ⅱ)若二面角的余弦值为，求的值．
19.本小题分
年世界羽毛球男、女团体锦标赛汤姆斯杯、尤伯杯日在四川成都落下帷幕，中国男女队在决赛中分别以比和比的比分战胜印度尼西亚男女队，捧起汤姆斯杯和尤伯杯．其中，中国女队是第次捧起尤伯杯，中国男队则是第次获得汤姆斯杯．羽毛球汤姆斯杯决赛实行五场三胜制，每场比赛采取三局两胜制，每一局比赛一方先得分且领先至少分则该局获胜；否则继续比赛，先领先分的选手获胜．若双方打成平，则先取得分的一方直接赢得该局比赛．在整个比赛过程中，赢得一球得分，并继续发球；否则对方得分，并交换发球．已知在一场汤姆斯杯决赛中，若选手甲发球且甲获胜的概率为，选手乙发球且甲获胜的概率为，每一球比赛的结果相互独立．现甲、乙两名选手比赛至平，且由甲发球．
求甲共发两次球赢得比赛的概率；
求甲以的比分赢得比赛的概率；
记比赛结束时乙发球的次数为，求的分布列及期望．
答案
1.
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4.
5.
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12.
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14.
15.解：的展开式的通项为，其中，，，，，
因为第项与倒数第项的系数之比为，
所以，
所以．
由知，，，，，，
因为，所以，，，
所以展开式中的有理项为：，，
16.解：由表中的数据可知：，
，
，
，
，
，
所求得回归直线方程为，
当时，，
该小区月份该景点对景区服务不满意的游客人数为人；
零假设为满意度与性别无关，
由表中的数据可得，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为有的把握认为满意度与性别有关。
17.解：该同学答对道试题的概率为，，，，，
当时，
有，
当时，当时，，
所以当时，取得最大值．
设“该同学连续作答道试题后结束比赛”为事件，，，，
“该同学恰好答错道题”为事件，
当时，由于在道试题中不可能有道答错，所以，
当时，由于在道试题中答错道，所以，
所以
．
18.解：设平面的一个法向量为，以为一组正交基底建立空间直角坐标系．
因为，所以平面，
所以，，，，，
所以．
设平面的一个法向量为，
则
令得，
直线与平面所成角为，
则．
设，，
因为，所以，
所以，．
设平面的一个法向量为，
则
令得，
(ⅰ)设平面的一个法向量为，
则
令得，
因为，
所以平面平面；
(ⅱ)设平面的一个法向量为，
则
令得，
设二面角的平面角为，
则
，
即，因为，所以．
所以
19.解：设“甲共发两次球赢得比赛”为事件，
因为事件即甲连赢场赢得比赛，所以，
即甲共发两次球赢得比赛的概率为．
设甲以的比分赢得比赛的概率为事件，
因为事件可以分解为个互斥的事件，
事件：甲、乙的比分依次为，
即甲发甲胜，甲发乙胜，乙发甲胜，甲发乙胜，乙发甲胜，
则．
事件甲、乙的比分依次为、、、、，
即甲发甲胜、甲发乙胜、乙发乙胜、乙发甲胜、甲发甲胜，
则．
事件甲、乙的比分依次为、、、、，
即甲发乙胜、乙发甲胜、甲发甲胜、甲发乙胜、乙发甲胜，
则．
事件甲、乙的比分依次为、、、、，
即甲发乙胜、乙发甲胜、甲发乙胜、乙发甲胜、甲发甲胜，
则．
所以．
，
由知甲以的比分赢得比赛的概率为，此时
同理乙以的比分赢得比赛的概率为，此时；
由知甲以的比分赢得比赛的概率为，此时
同理可得乙以的比分赢得比赛的概率为
，此时
设“甲以：的比分赢得比赛”为事件，因为事件可以分解为个互斥的事件．
事件甲、乙的比分依次为、、、，
即甲发甲胜、甲发乙胜、乙发甲胜、甲发甲胜，
．
事件甲、乙的比分依次为、、、，
即甲发乙胜、乙发甲胜、甲发甲胜、甲发甲胜，
．
所以，此时；
设“乙以：的比分赢得比赛”为事件，因为事件可以分解为个互斥的事件．
事件甲、乙的比分依次为、、、，
即甲发甲胜、甲发乙胜、乙发乙胜、乙发乙胜，
．
事件甲、乙的比分依次为、、、，
即甲发乙胜、乙发甲胜、甲发乙胜、乙发乙胜，
．
所以，此时；
故
．
故的分布列为
．
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