2023-2024学年江苏省南京市六校联合体高二下学期期末调研测试数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年江苏省南京市六校联合体高二下学期期末调研测试数学试卷（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 73.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-06-27 19:51:50 | ||
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文档简介
2023-2024学年江苏省南京市六校联合体高二下学期期末调研测试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.对于，两个变量，有四组样本数据，分别算出它们的线性相关系数如下，则线性相关性最强的是
A. B. C. D.
2.在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点坐标是
A. B. C. D.
3.已知，则
A. B. C. D.
4.个男生个女生站成一排，其中女生相邻的排法个数是
A. B. C. D.
5.已知函数，那么的值是
A. B. C. D.
6.已知随机变量，满足：，，，则( )
A. B. C. D.
7.给出下列四个命题，其中真命题是
A. 若向量与向量，共面，则存在实数，，使
B. 若存在实数，，使，则点，，，共面
C. 直线的方向向量为，平面的法向量为，则
D. 若平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则
8.若函数有两个极值点，且，则下列结论中不正确的是( )
A. B. C. 的范围是 D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.，分别为随机事件，的对立事件，下列命题正确的是
A.
B. 若，，则
C. 若，则与独立
D.
10.已知函数，下列选项正确的是
A. 若在区间上单调递减，则的取值范围为
B. 若在区间上有极小值，则的取值范围为
C. 当时，若经过点可以作出曲线的三条切线，则实数的取值范围为
D. 若曲线的对称中心为，则
11.在棱长为的正方体中，点在底面内运动含边界，点是棱的中点，则
A. 若在棱上时，存在点使
B. 若是棱的中点，则平面
C. 若平面，则是上靠近的四等分点
D. 若在棱上运动，则点到直线的距离最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.平面过点，其法向量为，则点到平面的距离为 ．
13.从集合的子集中选出个不同的子集，，且，则一共有 种选法．
14.现有甲、乙两个盒子，甲盒有个红球和个白球，乙盒有个红球和个白球．先从甲盒中取出个球放入乙盒，再从乙盒中取出个球放入甲盒．记事件为“从甲盒中取出个红球”，事件为“乙盒还剩个红球和个白球”，则 ， ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
为了研究学生的性别与喜欢运动的关联性，随机调查了某中学的名学生，整理得到如下，如表数据：
男学生 女学生 合计
喜欢运动
不喜欢运动
合计
求，的值，并判断是否有的把握认为“学生的性别与喜欢运动有关联”？
经调查，学生的学习效率指数与每天锻炼时间单位：拾分钟呈线性相关关系，统计数据见下表，求关于的线性回归方程．
附：
16.本小题分
已知的展开式中，第，，项的二项式系数成等差数列．
求的值；
求的近似值精确到；
求的二项展开式中系数最大的项．
17.本小题分
如图，所有棱长均为的正四棱锥，点，分别是，上靠近，的三等分点．
求证：；
求二面角的余弦值．
18.本小题分
某校举行投篮趣味比赛，甲、乙两位选手进入决赛，每位选手各投篮次，选手在连续投篮时，第一次投进得分，并规定：若某次投进，则下一次投进的得分比本次得分多分；若某次未投进，则该次得分，且下一次投进得分．已知甲同学每次投进的概率为，乙同学每次投进的概率为，且甲、乙每次投篮相互独立．
求甲最后得分的概率；
记甲最后得分为，求的概率分布和数学期望；
记事件为“甲、乙总分之和为”，求．
19.本小题分
定义：如果函数与的图象上分别存在点和点关于轴对称，则称函数和具有“伙伴”关系．
判断函数与是否具有“伙伴”关系；
已知函数，，，．
若两函数具有“伙伴”关系，求的取值范围；
若两函数不具有“伙伴”关系，求证：，其中为正整数．
答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解： 由题意得，解得，
假设 认为学生的性别与是否喜欢运动无关联，
，
所以根据 的独立性检验，认为 不成立，
即认为学生的性别与喜欢运动有关联；
由题意得 ，
， ，
回归方程为 ．
16.解：展开式中第，，项的二项式系数成等差数列，
，整理得 ，
解之，得 ，又 ，
依题意得 ，
即
解之， ，
又 ，
故展开式中系数最大得项为．
17.解：连接 交 于 ，建立如图所示的空间直角坐标系
则 ，
， ， ， ，
， ，
，
， ，
设平面 的法向量为 ，则
， ，取，解得：，
设平面 的法向量为 ，
设二面角 的平面角为 ，
，
由图可知二面角 的余弦值为 。
18.解：记事件 为“甲得分”，
的取值为，，，，，，，
，
，
，
，
，
，
，
记 为乙最后得分，则事件 为“甲分，乙分”，“甲分，乙分”，
“甲分，乙分”，“甲分，乙分”，
，
，
，
，
故 ．
19.解：函数与具有“伙伴”关系，理由如下：
根据定义，若与具有“伙伴”关系，
则在与的定义域的交集上存在，使得．
所以，即，解得，
所以与具有“伙伴”关系．
函数，，，
令，，，
，
两函数具有“伙伴”关系，则函数在上有零点．
当时， ，所以在上递减，
所以，此时函数无零点，不符合题意
当时， 在上递增，在上递减，
且时，，
当时，函数的导函数 ，所以该函数在上递减，
所以，所以，从而，即
此时，
取所以
从而 ，又函数图象在上连续不间断，
由零点存在定理可得，函数在上存在唯一零点，
即存在，使得，
综上可得，若两函数具有“伙伴”关系， 的取值范围为 ；
由可得若两函数不具有“伙伴”关系，的取值范围为，
且当时，恒有成立，即 在恒成立，
所以当 时，可得 ，
同理 ， ，
， 。
两边分别累加得：
，
即 ，
即 ．
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数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.对于，两个变量，有四组样本数据，分别算出它们的线性相关系数如下，则线性相关性最强的是
A. B. C. D.
2.在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点坐标是
A. B. C. D.
3.已知，则
A. B. C. D.
4.个男生个女生站成一排，其中女生相邻的排法个数是
A. B. C. D.
5.已知函数，那么的值是
A. B. C. D.
6.已知随机变量，满足：，，，则( )
A. B. C. D.
7.给出下列四个命题，其中真命题是
A. 若向量与向量，共面，则存在实数，，使
B. 若存在实数，，使，则点，，，共面
C. 直线的方向向量为，平面的法向量为，则
D. 若平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则
8.若函数有两个极值点，且，则下列结论中不正确的是( )
A. B. C. 的范围是 D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.，分别为随机事件，的对立事件，下列命题正确的是
A.
B. 若，，则
C. 若，则与独立
D.
10.已知函数，下列选项正确的是
A. 若在区间上单调递减，则的取值范围为
B. 若在区间上有极小值，则的取值范围为
C. 当时，若经过点可以作出曲线的三条切线，则实数的取值范围为
D. 若曲线的对称中心为，则
11.在棱长为的正方体中，点在底面内运动含边界，点是棱的中点，则
A. 若在棱上时，存在点使
B. 若是棱的中点，则平面
C. 若平面，则是上靠近的四等分点
D. 若在棱上运动，则点到直线的距离最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.平面过点，其法向量为，则点到平面的距离为 ．
13.从集合的子集中选出个不同的子集，，且，则一共有 种选法．
14.现有甲、乙两个盒子，甲盒有个红球和个白球，乙盒有个红球和个白球．先从甲盒中取出个球放入乙盒，再从乙盒中取出个球放入甲盒．记事件为“从甲盒中取出个红球”，事件为“乙盒还剩个红球和个白球”，则 ， ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
为了研究学生的性别与喜欢运动的关联性，随机调查了某中学的名学生，整理得到如下，如表数据：
男学生 女学生 合计
喜欢运动
不喜欢运动
合计
求，的值，并判断是否有的把握认为“学生的性别与喜欢运动有关联”？
经调查，学生的学习效率指数与每天锻炼时间单位：拾分钟呈线性相关关系，统计数据见下表，求关于的线性回归方程．
附：
16.本小题分
已知的展开式中，第，，项的二项式系数成等差数列．
求的值；
求的近似值精确到；
求的二项展开式中系数最大的项．
17.本小题分
如图，所有棱长均为的正四棱锥，点，分别是，上靠近，的三等分点．
求证：；
求二面角的余弦值．
18.本小题分
某校举行投篮趣味比赛，甲、乙两位选手进入决赛，每位选手各投篮次，选手在连续投篮时，第一次投进得分，并规定：若某次投进，则下一次投进的得分比本次得分多分；若某次未投进，则该次得分，且下一次投进得分．已知甲同学每次投进的概率为，乙同学每次投进的概率为，且甲、乙每次投篮相互独立．
求甲最后得分的概率；
记甲最后得分为，求的概率分布和数学期望；
记事件为“甲、乙总分之和为”，求．
19.本小题分
定义：如果函数与的图象上分别存在点和点关于轴对称，则称函数和具有“伙伴”关系．
判断函数与是否具有“伙伴”关系；
已知函数，，，．
若两函数具有“伙伴”关系，求的取值范围；
若两函数不具有“伙伴”关系，求证：，其中为正整数．
答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解： 由题意得，解得，
假设 认为学生的性别与是否喜欢运动无关联，
，
所以根据 的独立性检验，认为 不成立，
即认为学生的性别与喜欢运动有关联；
由题意得 ，
， ，
回归方程为 ．
16.解：展开式中第，，项的二项式系数成等差数列，
，整理得 ，
解之，得 ，又 ，
依题意得 ，
即
解之， ，
又 ，
故展开式中系数最大得项为．
17.解：连接 交 于 ，建立如图所示的空间直角坐标系
则 ，
， ， ， ，
， ，
，
， ，
设平面 的法向量为 ，则
， ，取，解得：，
设平面 的法向量为 ，
设二面角 的平面角为 ，
，
由图可知二面角 的余弦值为 。
18.解：记事件 为“甲得分”，
的取值为，，，，，，，
，
，
，
，
，
，
，
记 为乙最后得分，则事件 为“甲分，乙分”，“甲分，乙分”，
“甲分，乙分”，“甲分，乙分”，
，
，
，
，
故 ．
19.解：函数与具有“伙伴”关系，理由如下：
根据定义，若与具有“伙伴”关系，
则在与的定义域的交集上存在，使得．
所以，即，解得，
所以与具有“伙伴”关系．
函数，，，
令，，，
，
两函数具有“伙伴”关系，则函数在上有零点．
当时， ，所以在上递减，
所以，此时函数无零点，不符合题意
当时， 在上递增，在上递减，
且时，，
当时，函数的导函数 ，所以该函数在上递减，
所以，所以，从而，即
此时，
取所以
从而 ，又函数图象在上连续不间断，
由零点存在定理可得，函数在上存在唯一零点，
即存在，使得，
综上可得，若两函数具有“伙伴”关系， 的取值范围为 ；
由可得若两函数不具有“伙伴”关系，的取值范围为，
且当时，恒有成立，即 在恒成立，
所以当 时，可得 ，
同理 ， ，
， 。
两边分别累加得：
，
即 ，
即 ．
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