2023-2024学年陕西省西安市部分校高二期末考试数学试卷（含答案）

2023-2024学年陕西省西安市部分校高二期末考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合， ，则中元素的个数为( )
A. B. C. D. 无数个
2.不等式的解集是
A. B.
C. D.
3.若，，，则大小关系是( )
A. B. C. D.
4.已知函数，则( )
A. B. C. D.
5.下列各函数中，值域为的是( )
A. B.
C. D.
6.定义在上的函数满足，则下列是周期函数的是
A. B. C. D.
7.已知正数，满足恒成立，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.设函数，则( )
A. 是偶函数，且在单调递增 B. 是奇函数，且在单调递减
C. 是偶函数，且在单调递增 D. 是奇函数，且在单调递减
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数中，周期为的函数是( )
A. B.
C. D.
10.设，为两个随机事件，以下命题正确的为( )
A. 若，是互斥事件，，，则
B. 若，是对立事件，则
C. 若，是独立事件，，，则
D. 若，，且，则，是独立事件
11.已知函数满足对任意的，都有，，若函数的图象关于点对称，且对任意的，，，都有，则下列结论正确的是( )
A. 的图象关于直线对称 B. 是偶函数
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在等比数列中，已知，________．
13.方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是___________．
14.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷次，得到的点数分别为，，，，，，则这个点数的中位数为的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在等差数列中，．
求的通项公式；
求数列的前项和．
16.本小题分
某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度单位：介于之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示．
求的值；
以频率估计概率，完成下列问题．
(ⅰ)若从所有花卉中随机抽株，记高度在内的株数为，求的分布列及数学期望；
(ⅱ)若在所有花卉中随机抽取株，求至少有株高度在的条件下，至多株高度低于的概率．
17.本小题分
如图，直三棱柱的侧棱长为，，，，，分别为，，的中点．
证明：平面平面；
若直线与平面所成的角大小为，求二面角的余弦值．
18.本小题分
已知，分别为椭圆：，的左、右焦点，，分别是椭圆的右顶点和上顶点，椭圆的离心率为，的面积为．
求椭圆的标准方程；
若点在椭圆上，则点称为点的一个“椭点”直线与椭圆交于，两点，，两点的“椭点”分别为，问：是否存在过点的直线，使得以为直径的圆经过坐标原点？若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
已知函数，其中．
求的单调区间；
当时，斜率为的直线与函数的图象交于两点，，其中，证明：；
是否存在，使得对任意恒成立？若存在，请求出的最大值；若不存在，请说明理由．
答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：设的公差为，则
解得
所以．
方法一
．
方法二当为偶数时，
当奇数时，
．
综上，

16.解:(1)由题意得(0.05+0.075+0.1+a+0.15)2=1,解得a=0.125，
(2)(i)依题意,X~B(4,),
P(X=0)==,
P(X=1)==,
P(X=2)==,
P(X=3)==,
P(X=4)==,
X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
则E(X)=4=1;
(ii) 在所有花卉中随机抽取3株, 记至少有2株高度在[21,25]为事件M,
至多1株高度低于23cm为事件N,
则P(M)=+=,
P(MN)=++=,
则P(N|M)==2=.
17.解：设中点，连接，易知，
以为原点，，分别为，轴的正半轴建立如图的空间坐标系，设，
则，，，，，
，，，，
设的中点为，则，所以，
而，，
，、平面，
平面，
平面，平面平面C.
设，平面的一个法向量，
，
设平面的法向量为，
，，
令，得到，
设平面的法向量为，
，，
得到，
设二面角为，易知，
则，．

18.解：由题意得 ，故 ，结合 得 ，
则 ，
，得 ， ，故椭圆 的标准方程为 ．
当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 ，
联立得 ，解得 或 ，
不妨令 ，则 ．
因 ，故此时以 为直径的圆不过坐标原点 ．
当直线 的斜率存在时，如图，设直线 的方程为 ，
联立得 ，消去 得 ，
设 ，则 ，
由根与系数的关系可得 ，
若以 为直径的圆经过坐标原点 ，则 ，
而 ，因此 ，
即 ，
将代入得 ，
因 ，化简得 ，解得 ．
故直线 的方程为 或 ．
19.解：，，
当时，，即在上是增函数．
当时，时，，故在上单调递增；
时，，故在上单调递减．
综上所述，当时，的增区间为；
当时，的单调增区间为，的单调减区间为；
当时，，
，
．
要证，即证，
，即证．
令，即证．
令，
由知，在上单调递减，
，即，则
令，
则，
在上单调递增，
则，即
综合得：，即；
由已知，
即为，，
即，．
令，，
则，
当时，，故在上单调递增，
由，则，矛盾．
当时，由，解得，由，解得，
故在上单调递减，在上单调递增，
．
即讨论恒成立，求的最小值．
令，则，
当，即时，单调递增，
当，即时，单调递减，
时，，
又，
不存在整数，使得，
综上所述，不存在满足题意的整数．
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