湖北省襄阳四中、恩施高中、夷陵中学2024年6月高二联合测评数学试卷（含答案）

湖北省襄阳四中、恩施高中、夷陵中学2024年6月高二联合测评
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知的展开式的各项系数之和为，则( )
A. B. C. D.
2.学校要从名候选人其中名来自甲班中选名同学组成学生会，则甲班恰有名同学被选中的概率为( )
A. B. C. D.
3.设是可导函数，若，则( )
A. B. C. D.
4.如图是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．记格子从左到右的编号分别为，用表示小球最后落入格子的号码，若，则
A. B. C. D.
5.为促进城乡教育均衡发展，某地区教育局将安排包括甲乙在内的名城区教师前往三所乡镇学校支教．若每所学校至少安排名教师，每名教师只去一所学校，则甲乙不安排在同一个学校的概率为( )
A. B. C. D.
6.把，，，，这个数排成一列，则满足先增后减例如：，，，，的数列的个数是．
A. B. C. D.
7.不透明的布袋里装有不同编号且大小完全相同的红色，白色，黑色，蓝色的球各两个，从中随机选个球，则在已有两个球是同一颜色的条件下，另外两球不同色的概率为( )
A. B. C. D.
8.已知函数与存在公切线，则实数的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论正确的是( )
A. 为正整数且
B. 满足方程的值可能为或
C. 甲、乙、丙等人排成一列，若甲与丙不相邻，则共有种排法
D. 把个相同的小球分到个不同的盒子中，每个盒子至少分得一个小球的分法共有种
10.下列命题中，正确的有( )
A. 若随机变量，，则
B. 若，，，则事件与事件独立
C. 若随机变量，则
D. 若两组成对数据的样本相关系数分别为，，则组数据比组数据的相关性强
11.函数与之间的关系非常密切，号称函数中的双子座，以下说法正确的是( )
A. 若，，使得成立，则
B.
C. 直线与两个函数图象交点的横坐标之积的范围是
D. 若直线过两个函数图象的公共点，则直线与两个函数图象的所有交点横坐标从小到大排列依次构成等比数列
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知变量的统计数据如下表，对表中数据作分析，发现与之间具有线性相关关系，利用最小二乘法，计算得到经验回归方程为，据此模型预测，当时的值为_________．
13.若函数在处有极小值，则实数____________________．
14.根据统计数据，某种植物感染病毒之后，其存活日数为正整数满足：对于任意的，的样本在的样本里的数量占比与的样本在全体样本中的数量占比相同，且均等于，即，则____________________．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在的展开式中，前项的系数成等差数列，且第二项的系数大于．
求展开式中含的项；
求展开式中所有项的二项式系数的和及二项式系数最大的项．
16.本小题分
某工厂有名工人，想通过验血的方法筛查出某种细菌感染性疾病，抽样化验显示，当前携带该细菌的人约占，若逐个化验需要化验次统计专家提出一种化验方法：随机按人一组进行分组，将各组人的血液混合在一起化验，若混合血样呈阴性未感染，则这人的血样全部阴性若混合血样呈阳性感染，则说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次．该疾病主要通过人与人之间进行传播，感染人群年龄大多数是岁以上人群该细菌进入人体后有潜伏期，潜伏期是指病原体侵入人体至最早出现临床症状的这段时间潜伏期越长，感染到他人的可能性越高，现对已发现的个病例的潜伏期单位：天进行调查，统计发现潜伏期平均数为，方差为如果认为超过天的潜伏期属于“长潜伏期”，按照年龄统计样本，得到下面的列联表：
年龄人数 长期潜伏 非长期潜伏
岁以上
岁及岁以下
依据的独立性检验，能否认为“长潜伏期”与年龄有关
假设潜伏期服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差为了防止该疾病的传播，现要求感染者的密接者居家隔离天，请用概率的知识解释其合理性．
附：
若，则，，．
17.本小题分
已知函数．
讨论函数的单调性；
若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围．
18.本小题分
在信息理论中，和是两个取值相同的离散型随机变量，分布列分别为：，，，，，，，，定义随机变量的信息量，和的“距离”．
若，求的分布列和
已知发报台发出信号为和，接收台收到信号只有和现发报台发出信号为的概率为，由于通信信号受到干扰，发出信号接收台收到信号为的概率为，发出信号接收台收到信号为的概率为．
(ⅰ)若，求接收台收到信号为的条件下，发报台发出信号为的概率
(ⅱ)记随机变量和分别为发出信号和收到信号，证明：
19.本小题分
若函数的定义域为，有，使且，则对任意实数，，曲线与直线总相切，称函数为恒切函数．
判断函数是否为恒切函数，并说明理由
若函数为恒切函数．
(ⅰ)求实数的取值范围
(ⅱ)当取最大值时，若函数为恒切函数，记，证明：A.
注：是自然对数的底数参考数据：
答案
1.
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15.解：二项式展开式的通项为，
所以第一项的系数为，
第二项的系数为：，
第三项的系数为：，
由前三项的系数成等差数列，且第二项的系数大于，
则，
解得：，或舍去，
二项式通项公式为，
根据题意，得，
解得：，
因此，展开式中含的项为：；
因为，所以二项式系数的和为，
因为，，
所以二项式系数最大的项为
16.解:
(1) 零假设: “长潜伏期”与年龄无关.
根据列联表中的数据得==2.58<3.841,
故依据=0.05的独立性检验,认为“长潜伏期”与年龄无关.
(2) 因为潜伏期X~N(7.2，),
由P(X13.95)==0.0013,
得知潜伏期超过14天的概率很低,因此隔离14天是合理的.
17.解：函数的定义域为，
则，
当时，，此时函数在上单调递增
当时，令，可得
令，可得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减．
综上知，当时，函数在上单调递增
当时，函数在上单调递增，在上单调递减．
由，
若函数在区间上是增函数，
则时，恒成立，
令，则，
令，解得，可得函数增区间为，
令，解得，可得函数减区间为，
所以，
所以，
故实数的取值范围为
18.解：因为，，
所以的分布列为：
记发出信号和分别为事件，
接受信号和分别为事件，
则，，
，
，
所以
，
所以．
由知，，
所以，
所以，
设，则，
当时，，递增递增
当时，，单调递减
所以，即，
所以，
所以，
当且仅当，
即，时等号成立，即得证．
19.解：函数是恒切函数，理由如下：
设函数为恒切函数，则有，使且，
即
解得，
故函数是恒切函数．
由函数为恒切函数可知，
存在，使得且，
即解得，，
设，，
当时，递增当时，递减．
，即实数的取值范围是
证明：当时，，函数为恒切函数．
又，
所以存在，使得，即．
令，则，
当时，递减当时，递增．
所以当时，
，，
故在上存在唯一，
使得，即．
又由
得
由得，所以．
又，所以当时，有唯一零点，
故由得，即．
A.
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