2023-2024学年江苏省南京外国语学校高一（下）段考数学试卷（5月份）（含答案）

2023-2024学年江苏省南京外国语学校高一（下）段考
数学试卷（5月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知两异面直线，所成的角为，过空间一点作直线，使得与，的夹角均为，那么这样的直线有条
A. B. C. D.
2.对于四面体，给出下列四个命题：
若，，则；
若，，则；
若，，则；
若，，则．
其中为真命题的是( )
A. B. C. D.
3.已知正五边形的边长为，内切圆的半径为，外接圆的半径为，，则( )
A. B. C. D.
4.已知是平面向量，是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是( )
A. B. C. D.
5.三棱锥中，，是棱上的动点，点在平面的射影在内部，与所成的角为，与面所成的角为，二面角为，则( )
A.
B.
C.
D.
6.已知复数，和满足，若，则的最大值为( )
A. B. C. D.
7.如图，已知菱形中，，，为边的中点，将沿翻折成点位于平面上方，连接和，为的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是( )
平面平面
与的夹角为定值
三棱锥体积最大值为
点的轨迹的长度为
A. B. C. D.
8.已知三棱锥三条侧棱，，两两互相垂直，且，、分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，则线段的长度的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知四面体的各个面均为全等的等腰三角形，且设为空间内任一点，且，，，，五点在同一个球面上，则( )
A. 四面体的面积为
B. 四面体的体积为
C. 当时，点的轨迹长度为
D. 当三棱锥的体积为时，点的轨迹长度为
10.已知，用表示不超过的最大整数若函数，函数，则下列说法正确的是( )
A. 函数是奇函数 B. 函数的值域是
C. 函数的图象关于直线对称 D. 方程只有一个实数根
11.设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面．已知在直四棱柱中，底面为菱形，，则下列结论正确的是( )
A. 直四棱柱在其各顶点处的离散曲率都相等
B. 若，则直四棱柱在顶点处的离散曲率为
C. 若，则直四棱柱在顶点处的离散曲率为
D. 若四面体在点处的离散曲率为，则平面
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在复平面中，已知点、，复数、对应的点分别为、，且满足，，则的最大值为______．
13.正四棱台，其上、下底面的面积分别为，，该正四棱台的外接球表面积为，则该正四棱台的体积为______．
14.如图所示，在棱长为的正方体中，点是平面内的动点，满足，则直线与平面所成角的正切值的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中，且，点为棱的中点．
求证：平面；
若为上的动点，则线段上是否存在点，使得平面？若存在，请确定点的位置，若不存在，请说明理由．
16.本小题分
如图，在四面体中，已知，．
求证：；
求直线与平面所成的角；
求二面角的正切值．
17.本小题分
如图所示，在斜三棱柱中，底面是等腰三角形，，是的中点，侧面底面．
求证：；
过侧面的对角线的平面交侧棱于点，若，求证：截面侧面；
若截面平面，则成立吗？请说明理由．
18.本小题分
在中，、为边上两点，且满足，，，，
求证：；
求证：为定值；
求面积的最大值．
19.本小题分
在锐角中，，点为的外心．
若，求的最大值；
若．
(ⅰ)求证：；
(ⅱ)求的取值范围．
答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.或
14.
15.证明：取的中点，连接，，
因为为的中点，
所以，且，
又因为，且，
所以，且，
所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，
所以平面；
解：存在点，且为的中点，
证明如下：当为的中点时，则，
又因为平面，平面，
所以平面，
又因为，
所以平面，所以平面平面，
又因为，所以平面，
所以平面．
16.解：证明：取中点，连接，，
因为，，所以，，
因为，平面，且，
所以平面，平面，
所以．
因为，，
所以，所以，
所以为等腰直角三角形，且，
又，，
所以平面，所以与平面所成角为，
直线与平面所成的角为．
取中点，连接，，
则，且，
因为，所以，所以，
又，所以，
所以是二面角的平面角，
在中，，
即二面角的正切值为．
17.证明：，是的中点，．
底面侧面，底面侧面，底面，
侧面C.
又侧面，．
证明：如图，延长，与的延长线交于点，
连接，则平面，
，，
，
，由已知侧面底面，
所以侧面底面，交线为，
底面，
侧面，平面，
截面侧面C.
成立理由如下：
截面侧面，根据面面垂直的性质，
侧面C.
又侧面，，
，，，四点共面．
侧面，平面，
平面平面，．
四边形是平行四边形，
又，．
是的中点，．
．
．
18.证明：在中，由正弦定理得，，
在中，由正弦定理得，，
因为，
所以，即．
证明：因为，，，，
所以，
，
两式相乘得，，
所以，为定值．
解：由知，
设，则，
所以，
在中，由余弦定理知，，
所以，
所以，
由，得，
故当时，取得最大值，
所以面积的最大值为．
19.解：令外接圆半径为，
，，
，则，
为锐角三角形，则，即，
，
，，
，，解得或，
综上，当且仅当时等号成立，故的最大值为．
由题设知，即，且，
，
即，
，
，，
，
令与的夹角为，则，，
；
，
，，，，即，
且，
则，
，
的取值范围
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