2023-2024学年河北省廊坊市文安一中高一（下）月考数学试卷（5月份）（含答案）

2023-2024学年河北省廊坊市文安一中高一（下）月考
数学试卷（5月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数在复平面内对应的点所在的象限为( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.某校高一年级有男学生人，女学生人，已知男学生、女学生的平均身高分别为和则该校高一年级全体学生的平均身高为( )
A. B. C. D.
3.已知单位向量与的夹角为，则( )
A. B. C. D.
4.已知，，是三条不同的直线，，是两个不同的平面，，，，，，则下列命题正确的是( )
A. B. C. D.
5.在正方形中，点满足，点满足，若，则( )
A. B. C. D.
6.九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，在如图所示的鳖臑中，平面，，，分别为，的中点，过的截面与交于点，与交于点，，若截面，且截面，四边形是正方形，则( )
A. B. C. D.
7.如图，一艘船航行到点处时，测得灯塔在其北偏西的方向，随后该船以海里小时的速度，往正北方向航行两小时后到达点，测得灯塔在其南偏西的方向，此时船与灯塔间的距离为( )
A. 海里
B. 海里
C. 海里
D. 海里
8.如图，在圆锥的底面圆中，为直径，为圆心，点在圆上，且，，为线段上的动点，则的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知平面向量，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. 与的夹角为 D. 在上的投影向量为
10.关于复数，下面是真命题的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
11.如图，该多面体的表面由个全等的正方形和个全等的正三角形构成，该多面体的所有顶点都在同一个正方体的表面上若，则( )
A.
B. 该多面体外接球的表面积为
C. 直线与直线的夹角为
D. 二面角的余弦值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某社区有男性居民名，女性居民名，该社区卫生服务站为了解该社区居民的身体健康状况，对该社区所有居民按性别采用等比例分层随机抽样的办法进行抽样调查，抽取了一个容量为的样本，则样本中男性居民的人数为______．
13.某同学将一张圆心角为的扇形纸壳裁成扇环如图后，制成了简易笔筒如图的侧面，已知，则制成的简易笔筒的高为______．
14.已知，且，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
的内角，，的对边分别为，，，已知．
求的值；
若，的面积为，求的周长．
16.本小题分
在等腰梯形中，的中点为，以为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，已知，，．
求；
若点在线段上，，求．
17.本小题分
如图，在六面体中，，正方形的边长为，，．
证明：平面平面．
求直线与平面所成角的正切值．
求多面体的体积．
18.本小题分
如图，在平面四边形中，为线段的中点，．
若，求；
若，，求的最大值．
19.本小题分
如图所示，在中，，，分别是，上的点，且，将沿折起到的位置，使，如图所示是线段的中点，是上的点，平面．
求的值．
证明：平面平面．
求点到平面的距离．
答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：已知，
代入正弦定理得，
即，又，则．
由于，则，
的面积为，则，所以．
由已知及余弦定理得，所以，
从而，，
所以的周长为．
16.解：根据题意，可得，，，
设，可得，所以，解得，得．
所以，，可得；
设，可得，结合，得，解得，
所以，可得，结合，
所以，．
17.解：证明：，平面，平面，
平面，
在正方形中，，又平面，
平面，平面，
，平面，平面，
平面平面．
连接，延长，交于点，
正方形的边长为，，．
，，
，，，
，平面，
为直线与平面所成的角，
在中，由，解得，
即直线与平面所成角的正切值为．
连接，则，
易证平面，
多面体的体积．
18.解：连接在中，，
，．
，，．
在中，，，
，为线段的中点，．
在中，．
设．
在中，由正弦定理得，
，
在中，由余弦定理知
，其中．
当时，，即．
故AE的最大值为．
19.解：过点作交于点，连接，设，
，，
点，，，在同一平面内，
平面，平面平面，
，
四边形为平行四边形，即，
故．
证明：在中，，，，，
是线段的中点，，，
，，
在中，，
，，
由题意可得，，
，，
，
平面，平面，
，
又，平面，平面，
平面，
由可得，平面，
平面，
平面平面．
，平面，
平面，
点到平面的距离与点到平面的距离相等，
由得，平面，
为点到平面的距离，且点到平面的距离为，
点到平面的距离为．
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