2023-2024学年河北省保定市定州二中高一（下）月考数学试卷（5月份）（含答案）

2023-2024学年河北省保定市定州二中高一（下）月考
数学试卷（5月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数在复平面内对应的点所在的象限为( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.下列结论正确的是( )
A. 平行向量的方向都相同 B. 单位向量都相等
C. 零向量与任意向量都不平行 D. 两个单位向量之和可能仍然是单位向量
3.已知单位向量与的夹角为，则( )
A. B. C. D.
4.已知，，是三条不同的直线，，是两个不同的平面，，，，，，则下列命题正确的是( )
A. B. C. D.
5.在正方形中，点满足，点满足，若，则( )
A. B. C. D.
6.九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，在如图所示的鳖臑中，平面，，，分别为，的中点，过的截面与交于点，与交于点，，若截面，且截面，四边形是正方形，则( )
A. B. C. D.
7.如图，一艘船航行到点处时，测得灯塔在其北偏西的方向，随后该船以海里小时的速度，往正北方向航行两小时后到达点，测得灯塔在其南偏西的方向，此时船与灯塔间的距离为( )
A. 海里
B. 海里
C. 海里
D. 海里
8.如图，在圆锥的底面圆中，为直径，为圆心，点在圆上，且，，为线段上的动点，则的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知平面向量，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. 与的夹角为 D. 在上的投影向量为
10.关于复数，下面是真命题的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
11.如图，该多面体的表面由个全等的正方形和个全等的正三角形构成，该多面体的所有顶点都在同一个正方体的表面上若，则( )
A.
B. 该多面体外接球的表面积为
C. 直线与直线的夹角为
D. 二面角的余弦值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在中，内角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围是______．
13.某同学将一张圆心角为的扇形纸壳裁成扇环如图后，制成了简易笔筒如图的侧面，已知，则制成的简易笔筒的高为______．
14.已知，且，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
的内角，，的对边分别为，，，已知．
求的值；
若，的面积为，求的周长．
16.本小题分
在等腰梯形中，的中点为，以为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，已知，，．
求；
若点在线段上，，求．
17.本小题分
如图，在六面体中，，正方形的边长为，，．
证明：平面平面．
求直线与平面所成角的正切值．
求多面体的体积．
18.本小题分
如图，在平面四边形中，为线段的中点，．
若，求；
若，，求的最大值．
19.本小题分
如图所示，在中，，，分别是，上的点，且，将沿折起到的位置，使，如图所示是线段的中点，是上的点，平面．
求的值．
证明：平面平面．
求点到平面的距离．
答案
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12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：已知，
代入正弦定理得，
即，又，则．
由于，则，
的面积为，则，所以．
由已知及余弦定理得，所以，
从而，，
所以的周长为．
16.【答案】解：根据题意，可得，，，
设，可得，所以，解得，得．
所以，，可得；
设，可得，结合，得，解得，
所以，可得，结合，
所以，．
17.【答案】解：证明：，平面，平面，
平面，
在正方形中，，又平面，
平面，平面，
，平面，平面，
平面平面．
连接，延长，交于点，
正方形的边长为，，．
，，
，，，
，平面，
为直线与平面所成的角，
在中，由，解得，
即直线与平面所成角的正切值为．
连接，则，
易证平面，
多面体的体积．
18.【答案】解：连接在中，，
，．
，，．
在中，，，
，为线段的中点，．
在中，．
设．
在中，由正弦定理得，
，
在中，由余弦定理知
，其中．
当时，，即．
故AE的最大值为．
19.【答案】解：过点作交于点，连接，设，
，，
点，，，在同一平面内，
平面，平面平面，
，
四边形为平行四边形，即，
故．
证明：在中，，，，，
是线段的中点，，，
，，
在中，，
，，
由题意可得，，
，，
，
平面，平面，
，
又，平面，平面，
平面，
由可得，平面，
平面，
平面平面．
，平面，
平面，
点到平面的距离与点到平面的距离相等，
由得，平面，
为点到平面的距离，且点到平面的距离为，
点到平面的距离为．
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