2023-2024学年山东省聊城一中高一（下）第二次段考数学试卷（含答案）

2023-2024学年山东省聊城一中高一（下）第二次段考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.总体由编号为，，，，的个个体组成，从中选取个个体利用科学计算器依次生成一组随机数如下，则选出来的第个个体的编号为( )
A. B. C. D.
2.样本数据，，，，，，，的中位数是( )
A. B. C. D.
3.为了提升学生的文学素养，某校将年月定为读书月，要求每个学生都只选择平凡的世界与麦田里的守望者中的一本已知该校高一年级学生选择平凡的世界的人数为，选择麦田里的守望者的人数为现采用按比例分层随机抽样的方法，从高一学生中抽取名学生进行阅读分享，则被抽到的这名学生中选择了平凡的世界的人数为( )
A. B. C. D.
4.下列命题是真命题的是( )
A. 上底面与下底面相似的多面体是棱台
B. 若一个几何体所有的面均为三角形，则这个几何体是三棱锥
C. 若直线在平面外，则
D. 一个圆柱的侧面展开图是一个边长为的正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是
5.从某中学抽取名同学，他们的数学成绩如下：，，，，，，，，，单位：分，则这名同学数学成绩的众数、第百分位数分别为( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
6.四棱锥，底面为平行四边形，点满足，设四棱锥的体积为，则三棱锥的体积为( )
A. B. C. D.
7.已知球为正三棱柱的外接球，正三棱柱的底面边长为，高为，则球的表面积是( )
A. B. C. D.
8.如图，在长方体中，，，，分别是棱，，的中点，若点是平面内的动点，且满足平面，则线段长度的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知某省年各地市地区生产总值的占比如图所示，则根据图中关于该省年各地市地区生产总值占比的统计情况，下列结论正确的是( )
A. 市年地区生产总值比市年地区生产总值多
B. 图中个地市年地区生产总值占比的分位数为
C. 图中个地市年地区生产总值占比的分位数为
D. 若该省年各地市地区生产总值的增长率相等，则该省年各地市地区生产总值的占比不变
10.在空间中，，是两条不同的直线，，是两个不重合的平面，则下列说法一定正确的是( )
A. 若，，，则
B. 若内的两条相交直线分别垂直于内的两条相交直线，则
C. 若，，则存在使得
D. 若，是异面直线，，，，，则
11.已知棱长为的正方体，点是中点，点在上，满足，则下列表述正确的是( )
A. 时，平面
B. 时，平面平面
C. 任意，三棱锥的体积为定值
D. 过点，，的平面分别交，于，，则的范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某人任意统计次上班步行到单位所花的时间单位：分钟分别为，，，，则这组数据的标准差为 ．
13.为了了解我国岁男孩的平均身高，从北方抽取了个男孩，平均身高；从南方抽取了个男孩，平均身高，由此可推断我国岁男孩的平均身高为______．
14.直三棱柱中，若，，，则点到平面的距离为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图：在正方体中，为的中点．
求三棱锥的体积；
求证：平面；
若为的中点，求证：平面平面．
16.本小题分
某校高中年级举办科技节活动，开设，两个会场，其中每个同学只能去一个会场且的同学去会场，剩下的同学去会场已知，会场学生年级及比例情况如表所示：
高一 高二 高三
会场
会场
记该校高一、高二、高三年级学生所占总人数的比例分别为，，，利用分层随机抽样的方法从参加活动的全体学生中抽取一个容量为的样本．
求：：的值；
若抽到的会场的高二学生有人，求的值以及抽到的会场高一、高二、高三年级的学生人数．
17.本小题分
在如图所示的四棱锥中，已知平面，，，，，为的中点．
求证：平面；
求证：平面平面；
求直线与平面所成角的正切值．
18.本小题分
已知某工厂一区生产车间与二区生产车间均生产某种型号的零件，这两个生产车间生产的该种型号的零件尺寸的频率分布直方图如图所示每组区间均为左开右闭．
尺寸大于的零件用于大型机器中，尺寸小于或等于的零件用于小型机器中．
若，试分别估计该工厂一区生产车间生产的个该种型号的零件和二区生产车间生产的个该种型号的零件用于大型机器中的零件个数．
若，现有足够多的来自一区生产车间与二区生产车间的零件，分别用于大型机器、小型机器各台的生产，每台机器仅使用一个该种型号的零件．
方案一：直接将一区生产车间生产的零件用于大型机器中，其中用了尺寸小于或等于的零件的大型机器每台会使得工厂损失元；直接将二区生产车间生产的零件用于小型机器中，其中用了尺寸大于的零件的小型机器每台会使得工厂损失元．
方案二：重新测量一区生产车间与二区生产车间生产的零件尺寸，并正确匹配型号，重新测量的总费用为万元．
请写出采用方案一，工厂损失费用的估计值单位：万元的表达式，并从工厂损失的角度考虑，选择合理的方案．
19.本小题分
如图，在直角梯形中，，，，为的中点，将沿折起构成几何体，如图在图所示的几何体中：
在棱上找一点，满足平面，求几何体与几何体的体积比；
当几何体的体积最大时，
求证：平面；
求二面角的余弦值．
答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：正方体中，为的中点，
底面，；
证明：如图，连接，设交于点，是的中点，是的中点，
，且平面，平面，
平面；
证明：是的中点，是的中点，
四边形为平行四边形，
，且平面，平面，
平面，由知平面，且，
平面平面．
16.解：设该校高一、高二、高三年级的人数分别为，，，
则去会场的学生总数为，去会场的学生总数为，
则对应人数如下表所示：
高一 高二 高三
会场
会场
则：：：：：：．
依题意，，解得，则抽到的会场的学生总数为人，
所以高一年级人数为，高二年级人数为，高三年级人数为．
17.解证明：取的中点，连接，，
为的中点，
且，
且，
且 ，
四边形为平行四边形，
，又面，面，
平面．
证明：平面，平面，，
过作，交于，则，，
，又，
，，又，
平面，又平面，
平面平面．
取中点，连接，则，
由知平面，则平面，
为直线与平面所成的角，
，，
，
即直线与平面所成角的正切值为．
18.解：一区生产车间生产的零件尺寸大于的频率为，
则该工厂一区生产车间生产的个该种型号的零件用于大型机器中的零件个数为；
二区生产车间生产的零件尺寸大于的频率为，
则该工厂二区生产车间生产的个该种型号的零件用于大型机器中的零件个数为．
一区生产车间生产的零件尺寸小于或等于的频率为：
；
二区生产车间生产的零件尺寸大于的频率为：
，
故H，
因为，所以，
又因为采用方案二重新测量的总费用为万元，
所以从工厂损失的角度考虑，应选择方案二．
19.解：取中点，连，则是的中位线，
即得，
又平面，
平面，
即有平面，
即就是所找点．
由，
从而得．
证明；由题意，当几何体的体积最大时，而底面的面积确定，从而点到底面的距离最大，此时应有平面平面．
由已知，在图中，取中点，连，在图中连，
由已知，又，则四边形为正方形，
从而为等腰直角三角形，又，，，
所以≌，即为直角三角形，得，
在图中，为中点，则，
又平面平面且平面平面，
则有平面，得，
又，，则平面，
过点作于，连，由知平面，则，又，
，则平面，从而，
即就是二面角的平面角．显然是直角三角形，且，
令，则，，
则，则．

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