2023-2024学年湖南省永州市部分学校高二（下）段考数学试卷（5月份）（含答案）

2023-2024学年湖南省永州市部分学校高二（下）段考
数学试卷（5月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若圆的圆心位于第三象限，那么直线一定不经过( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知抛物线的方程为，且过点，则焦点坐标为( )
A. B. C. D.
3.已知圆：与圆：外切，则直线被圆截得线段的长度为( )
A. B. C. D.
4.与椭圆有相同焦点，且短轴长为的椭圆的标准方程为( )
A. B. C. D.
5.已知双曲线的左顶点为，右焦点为，为双曲线右支上一点，则最小值为( )
A. B. C. D.
6.若双曲线的渐近线与抛物线相切，则的离心率为( )
A. B. C. D.
7.设是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为，、分别是双曲线的左、右焦点，若，则( )
A. 或 B. C. D.
8.已知点是抛物线：的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，点在抛物线上，在中，若，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于双曲线：与双曲线：的下列说法正确的是( )
A. 它们的实轴长和虚轴长相同
B. 它们的焦距相同
C. 它们的渐近线相同
D. 若它们的离心率分别为，，那么
10.设双曲线的虚轴长为，焦距为，则双曲线的渐近线方程可以为( )
A. B. C. D.
11.设圆锥曲线的两个焦点分别为，，若曲线上存在点满足：：：：，则曲线的离心率可以是( )
A. B. C. D.
12.已知双曲线：，则下列说法正确的是( )
A. 直线与双曲线有两个交点
B. 双曲线与有相同的渐近线
C. 双曲线的焦点到一条渐近线的距离为
D. 双曲线的焦点坐标为，
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知直线经过点，，且直线的倾斜角是锐角，则实数的取值范围是______．
14.若直线过点，且被圆截得的弦长为，则直线的斜率为______．
15.已知抛物线上的任意一点，记点到轴的距离为，对于给定点，则的最小值为______．
16.设椭圆的两个焦点分别为，，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
给定抛物线：，是抛物线的焦点，过的直线与相交于、两点若，求直线的方程．
18.本小题分
已知圆：，点
当过点的圆的切线存在时，求实数的取值范围；
设、为圆的两条切线，、为切点，当时，求所在直线的方程．
19.本小题分
已知，为椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点．
求的最大值；
若且的面积为，求的值．
20.本小题分
已知，是椭圆：的两个焦点，为上的点，为坐标原点，
若为等边三角形，求的离心率；
如果存在点，使得，且的面积等于，求的值和的取值范围．
21.本小题分
设有三点，，，其中点，在椭圆：上， ， ，且．
求椭圆的方程；
若过椭圆的右焦点的直线倾斜角为，直线与椭圆相交于、，求三角形的面积．
22.本小题分
已知椭圆：的右焦点与抛物线的焦点重合，且其离心率为．
求椭圆的方程；
已知与坐标轴不垂直的直线与交于，两点，线段中点为，问为坐标原点是否为定值？请说明理由．
答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.解：显然直线的斜率存在，故可设直线：，
联立，消去得，
则，故，
又，，则，
由得，
所以，直线的斜率为，
直线的方程为．
18.解：过点的切线存在，点在圆外或圆上，
由点与圆的位置关系，得，解之得；
如图，设与交于点
由，得．
又，由垂径定理，得，
中，，即
中，，，
是以为圆心、半径为的圆与圆的公共弦，
圆的方程为：，圆的方程的方程为：或，
所在直线方程为即；
或即，
综上所述，直线得方程为或．
19.解：点在椭圆上，，
，，，
有最大值．
，．
设，，
则根据椭圆的定义可得：，
在中，，
所以根据余弦定理可得：，
由得，
所以由正弦定理可得：．
所以，
．
20.解：连接，由为等边三角形，可知在中，
，，，于是，
故曲线的离心率．
由题意可知，满足条件的点存在，当且仅当：
，，，
即，
，
，
由及得，又由知，故，
由得，所以，
从而，故，
当，时，存在满足条件的点．
所以，的取值范围为．
21.解：由题意知，，设，
由，得，则，
将点代入椭圆方程，可得，即．
椭圆方程为；
．
直线的方程为，代入椭圆方程，
整理得：，则或．
交点坐标为和，
，
点到直线的距离．
．
22.解：抛物线的焦点为，椭圆的半焦距为，
又椭圆的离心率，，则．
椭圆的方程为；
由题意可知，直线的斜率存在且不为，设的方程为，
联立，得．
即只需．
设，，
则，，
，
．
．
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