2023-2024学年上海外国语大学附属大境中学高二（下）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年上海外国语大学附属大境中学高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列函数是偶函数的是( )
A. B. C. D.
2.下列关于排列数和组合数的计算中正确的是( )
A. B.
C. D.
3.函数，若存在，，，，使得，则的最大值是( )
A. B. C. D.
4.已知函数，设为实数，且，给出下列结论：
若，则；
若，则．
其中正确的是( )
A. 与均正确 B. 正确，不正确
C. 不正确，正确 D. 与均不正确
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.若幂函数的图像经过点，则此幂函数的表达式为______．
6.两条平行直线和的距离为______．
7.函数的定义域是______．
8.设方程表示双曲线，则实数的取值范围是______．
9.已知，那么______．
10.函数在区间上的平均变化率等于______．
11.过圆上一点的圆的切线方程为______．
12.函数的单调递减区间为______．
13.如图，已知直线是曲线在处的切线，则的值为______．
14.已知，是椭圆的两个焦点，过的直线交此椭圆于，两点，若，则______．
15.已知直线：和直线：，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是______．
16.已知函数，对恒成立，则实数的取值范围为______．
三、解答题：本题共4小题，共46分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知函数．
求函数的导数；
求函数的单调区间和极值点．
18.本小题分
已知二项式的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是：．
求展开式中含的项；
求系数最大的项．
19.本小题分
如图，已知定圆：，定直线：，过的一条动直线与直线相交于，与圆相交于，两点，是中点．
Ⅰ当与垂直时，求证：过圆心；
Ⅱ当时，求直线的方程；
Ⅲ设，试问是否为定值，若为定值，请求出的值；若不为定值，请说明理由．
20.本小题分
定义如果函数和的图像上分别存在点和关于轴对称，则称函数和具有关系．
判断函数和是否具有关系；
若函数和不具有关系，求实数的取值范围；
若函数和在区间上具有关系，求实数的取值范围．
答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.解：因为函数，则．
由得，令，或，
所以函数在和单调递增，
函数在单调递减．
则是极大值点，是极小值点．
18.解：二项式的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是：；
故，解得；
所以，
令，解得；
故．
系数的最大项满足，，解得；
股故数的最大项为：和．
19.解：Ⅰ由已知，故，
所以直线的方程为．
将圆心代入方程易知过圆心分
Ⅱ当直线与轴垂直时，易知符合题意；分
当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，由于，
所以由，解得．
故直线的方程为或分
Ⅲ当与轴垂直时，易得，，
又则，，故即分
当的斜率存在时，设直线的方程为，代入圆的方程得．
则，，
即，．
又由得，
则．
故．
综上，的值为定值，且分
另解一：连接，延长交于点，由Ⅰ知又于，
故∽于是有．
由，得．
故分
另解二：连接并延长交直线于点，连接，，由Ⅰ知，又，
所以四点，，，都在以为直径的圆上，
由相交弦定理得分
20.解：由已知得，化简得，
解得，故此时函数和具有关系；
由已知得在上无解，
显然不满足上式，故当且仅当时取等号，
故时，原方程无解，即函数和不具有关系，
即所求的范围是；
由已知得在上有解，
即在上有解，令，，
，，
再令，
当时，，且，故此时，
当时，易知时，，
此时，故在上递增，故在上恒成立，
即在上恒成立，故在单调递增，
而，且时，，
故，即，解得即为所求，
故所求的范围是．
第1页，共1页