2023-2024学年辽宁省沈阳市东北育才学校高一（下）第二次学情调研数学试卷（含答案）

2023-2024学年辽宁省沈阳市东北育才学校高一（下）第二次学情调研数学试卷
一、选择题（第1-8题每题5分，第9-11题每题6分，共58分）
1.已知平面向量，，若向量与共线，则( )
A. B. C. D.
2.复数的虚部为( )
A. B. C. D.
3.设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下列四个命题：
若，，则，为异面直线；
若，，则；
若，，，则；
若，，，则．
则上述命题中真命题的序号为( )
A. B. C. D.
4.已知的三个内角、、的对边分别为，，，若，则该三角形一定是( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形
5.已知数据，，，，的平均数为，方差为，数据，，，，的平均数为，方差为，则( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
6.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为，，，件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取件．
A. B. C. D.
7.已知如图所示的几何体中，底面是边长为的正三角形；侧面是正方形，平面平面，为棱上一点，，且，则与平面所成角的正弦值为( )
A.
B.
C.
D.
8.某校举办了数学知识竞赛，并将名学生的竞赛成绩满分分，成绩取整数整理成如图所示的频率分布直方图，则以下四个说法正确的个数为( )
的值为
估计这组数据的众数为
估计这组数据的下四分位数为
估计成绩高于分的有人
A. B. C. D.
9.已知直线，，平面，，则下列说法错误的是( )
A. ，，则
B. ，，，，则
C. ，，，则
D. ，，，，，则
10.已知向量，且，则( )
A.
B.
C. 向量与向量的夹角是
D. 向量在向量上的投影向量坐标是
11.设，为复数，则下列命题正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则且
C. 若，则
D. 若，且，则在复平面对应的点在一条直线上
二、填空题（共20分）
12.某连锁超市在，，三地的数量之比为：：，现采用分层抽样的方法抽取家该连锁超市进行调研，已知地被抽取了家，则地被抽取的数量是______．
13.已知一圆锥的侧面展开图是圆心角为且半径为的扇形，则该圆锥的侧面积为______．
14.设锐角三个内角，，所对应的边分别为，，，若，，，则______．
15.如图，已知正三棱柱的底面边长为，侧棱的长为，、分别为和中点，则直线与平面所成角的余弦值为______，异面直线与所成角的余弦值为______．
三、解答题（共72分）
16.已知函数．
Ⅰ求函数的最小正周期；
Ⅱ若，使得关于的不等式成立，求实数的取值范围．
17.已知是关于的方程的一个根，其中为虚数单位．
求的值；
记复数，求复数的模．
18.如图，在斜三棱柱中，，为的中点，．
证明：．
若，求直线与平面所成角的正弦值．
19.年月日，汉江生态城襄阳马拉松在湖北省襄阳市成功举行，志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障，襄阳市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作现随机抽取了名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图已知第一、二组的频率之和为，第一组和第五组的频率相同．
估计这名候选者面试成绩的平均数和第百分位数；
现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取人，担任本市的宣传者若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为和，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为和，据此估计这次第二组和第四组面试者所有人的方差．
20.如下图，四棱锥的体积为，底面为等腰梯形，，，，，，是垂足，平面平面．
证明：；
若，分别为，的中点，求二面角的余弦值．
答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.解：Ⅰ因为
，
故函数的最小正周期；
Ⅱ当时，，
故当，即时，，
若，使得关于的不等式成立，
则，即，
故实数的取值范围为．
17.解：是关于的方程的一个根，
，即，
，
则，，
解得：，，得；
，，
，则．
18.解：证明：取的中点，连接，，
因为为的中点，
所以，又，所以，
因为，所以，
所以，，，四点共面，
因为，，，
所以平面，所以．
因为平面，所以．
又，，所以，
因为，
所以，则，
由题设知，因为，
所以平面，
所以，且，
设到平面的距离为，
因为平面，所以，
设直线与平面所成的角为，
所以．
19.解：由题意可知：，
解得，
可知每组的频率依次为：，，，，，
所以平均数等于，
因为，
设第百分位数为，
则，
解得，
第百分位数为；
设第二组、第四组的平均数与方差分别为，
且两组频率之比为，
成绩在第二组、第四组的平均数，
成绩在第二组、第四组的方差为：
，
故估计成绩在第二组、第四组的方差是．
20.解：证明：连接，
平面平面，，平面平面，平面，
平面，
平面，，
由题意可知，等腰梯形的高为，
故等腰梯形的面积为：，
，
，
在中，，．
，即，
为的三等分点，
，
又，面，面，
平面，
平面，．
取出点，连接，则四边形为平行四边形，
．
，分别为，的中点，
，
，
，，，四点共面，
连接交于，连接，则二面角即二面角，
平面，平面，
，
易知四边形为正方形，则，
，，
又，平面，平面，
平面．
，平面，
平面，平面，
，，
是二面角的平面角，
在中，，，
，，
二面角的余弦值为．
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