2023-2024学年四川省广安二中高二（下）第二次月考数学试卷（含答案）

2023-2024学年四川省广安二中高二（下）第二次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列两个变量之间的关系是相关关系的是( )
A. 正方形的边长与对角线长 B. 球的体积与表面积
C. 一个人的身高与学习成绩 D. 平均学习时间与学习成绩
2.已知函数，则( )
A. B. C. D.
3.，则( )
A. B. C. D.
4.某校开展“迎奥运阳光体育”活动，共设踢毽、跳绳、拔河、推火车、多人多足五个集体比赛项目，各比赛项目逐一进行为了增强比赛的趣味性，在安排比赛顺序时，多人多足不排在第一场，拔河排在最后一场，则不同的安排方案种数为( )
A. B. C. D.
5.已知为的导函数，则的大致图象是( )
A. B.
C. D.
6.已知生男孩和生女孩是等可能的，现随机选择一个有三个孩子的家庭，且该家庭有女孩，则三个小孩都是女孩的概率为( )
A. B. C. D.
7.设随机变量的分布列如下：
则下列说法中不正确的是( )
A.
B. 当时，
C. 若为等差数列，则
D. 的通项公式可能为
8.已知是定义在上的函数，且，导函数满足恒成立，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某市对历年来新生儿体重情况进行统计，发现新生儿体重，则下列结论正确的是( )
A. 该正态分布的均值为 B.
C. D.
10.现有个数学课外兴趣小组，第一、二、三、四组分别有人、人、人、人，则下列说法正确的是( )
A. 选人为负责人的选法种数为
B. 每组选名组长的选法种数为
C. 若推选人发言，这人需来自不同的小组，则不同的选法种数为
D. 若另有名学生加入这个小组，加入的小组可自由选择，且第一组必须有人选，则不同的选法有种
11.某商场设有电子盲盒机，每个盲盒外观完全相同，规定每个玩家只能用一个账号登陆，且每次只能随机选择一个开启，已知玩家第一次抽盲盒，抽中奖品的概率为，从第二次抽盲盒开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为，若前一次抽中奖品；则这次抽中的概率为记玩家第次抽盲盒，抽中奖品的概率为，则( )
A. B. 数列为等比数列
C. D. 当时，越大，越小
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.为了比较甲、乙、丙、丁四组数据的线性相关性的强弱，某人分别计算了甲、乙、丙、丁四组数据的线性相关系数，其数值分别为，，，，则这四组数据中线性相关性最强的是 组数据．
13.若直线与曲线相切，则实数的值为______．
14.已知随机变量，若对，，都有，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
二项式展开式前三项的二项式系数和为．
求的值；
求展开式中的常数项及二项式系数最大的项．
16.本小题分
某高校实行提前自主招生，老师从个不同的试题中随机抽取个让学生作答，至少答对个才能通过初试，已知某学生能答对这个试题中的个．
求该学生能通过自主招生初试的概率；
若该学生答对的题数为，求的分布列以及数学期望．
17.本小题分
已知函数．
判断函数的单调性，并求出的极值；
在给定的直角坐标系中画出函数的大致图像；
讨论关于的方程的实根个数．
18.本小题分
现有人要通过化验来确定是否患有某种疾病，化验结果阳性视为患有该疾病化验方案：先将这人化验样本混在一起化验一次，若呈阳性，则还要对每个人再做一次化验；否则化验结束已知这人未患该疾病的概率均为，是否患有该疾病相互独立．
Ⅰ按照方案化验，求这人的总化验次数的分布列；
Ⅱ化验方案：先将这人随机分成两组，每组人，将每组的人的样本混在一起化验一次，若呈阳性，则还需要对这人再各做一次化验；否则化验结束若每种方案每次化验的费用都相同，且，问方案和中哪个化验总费用的数学期望更小？
19.本小题分
已知函数，．
求曲线在点处的切线方程；
设，请判断是否存在极值？若存在，求出极值；若不存在，说明理由；
当时，若对于任意，不等式恒成立，求的取值范围．
答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.甲
13.
14.
15.解：二项式展开式前三项的二项式系数和为，
即，解得或舍；
故的值为；
，
展开式中共有项，
二项式展开式的通项公式为，，，，
二项式系数最大的项为第四项：，
令，解得，
故展开式中的常数项为．
16.解：根据题意可得该学生能通过自主招生初试的概率为：；
根据题意可得的取值可为，，，
且，，，
的分布列为：


．
17.解：，
，，
即函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
极小值为，无极大值．
当时，；当时，，且，
结合单调性，可画出函数的大致图像，如下图所示：
画出函数与函数的简图，如下图所示：
由图可知，当时，方程没有实数根；
当或时，方程只有一个实数根；
当时，方程有两个不相等的实数根．
18.解：Ⅰ按照方案化验，这人的总化验次数的可能取值为，，
，
，
的分布列为：


Ⅱ设按照方案化验，这人的总化验次数为，的可能取值为，，，
，
，
，
，
由知，，
，
因为当时，，
所以，
所以方案的化验总费用的数学期望更小．
19.解：由，则，所以，，
故曲线在点处的切线方程为，即．
由，，
则，，
令，，
则，，
当，即时，，此时单调递减；
当，即时，，此时单调递增，
所以，
所以对任意，都有，
所以在上单调递增，即不存在极值．
当时，，
对于任意，不等式恒成立，
等价于对于任意，不等式恒成立，
等价于函数在上单调递增，
等价于导函数在上恒成立，
等价于对于任意，不等式恒成立，
令，则，，
当时，，此时单调递增；
当时，，此时单调递减，
所以，即，
故的取值范围为．
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