2023-2024学年北京市怀柔区青苗学校普高部高二下学期期中考试数学试卷（含答案）

2023-2024学年北京市怀柔区青苗学校普高部高二下学期期中考试数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知某天从北京到上海的高铁有班，动车有班，其他列车有班，小张想这一天坐火车从北京到上海去旅游，不考虑其他因素，小张有多少种不同的选择？( )
A. B. C. D.
2.等于( )
A. B.
C. D.
3.某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好去试拨，他第一次失败、第二次成功的概率是( )
A. B. C. D.
4.已知某地区内狗的寿命超过岁的概率为，超过岁的概率为，那么该地区内，一只寿命超过岁的狗，寿命超过岁的概率为( )
A. B. C. D.
5.若，，成等差数列，则的值为( )
A. B. C. D.
6.数列满足，且，则( )
A. B. C. D.
7.在等差数列中，已知，为方程的两根，则等于( )
A. B. C. D.
8.从集合中选取两个不同的元素，组成平面直角坐标系中点的坐标，则可确定的点的个数为( )
A. B. C. D.
9.某一批种子的发芽率为从中随机选择颗种子进行播种，那么恰有颗种子发芽的概率为( )
A. B. C. D.
10.若是等差数列的前项和，，则( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知数列是等差数列，，，则的值为 ．
12.的展开式中的系数是 用数字作答
13.将序号分别为的张参观券全部分给人，每人至少张，如果分给同一人的张参观券连号，那么不同的分法种数是 ．
14.已知的展开式的二项式系数之和为，则 ；各项系数之和为 用数字作答
15.已知无穷等差数列为递增数列，为数列前项和，则以下结论正确的是


数列有最小项
数列为递增数列
存在正整数，当时，
则以下结论正确的是 ．
三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知等差数列中，，．
求这个数列的第项；
和是不是这个数列中的项？如果是，求出是第几项；如果不是，说明理由．
17.本小题分
已知某种药物对某种疾病地治愈率为，现有甲、乙、丙、丁个患有该病的患者服用了这种药物，观察其中有多少患者会被这种药物治愈．
求出甲、乙、丙都被治愈而丁没被治愈的概率；
设有人被治愈，求的分布列和数学期望．
18.本小题分
现有件产品除了件一等品外，其余都是二等品，任意从中抽取件：
一共有多少种不同的抽法？
抽出的件中恰有件一等品的抽法共有多少种？
抽出的件中至少有件一等品的抽法共有多少种？
19.本小题分
已知数列的前项和为
求数列的通项公式
判断数列是否是等差数列，若是，加以证明；若不是请说明理由；
求的最小值，并求取最小值时的值．
20.本小题分
在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上含的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据单位：：
甲：；
乙：；
丙：．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
设是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，求的分布列和数学期望；
在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？结论不要求证明
21.本小题分
在数列中，已知，且
求，的值；
是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.；．
15.
16.设等差数列的首项为，公差为，
则，解得，，所以，
故．
由知，由，得到，由，得到，
所以是这个数列中的项，是第项，不是这个数列中的项．
17.设甲、乙、丙都被治愈而丁没被治愈的概率为，
因为每名患者被治愈的概率不会互相影响，所以构成独立重复实验．
则
根据题意可知则
，
，
，
，
．
则分布列为：
数学期望为：．
18.从件产品中任意抽取件，共有种不同抽法；
从件产品中任意抽取件恰有件一等品，这件事可分两步完成：
第一步，从件一等品中抽取件一等品，共有种抽法；
第二步，从件二等品中抽取件二等品，共有种抽法，
根据乘法原理，不同的抽法种数为种
从件产品中任意抽取件至少有件一等品，这件事可分两类：
第一类，抽取的件产品中有件一等品的抽法有种；
第二类，抽取的件产品中有件一等品的抽法有种；
由加法原理得，不同的抽法共有种
19.当时，，
当时，，
又，
所以时，也成立，
所以数列的通项公式为，．
数列为等差数列，证明如下：
因为，
所以数列是等差数列．
因为，又，
所以当或时，最小，最小值为．
20.由题知，甲以往次比赛，其中成绩在以上含共有次，
所以甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率为．
记事件：甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖，事件：乙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖，
事件：丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖，
则，，，
的可能取值为，
，
，
，
，
所以的分布列为
．
丙夺冠概率估计值最大．
因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩比赛一次，丙获得的概率为，
甲获得的概率为，乙获得的概率为，
并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛次数越多，对丙越有利．
21.因为，且，
所以，．
假设数列为等差数列，
因为，所以，
当，得到为常数，
故存在实数，使得数列为等差数列，．
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