2023-2024学年山西省运城市部分学校高一下学期5月联合测评数学试题（含答案）

2023-2024学年山西省运城市部分学校高一下学期5月联合测评
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，则( )
A. B. C. D.
2.已知，，若，则实数( )
A. B. C. 或 D. 或
3.若直线平面，直线，则( )
A. B. 与异面 C. 与相交 D. 与没有公共点
4.已知某正四棱锥的高为，体积为，则该正四棱锥的侧面积为( )
A. B. C. D.
5.如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，下列命题正确的是( )
A. 与相交 B. 与平行 C. 与相交 D. 与异面
6.已知三棱锥中，，，，，分别是，的中点，则与所成的角大小为( )
A. B. C. D.
7.已知三棱锥的底面是边长为的等边三角形，平面且，一只蚂蚁从的中心沿表面爬至点，则其爬过的路程最小值为( )
A. B. C. D.
8.如图，在长方体中，，，分别为，的中点，点在矩形内运动包括边界，若平面，则动点的轨迹长度为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，则
10.若的内角，，的对边分别为，，，，，，为的外心，则( )
A.
B. 的面积为
C.
D. 若是边上靠近点的四等分点，则
11.如图所示，正四棱台中，，点在四边形内，点是上靠近点的三等分点，则下列说法正确的是( )
A. 平面
B. 该正四棱台的高为
C. 若，则动点的轨迹长度是
D. 过点的平面与平面平行，则平面截该正四棱台所得截面多边形的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知空间中两个角，，且角与角的两边分别平行，若，则 ．
13.已知正六边形的边长为，点为边上的一个动点含端点，则的取值范围是 ．
14.已知正三棱柱的棱长均为，点是棱上不含端点的一个动点，若点，，，均在球的球面上，则球体积的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，满足，，．
求在上的投影向量；
若向量与垂直，求实数的值．
16.本小题分
如图，四棱锥中，底面，底面是正方形，，点是棱的中点．
求证：平面平面；
求三棱锥的体积．
17.本小题分
在中，内角，，所对的边分别为，，，且．
求；
已知，是边的中点，且，求的长．
18.本小题分
如图，直四棱柱中，底面为菱形，，，，，分别为，，的中点．
证明：平面平面；
求与平面所成角的正弦值．
19.本小题分
如图，四棱锥的底面是正方形，是正三角形，平面平面，是的中点．
求证：平面；
求二面角的余弦值；
在棱上是否存在点使平面平面成立？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．
答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15.解：，
所以在上的投影向量为．
由向量与垂直，得，
整理得，即，
所以．
16.解：连接，交于，连接，则为中点．
因为在中，，分别为，中点，所以．
因为平面，所以平面．
又平面，所以平面平面．
由知平面，且，
所以．
17.解：由正弦定理及，
得，
再由余弦定理得，即，
因为，所以．
因为是边的中点，所以．
由知，因为，所以，
故，故．
由余弦定理得，
故，因为，所以，．
在中，，，
所以，即的长为．
18.解：因为，分别为线段，的中点，所以．
因为平面，平面，所以平面
因为，分别为线段，的中点，所以．
因为平面，平面，所以平面．
因为，平面，平面，
所以平面平面．
由题知平面，平面，故，故，
因为四边形是菱形，且，
则，所以．
而，故
设为点到平面的距离，与平面所成的角为，
故．
又，
而，故，故
故，即与平面所成角的正弦值为．
19.解：设，交于点，连接，则为中点．
在中，，分别为，中点，所以．
因为平面，平面，
所以平面．
过点作，垂足为，过点作，垂足为，连接．
因为平面平面，平面平面，
所以平面．
因为平面，所以．
又，，，平面．
所以平面．
因为平面，所以，
则即为平面与底面所成二面角的平面角．
设，则，，故，
所以，
即二面角的余弦值为．
存在点，当时，平面平面．
证明如下：
如图，取中点，连接交于点，连接，
因为是正三角形，所以．
因为平面平面，平面平面，
所以平面．
因为，所以，所以平面．
因为平面，所以．
因为底面是正方形，所以．
又，，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面，
所以棱上点存在点，当时，平面平面．
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