2023-2024学年辽宁省部分名校高二下学期5月质检数学试题（含答案）

2023-2024学年辽宁省部分名校高二下学期5月质检数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合中有个元素，从中每次随机选取个元素，取出后还放回到中，则取次后所取出的元素有重复的概率是保留两位有效数字( )
A. B. C. D. 前三个答案都不对
2.已知，，是三个不全相等的实数且满足则的值是( )
A. B. C. D.
3.如图，已知正四面体所有棱长均相等的三棱锥，，，分别为，，上的点，，，分别记二面角，，的平面角为，，，则 ( )
A. B. C. D.
4.已知各项均为正数的数列的前项和，且满足，设为非零整数，，若对任意，有恒成立，则的值是( )
A. B. C. D.
5.已知函数存在两个极值点，若对任意满足的，均有，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
6.平面上有两组互不重合的点，与，，，则的范围为( )
A. B. C. D.
7.设集合，则集合的元素个数为( )
A. B. C. D.
8.已知点到点的距离比到轴的距离大，记点的轨迹为直线与椭圆相切．与在第一象限的交点为，且曲线在点处的切线斜率乘积为设的上，左顶点为将直线与围成的图形绕轴旋转形成一个旋转体，则该旋转体的体积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.半圆形量角器在第一象限内，且与轴、轴相切于、两点．设量角器直径，圆心为，点为坐标系内一点．下列选项正确的有( )
A. 点坐标为
B.
C.
D. 若最小，则
10.下列说法正确的是( )
A. ，，，则
B. 在的展开式中含项的系数为，则展开式中二项式系数最大的是第项
C. 人围坐在圆桌旁，从中任取人，他们两两互不相邻的概率是
D. 已知函数在上的最小值恰为，则所有满足条件的的积属于区间
11.已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，对于数列，若，下列说法正确的是( )
A. 存在的等比数列，使得为等比数列
B. ，均存在等差数列，使得为等差数列
C. ，均不存在等比数列，使得为等差数列
D. 若存在等差数列，使得为等比数列，且，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.“布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子作布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外，一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获，此时试验结束已知该粒子初始位置在号仓，则试验结束时该粒子是从号仓到达容器外的概率为 ．
13.已知函数，其极大值点和极小值点分别为，记点，直线交曲线于点，若存在常数，使得，则 ．
14.设数列的通项公式为，该数列中个位数字为的项按从小到大的顺序排列构成数列，则被除所得的余数是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底在水平线上、桥与平行，为铅垂线在上经测量，左侧曲线上任一点到的距离米与到的距离米之间满足关系式；右侧曲线上任一点到的距离米与到的距离米之间满足关系式已知点到的距离为米．
求桥的长度；计划在谷底两侧建造平行于的桥墩和，且为米，其中，在上不包括端点桥墩每米造价万元、桥墩每米造价万元问为多少米时，桥墩与的总造价最低
16.本小题分
已知为锐角三角形的三个内角．
求证：
求的最小值
17.本小题分
某校名学生的数学成绩和知识竞赛成绩如下表：
学生编号
数学成绩
知识竞赛成绩
学生编号
数学成绩
知识竞赛成绩
计算可得数学成绩的平均值是，知识竞赛成绩的平均值是，并且，，．
求这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的样本相关系数精确到
设，变量和变量的一组样本数据为，其中两两不相同，两两不相同．记在中的排名是第位，在中的排名是第位，定义变量和变量的“斯皮尔曼相关系数”记为为变量的排名和变量的排名的样本相关系数．
记，证明：．
用的公式求这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的“斯皮尔曼相关系数”精确到
比较和的计算结果，简述“斯皮尔曼相关系数”在分析线性相关性时的优势．
注：参考公式与参考数据．；；．
18.本小题分
如图，四棱锥中，平面，四边形是直角梯形，其中，．．
求异面直线与所成角的大小；
若平面内有一经过点的曲线，该曲线上的任一动点都满足与所成角的大小恰等于与所成角试判断曲线的形状并说明理由；
在平面内，设点是题中的曲线在直角梯形内部包括边界的、一段曲线上的动点，其中为曲线和的交点．以为圆心，为半径的圆分别与梯形的边交于两点．当点在曲线段上运动时，求四面体体积的取值范围．
19.本小题分
已知实数，定义数列如下：如果，，则．
求和用表示；
令，证明：；
若，证明：对于任意正整数，存在正整数，使得．
答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由题意得，
则，
米
答：桥的长度为米．
设总造价为万元，，设，
由，
则，
，
令，得到舍去，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
因此当时，取最小值，
答：当米时，桥墩与的总造价最低．
16.
证明：．
因为，，
所以，
又因为为锐角，．
于是
同理，
相加后，即得原不等式成立．
令，
因为，均为锐角，
所以，
所以，
所以，
则，
所以．
因为均为锐角，所以均为正值，
所以均为正值，且，
则，则，
因为
令，
则
令，则
则当时，则单调递减．
当时，，则单调递增，
所以，当且仅当等号成立，
所以
所以的最小值为．
故答案为：．
17.由题意，这组学生数学成绩和知识竞赛成绩的样本相关系数为
证明：因为和都是，，，的一个排列，所以
，
，
从而和的平均数都是．
因此，，
同理可得，
由于，
所以；
由题目数据，可写出与的值如下：
同学编号
数学成绩排名
知识竞赛成绩排名
同学编号
数学成绩排名
知识竞赛成绩排名
所以，并且．
因此这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的斯皮尔曼相关系数是
答案：斯皮尔曼相关系数对于异常值不太敏感，如果数据中有明显的异常值，那么用斯皮尔曼相关系数比用样本相关系数更能刻画某种线性关系；
答案：斯皮尔曼相关系数刻画的是样本数据排名的样本相关系数，与具体的数值无关，只与排名有关．如果一组数据有异常值，但排名依然符合一定的线性关系，则可以采用斯皮尔曼相关系数刻画线性关系．
18.
如图，以为原点，直线为轴、直线为轴、直线为轴，建立空间直角坐标系．
于是有、，则有，又
则异面直线与所成角满足，
所以，异面直线与所成角的大小为．
设点，点、点、点，
则，，
则，
，
化简整理得到，
则曲线是平面内的双曲线．
在如图所示的的坐标系中，因为、、，
设则有，故的方程为，
代入双曲线的方程可得，，
其中．
因为直线与双曲线交于点，故进而可得，即．
故双曲线在直角梯形内部包括边界的区域满足，．
又设为双曲线上的动点，．
所以，
因为，
所以当时，；
当时，．
而要使圆与、都有交点，则．
故满足题意的圆的半径取值范围是．
因为平面，所以体积为．
故问题可以转化为研究的面积．
又因为为直角，所以必为等腰直角三角形．
由前述，设，则，
故其面积，所以．
于是，．
当点运动到与点重合时，体积取得最大值；当点运动到横坐标时，即长度最小时，体积取得最小值
19.解：因为 ，所以 ；
因为 ，所以 ．
由数列 定义得： ，所以 ．
而 ，
所以 ．
当 ，由可知， 无上界，
故对任意 ，存在 ，使得 ．
设 是满足 的最小正整数．下面证明 ．
若 是偶数，设 ，
则 ，于是 ．
因为 ，所以 ．
若 是奇数，设 ，
则，
所以
．
所以 ．
综上所述，对于任意正整数 ，存在正整数 ，使得 ．
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