2023-2024学年广东省惠州市惠东县高二下学期5月期中数学试题（含答案）

2023-2024学年广东省惠州市惠东县高二下学期5月期中数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在等差数列中，，则的值是( )
A. B. C. D.
2.若随机变量服从两点分布，其中，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论不正确的是( )
A. B.
C. D.
3.离散型随机变量的分布列中部分数据丢失，丢失数据以，代替，分布列如下：则( )
A. B. C. D.
4.元宵节是中国传统节日，当天人们会吃汤圆、赏花灯、猜灯谜小华爸爸手里有个灯谜，其中个事物谜，个字谜，小华随机抽取个灯谜，事件为“取到的个为同一类灯谜”，事件为“取到的个为事物谜”，则( )
A. B. C. D.
5.某同学利用电脑软件将函数，的图象画在同一直角坐标系中，得到如图的“心形线”观察图形，当时，的导函数的图象大致为( )
A. B. C. D.
6.若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.有个人到南京、镇江、扬州的三所学校去应聘，若每人至多被一个学校录用，每个学校至少录用其中一人，则不同的录用情况种数是( )
A. B. C. D.
8.如图为“杨辉三角”示意图，已知每行的数字之和构成的数列为等比数列且记该数列前项和为，设，将数列中的整数项依次取出组成新的数列记为，则的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.为数列的前项和，已知对任意的，，下列说法正确的是( )
A. B. C. D.
10.已知的展开式中第项与第项的二项式系数相等，且各项系数的和为，则( )
A.
B. 的展开式中的有理项有项
C. 的展开式中偶数项的二项式系数之和为
D. 除以的余数为
11.关于函数，下列判断正确的是( )
A. 是的极大值点
B. 函数有且只有个零点
C. 存在正实数，使得成立
D. 对任意两个正实数，，且，若，则．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某座山，若从东侧通往山顶的道路有条，从西侧通往山顶的道路有条，那么游客从上山到下山共有 种不同的走法
13.某公司定期对流水线上的产品进行质量检测，以此来判定产品是否合格可用．已知某批产品的质量指标服从正态分布，其中的产品为“可用产品”，则在这批产品中任取件，抽到“可用产品”的概率约为 ．参考数据：若，则，，．
14.若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是____
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已如曲线在处的切线与直线垂直．
求的值；
若恒成立，求的取值范围．
16.本小题分
在某诗词大会的“个人追逐赛”环节中，参赛选手应从个不同的题目中随机抽取个题目进行作答．已知这个题目中，选手甲只能正确作答其中的个，而选手乙正确作答每个题目的概率均为，且甲、乙两位选手对每个题目作答都是相互独立的．
求选手甲恰好正确作答个题目的概率；
记选手乙正确作答的题目个数为，求的分布列和数学期望；
如果在抽取的个题目中答对个题目就可以晋级，你认为甲、乙两位选手谁晋级的可能性更大？请说明理由．
17.本小题分
在公差不为的等差数列中，，且成等比数列．
求的通项公式；
若，求数列的前项和．
18.本小题分
有甲、乙两个不透明的罐子，甲罐有个红球，个黑球，球除颜色外大小完全相同某人做摸球答题游戏规则如下：每次答题前先从甲罐内随机摸出一球，然后答题若答题正确，则将该球放入乙罐若答题错误，则将该球放回甲罐此人答对每一道题目的概率均为当甲罐内无球时，游戏停止假设开始时乙罐无球．
求此人三次答题后，乙罐内恰有红球、黑球各个的概率
设第次答题后游戏停止的概率为．
求
是否存在最大值若存在，求出最大值若不存在，试说明理由．
19.本小题分
已知函数，其中．
当时，求的极值；
讨论当时函数的单调性；
若函数有两个不同的零点、，求实数的取值范围．
答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.或
14.
15.解：根据题意，
的斜率为，
，
所以，
又，
故，解得；
由知，
所以
，
故当时，单调递增，
当时，单调递减，
故当时，取最小值，
要使恒成立，故，解得，
故的取值范围为．
16.解：设事件为“选手甲正确作答个题目”，则．
故选手甲恰好正确作答个题目的概率为．
由题意得，，的所有可能取值为，，，，
，，，，
的分布列为
．
设选手甲正确作答的题目个数为，则的所有可能取值为，，，，
，，
．
，
，
可以认为选手乙晋级的可能性更大．
17.解：设的公差为，
由，得，即．
由成等比数列可得，
即，
解得或舍去，
所以，故．
由得，
所以．
18.解：记“此人三次答题后，乙罐内恰有红、黑各一个球”，
“第次摸出红球，并且答题正确”，，，
“第次摸出黑球，并且答题正确”，，，
“第次摸出红球或黑球，并且答题错误”，，，，
所以．
又，
所以
．
同理：
所以．
第次后游戏停止的情况是：前次答题正确恰好为次，答题错误次，
且第次摸出最后一球时答题正确．
所以．
由知，
所以．
令，解得，解得．
所以，
所以的最大值是．
19.解：当时，的定义域为，

当时，，当时，
在上单调递增，在上单调递减．
在处取得极大值，
的极大值为，无极小值．
函数的定义域为，
又．
当时，令则或．
当，即时，当时，；当时，，
在上单调递增，在上单调递减．
当，即时，在上恒成立，在上单调递增．
当，即时，当时，；当时，，
在上单调递增，在上单调递减．
综上，当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减
有两个不同的零点、，
即有两个不同正实根，得有两个不同正实根，
即与有两个交点，
令，则，令，得，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
时，取得最大值，且，当时，
得的大致图像如图所示：

，解得，所以实数的取值范围为．
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