2023-2024学年上海市青浦区高二（下）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年上海市青浦区高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共3小题，共13分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.“”是“”的条件．
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要
2.设矩形边长分别为、，将其按两种方式卷成高为和的圆柱无底面，其体积分别为和，则与的大小关系是( )
A. B. C. D. 不确定
3.某单位安排名同志在月日至日值班，每天安排人，每人值班天若名同志中的甲、乙安排在相邻两天，丙不安排在月日，则不同的安排方案共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
二、多选题：本题共1小题，共5分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
4.某学校开展测量旗杆高度的数学建模活动，学生需通过建立模型、实地测量，迭代优化完成此次活动在以下不同小组设计的初步方案中，可计算出旗杆高度的方案有( )
A. 在水平地面上任意寻找两点，，分别测量旗杆顶端的仰角，，再测量，两点间距离
B. 在旗杆对面找到某建筑物低于旗杆，测得建筑物的高度为，在该建筑物底部和顶部分别测得旗杆顶端的仰角和
C. 在地面上任意寻找一点，测量旗杆顶端的仰角，再测量到旗杆底部的距离
D. 在旗杆的正前方处测得旗杆顶端的仰角，正对旗杆前行到达处，再次测量旗杆顶端的仰角
三、填空题：本题共12小题，共54分。
5.直线的倾斜角为______．
6.在的展开式中，含项的系数为______．
7.抛物线的焦点到准线的距离是______．
8.设为正整数，计算 ______．
9.已知圆锥的底面直径为，高是，则该圆锥的侧面积为______．
10.如果从甲口袋中摸出一个红球的概率是，从乙口袋中摸出一个红球的概率是，现分别从甲乙口袋中各摸出个球，则个球都是红球的概率是______．
11.在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为，则 ______．
12.已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，若它们的平均数相同，则甲组数据的中位数为______．
13.已知中，，，，则以、为焦点，经过点的椭圆的离心率为______．
14.在棱长为的正方体中，若点是棱上一点，则满足的点的个数为______．
15.若函数在区间上是严格单调函数，则实数的取值范围为______．
16.已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，设椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的最大值为______
四、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
年月日时分，神舟十七号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱返回舱的轴截面可近似看作是由半个椭圆和一段圆弧组成的“果圆”如图，在平面直角坐标系中，某“果圆”中圆弧经过椭圆的一个焦点和短轴的两个顶点与．
写出图中“果圆”的方程；
直线交该“果圆”于、两点，求弦的长度精确到．
18.本小题分
如图，是水平放置的矩形，将矩形沿对角线折起，使得平面平面，如图设是的中点，是的中点．
求直线与平面所成角的大小；
连接，设平面与平面的交线为直线，求证：．
19.本小题分
已知二次函数的图象经过坐标原点，其导数为，数列的前项和为，点均在函数的图象上．
求数列的通项公式；
设，是数列的前项和，求使得对所有都成立的最小正整数．
20.本小题分
已知双曲线：的左、右焦点分别为，，是的左顶点，的离心率为设过的直线交的右支于、两点，其中在第一象限．
求的标准方程；
若直线、分别交直线于、两点，证明：为定值；
是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；否则，说明理由．
21.本小题分
已知，，函数，其中．
若，，写出函数图像的一条水平切线的方程；
若，，且满足，证明：；
若存在，使得函数有唯一零点，求实数的取值范围．
答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.或
16.
17.解：在平面直角坐标系中，某“果圆”中圆弧经过椭圆的一个焦点和短轴的两个顶点与．
可得椭圆的，，则，
所以椭圆方程为：；
设圆的圆心坐标为，可得，可得．
所以圆的半径为：，所求圆的方程为：．
由，可得，
由，解得
所以．
18.解：过作于，连接，
因为平面平面，且平面平面，，
所以平面，
所以为直线与平面所成角，
因为，不妨设，，
在中，，
在中，，，
所以，
所以直线与平面所成角的大小为；
证明：因为是的中点，是的中点，所以，
又因为平面，平面，
所以平面，
又因为平面平面，
所以，
所以．
19.解：由题意令二次函数为
则，
又，
，，
．
点均在函数的图象上，
．
当时，．
当时，，
所以满足，
数列的通项公式为；
由得，
故，
把代数式看作的函数，
因此，使得恒成立的必须满足 的最大值，
，即，即．
故：满足要求的最小整数为．
20.解：由题可得，故可得，则，
故C的标准方程为．
证明：由中所求可得点，的坐标分别为，，
又双曲线渐近线为，显然直线的斜率不为零，
故设其方程为，，
联立双曲线方程可得：，
设点，的坐标分别为，，
则，
，
；
又直线方程为：，令，则，
故点的坐标为；
直线方程为：，令，则，
故点的坐标为；
则
，
故为定值．
当直线斜率不存在时，
对曲线，令，解得，
故点的坐标为，此时，
在三角形中，，，故可得，
则存在常数，使得成立；
当直线斜率存在时，
不妨设点的坐标为，，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，
则，，
假设存在常数，使得成立，即，
则一定有：，也即；
又；；
又点的坐标满足，则，
故
；
故假设成立，存在实数常数，使得成立；
综上所述，存在常数，使得恒成立．
21.解：当，时，，故，
令，即，解得，此时，
所以所求水平切线的方程为；
证明：由题意可得，，即，
此时若，则，从而由得，
由基本不等式得，且由知等号不成立，矛盾，
故，得证；
由题意，，
故当时，，函数在上严格增，
从而，当时，有唯一零点；
当时，，其中，
因为时，而时，
所以函数在区间上严格减，在区间上严格增，
当且时，，有单调性知，
又函数在趋于无穷大时值趋于无穷大，故可以取到使得，
故由零点存在定理，连续函数在区间和上各有一个零点，从而不可能有唯一零点，
综上，所求．
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