吉林省通化市梅河口市第五中学2023-2024学年高二下学期6月月考数学试卷（含解析）

梅河口市第五中学2023-2024学年高二下学期6月月考数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．若随机变量，且，则( )
A.0.29 B.0.71 C.0.79 D.0.855
2．在一段时间内，分5次测得某种商品的价格x（万元）和需求量之间的一组数据，绘制散点图如图所示，利用最小二乘法求得相应的经验回归方程为，根据上述信息，如下判断正确的是( )
价格x 1.4 1.6 1.8 2 2.2
需求量y 12 10 7 m 3
A.商品的价格和需求量存在正相关关系 B.y与x不具有线性相关关系
C. D.价格定为万元，预测需求量大约为
3．展开式中的系数为( )
A. B.5 C.15 D.35
4．一玩具制造厂的某一配件由A、B、C三家配件制造厂提供，根据三家配件制造厂以往的制造记录分析得到数据：制造厂A、B、C的次品率分别为0.02，0.01，0.03提供配件的份额分别为，，设三家制造厂的配件在玩具制造厂仓库均匀混合且不区别标记，从中随机抽取一件配件，则抽到的是次品的概率为( )
A.0.0135 B.0.0115 C.0.0125 D.0.0145
5．质数（primenumber）又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数.数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”如：3和5，5和，那么，如果我们在不超过40的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件A：这两个数都是素数.事件B：这两个数不是孪生素数，则( )
A. B. C. D.
6．著名数学家欧几里得著的《几何原本》中记载：任何一个大于1的整数要么是一个素数，要么可以写成一系列素数的积，例如.对于，其中，，，…，均是素数，则从，，，…，中任选3个数，可以组成不同三位数的个数为( )
A.18 B.32 C.36 D.42
7．现将包含甲、乙在内的5名老师全都安排到3个不同的班级，每个班级必须至少有1名老师，且甲、乙必须去同一个班级，则不同的选派方案共有( )
A.144种 B.72种 C.36种 D.18种
8．三个男生三个女生站成一排，已知其中女生甲不在两端，则有且只有两个女生相邻的概率是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．下列说法正确的是( )
A.将一组数据的每一个数减去同一个数后，新数据的方差与原数据方差相同
B.线性回归直线一定过样本点中心
C.线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强
D.在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好
10．已知的二项展开式中二项式系数之和为64，下列结论正确的是( )
A.二项展开式中各项系数之和为
B.二项展开式中二项式系数最大的项为第四项
C.二项展开式中有3个有理项
D.二项展开式中系数最大的项为
11．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究.则下列结论正确的是( )
A.第6行、第7行、第8行的第7个数之和为第9行的第8个数
B.
C.第2020行的第1010个数最大
D.第12行中从左到右第2个数与第3个数之比为
三、填空题
12．若展开式中的常数项为，则实数__________.
13．某植物园要在如图所示的5个区域种植果树，现有5种不同的果树供选择，要求相邻区域不能种同一种果树，则共有__________种不同的方法.
四、双空题
14．“冰天雪地也是金山银山”，2023-2024年雪季，东北各地冰雪旅游呈现出一片欣欣向荣的景象，为东北经济发展增添了新动能.某市以“冰雪童话”为主题打造—圆形“梦幻冰雪大世界”，其中共设“森林姑娘”“扣像墙”“古堡滑梯”等16处打卡景观.若这16处景观分别用，，…，表示，某游客按照箭头所示方向（不可逆行）可以任意选择一条路径走向其它景观，并且每个景观至多经过一次，那么他从入口出发，按图中所示方向到达有__________种不同的打卡路线；若该游客按上述规则从入口出发到达景观的不同路线有条，其中，，记，则__________（结果用m表示）.
五、解答题
15．设.
（1）求的值；
（2）求的值.
16．为提高学生的数学应用能力和创造力，学校打算开设“数学建模”选修课，为了解学生对“数学建模”的兴趣度是否与性别有关，学校随机抽取该校30名高中学生进行问卷调查，其中认为感兴趣的人数占.
（1）根据所给数据，完成下面的列联表，并根据列联表判断，依据小概率值的独立性检验，分析学生对“数学建模”选修课的兴趣度与性别是否有关？
感兴趣 不感兴趣 合计
男生 12
女生 5
合计 30
（2）若感兴趣的女生中恰有4名是高三学生，现从感兴趣的女生中随机选出3名进行二次访谈，记出高三女生的人数为X，求X的分布列与数学期望.
附：，其中；
0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
17．全球新能源汽车产量呈上升趋势.以下为年全球新能源汽车的销售量情况统计.
年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023
年份编号x 1 2 3 4 5 6
销售量y/百万辆 2.02 2.21 3.13 6.70 10.80 14.14
若y与x的相关关系拟用线性回归模型表示，回答如下问题：
（1）求变量y与x的样本相关系数r（结果精确到0.01）；
（2）求y与x的线性回归方程，并据此预测2024年全球新能源汽车的销售量.
附：线性回归方程，其中，，
样本相关系数.
参考数据：，，，.
18．梅河口市第五中学一研究性学习小组为了解梅河口市市民每年旅游消费支出费用（单位：千元），春节期间对游览某网红景区的100名梅河口市游客进行随机问卷调查，并把数据整理成如下表所示的频数分布表：
组别（支出费用）
频数 3 4 8 11 41 20 8 5
（1）从样本中随机抽取两位市民的支出数据，求两人旅游支出不低于10000元的概率；
（2）若市民的旅游支出费用X近似服从正态分布，近似为样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中间值代表），近似为样本标准差s，并已求得，利用所得正态分布模型解决以下问题：
①假定梅河口市常住人口为300万人，试估计梅河口市有多少市民每年旅游费用支出在15000元以上；
②若在梅河口市随机抽取3位市民，设其中旅游费用在9000元以上的人数为，求随机变量的分布列和均值.
附：若，则，，.
19．为进一步培养高中生数学学科核心素养，提高创造性思维和解决实际问题的能力，某省举办高中生数学建模竞赛现某市从M，N两个学校选拔学生组队参赛，M，N两个学校学生总数分别为1989人、3012人.两校分别初选出4人、6人用于组队参赛，其中两校选拔的人中各有两人有比赛经验，按照分层抽样从M，N两个学校初选人中共选择5名学生组队参赛，设该队5人中有参赛经验的人数为X.
（1）求随机变量X的分布列及数学期望；
（2）各市确定5人组队参赛，此次比赛规则是：小组内自行指定一名同学起稿建立模型，之后每轮进行两人单独交流.假设某队决定由A起稿建立模型，A从其他四名成员中选择一人B进行交流，结束后把成果交由B，然后B再从其他包括A在内的四个成员中选择一人进行交流每一个环节只能是两名成员单独交流，每个小组有20次交流机会，最后再进入评委打分环节，现该市选定甲、乙、丙、丁、戊五人参赛，其中甲、乙两人有参赛经验.在每次交流中，甲、乙被同伴选为交流对象的概率均为，丙、丁、戊被同伴选为交流对象的概率相等，比赛由甲同学起稿建立模型.
①求该组第三次交流中甲被选择的概率；
②求第n次交流中甲被选择的概率（，）.
参考答案
1．答案：B
解析：因为，又，
所以，
所以.
故选：B.
2．答案：D
解析：由散点图可知，商品的价格和需求量存在负相关关系，故A错误；
由经验回归方程为，可知y与x具有线性相关关系，故A错误；
又，，
又经验回归直线方程必过样本中心点，
则，解得，故C错误；
当时，，
所以价格定为万元，预测需求量大约为，故D正确.
故选：D.
3．答案：A
解析：若要产生这一项，则
当在中取1时，再在中取2个、取4个1，
当在中取时，再在中取3个、取3个1，
所以展开式中的系数为.
故选：A.
4．答案：A
解析：设事件D：抽到的是次品，
事件：抽到的配件来自A制造厂，事件：抽到的配件来自B制造厂，事件：抽到的配件来自C制造厂，
由题意可知：，，，，，，
所以
.
故选：A.
5．答案：D
解析：不超过的自然数有41个，其中素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，共12个，
孪生素数有3和5，5和7，11和13，17和19，29和31，共5组.
所以，，
所以.
故选：D.
6．答案：D
解析：因，依题，从2，2，3，3，5，7中任选3个数组成三位数，可以分成两类情况：
①三个数都不相同，共有三位数个；
②含有2个2或2个3，共有个.
由分类加法计数原理，可以组成不同三位数的个数为.
故选：D.
7．答案：C
解析：先将5人分成3组，有3，1，1和两种分法，
若按3，1，1分组，则甲、乙还需一人，此时分组方法有种，
若按2，2，1分组，则只需将除甲、乙以外的3人分成2组，此时分组方法有种，
所以不同的选派方案共有种.
故选：C.
8．答案：D
解析：从三个男生三个女生站成一排，已知其中女生甲不在两端，共有种不同排法，
女生甲不在两端，同时有且只有两个女生相邻分两类
①女生甲单独站，则有；
②女生甲和另一个女生站一起，则有,
所以，已知其中女生甲不在两端，则有且只有两个女生相邻的概率是.
故选：D.
9．答案：ABD
解析：对A：由方差的性质可知，将一组数据的每一个数减去同一个数后，
新数据的方差与原数据方差相同，故A正确；
对B：由，故线性回归直线一定过样本点中心，故B正确；
对C：线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强，故C错误；
对D：在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，
其模型的拟合效果越好，故D正确.
故选：ABD.
10．答案：ABD
解析：因为的二项展开式中二项式系数之和为64，
所以，所以二项式为，
通项为，
A：令，可得二项展开式中各项系数之和为，故A正确；
B：当时，二项式系数最大，即第四项，故B正确；
C：令，，为整数，解得，2，4，6，所以有4个有理项，故C错误；
D：因为通项为，
所以项的系数为，，1，2，3，4，5，6，
经检验，时，项的系数最大,为，故D正确；
故选：ABD.
11．答案：ABD
解析：对于A：第6行，第7行，第8行的第7个数字分别为：1，7，28，其和为；
而第9行第8个数字就是，故A正确；
对于B：因为，，
所以，故B正确；
对于C：由图可知：第n行有个数字，
如果n是偶数，则第（最中间的）个数字最大；
如果n是奇数，则第和第个数字最大，并且这两个数字一样大，
所以第行的第个数最大，故C错误；
对于D：依题意：第行从左到右第2个数为，第行从左到右第3个数为，
所以第行中从左到右第2个数与第3个数之比为，故D正确；
故答案为：ABD.
12．答案：1
解析：由二项式展开式的通项为，
令，可得，代入可得，解得.
故答案为：1.
13．答案：420
解析：分两类情况：
第一类：2与4种同一种果树，
第一步种1区域，有5种方法；
第二步种2与4区域，有4种方法；
第三步种3区域，有3种方法；
最后一步种5区域，有3种方法，
由分步计数原理共有种方法；
第二类：2与4种不同果树，
第一步在1234四个区域，从5种不同的果树中选出4种果树种上，
是排列问题，共有种方法；
第二步种5号区域，有2种方法，
由分步计数原理共有种方法.
再由分类计数原理，共有种不同的方法.
故答案为：420.
14．答案：8；
解析：由题意知，到达点共有1种走法，
到达点共有种走法（一种是经过点到达，一种是直接到达），
到达点共有种走法（一种是经过，一种是经过，所以到达将、的走法加起来），
到达点共有种走法（一种是经过和，一种是经过，所以到达将、的走法加起来），
到达点共有种走法（一种是经过和，一种是经过和，所以到达将、的走法加起来），
故按图中所示方向到达有8种不同的打卡路线.
由题意知，，，，，，…，（且），
因为（且），
所以，，，…，，（且），
将上式累加可得，（且），
整理可得，又，，
所以，即.
故答案为：8；.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）对，有，
则有，
即；
（2）由，则，，，，，
故，
令，可得，即，
令，有，
即，
即.
16．答案：（1）填表见解析；认为对“数学建模”选修课的兴趣度与性别无关
（2）分布列见解析；期望为
解析：（1）列联表如图所示：
男生 12 4 16
女生 9 5 14
合计 21 9 30
零假设为：：对“数学建模”选修课的兴趣度与性别无关.
根据列联表数据计算可得：，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此认为成立，即认为对“数学建模”选修课的兴趣度与性别无关.7分
（2）由（1）可知对“数学建模”选修课的感兴趣的女生有9人，其中高三女生4人，
依题意可知X服从超几何分布，且，，；
的分布列为，，1，2，3；
即：
X 0 1 2 3
P
数学期望为，
（或）
17．答案：（1）
（2），百万辆
解析：（1）因为，
，
所以，
，
所以
（2）由题意得，
所以，
得y关于x的线性回归方程为，
所以可以预测2024年全球新能源汽车的销售量为百万辆.
18．答案：（1）
（2）①；②分布列见解析，
解析：（1）样本中总共人，其中旅游支出不低于元的有人，
所以从中随机抽取两位市民的旅游支出数据，
两人旅游支出均不低于元的概率为；
（2）以下涉及旅游支出费用，则默认单位均为千元，
，
所以，，X服从正态分布，
，
，
估计襄阳市有个市民每年旅游费用支出在元以上；
②由①知，，则，
的所有可能取值为0，1，2，3，
，，
，；
所以随机变量的分布列为：
0 1 2 3
P
均值为.
19．答案：（1）分布列见解析，
（2）①；②
解析：（1）由题随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，4.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
所以随机变量X的数学期望.
（2）①甲、乙两同学被同伴选择的概率均为.
其他三名同学被选择的概率相等.
比赛由甲同学起稿建立模型，
第三次交流中甲被选择，
所以第二次交流中甲未参与.
设“第三次交流中甲被选择”，
则.
②第n次交流中甲被选择，
则第次交流中甲未被选择.
设第n次交流中甲被选择的概率为.
则，
所以，且.
所以，
所以.