福建省福州市闽侯县第一中学2023-2024学年高一下学期第二次月考（5月）数学试卷（含解析）

闽侯县第一中学2023-2024学年高一下学期第二次月考（5月）数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．若复数z满足,则在复平面内z对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2．在平行四边形中,点E满足,则( )
A. B.
C. D.
3．的三个内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若，，，则( )
A. B. C. D.
4．设α，β，γ是三个不同平面，且，，则“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5．一圆锥的侧面展开图是半径为4的半圆,则该圆锥表面积为( )
A. B. C. D.
6．图1是一个水平放置且高为6的直三棱柱容器现往内灌进一些水,设水深为h.将容器底面的一边AB固定于地面上,再将容器倾斜,当倾斜到某一位置时,水面形状恰好为,如图2,则( )
A.3 B.4 C. D.6
7．已知等腰梯形ABCD,,,圆O为梯形ABCD的内切圆,并与AB,CD分别切于点E,F,如图所示,以EF所在的直线为轴,梯形ABCD和圆O分别旋转一周形成的曲面围成的几何体体积分别为,,则值为( )
A. B. C. D.
8．在锐角三角形中，已知a，b，c分别是角A，B，C的对边，且，，则三角形的周长的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．已知，，则( )
A.
B.
C.与的夹角为
D.向量在向量方向上的投影向量为
10．设z，，为复数，，下列命题中正确的是( )
A.若则 B.若则
C.若则 D.
11．正多面体也称柏拉图立体(被誉为最有规律的立体结构),是所有面都只由一种正多边形构成的多面体(各面都是全等的正多边形).数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体,即正四面体,正六面体,正八面体,正十二面体,正二十面体,已知一个正八面体的棱长都是2（如图）,则( )
A.平面ADF
B.直线BC与平面BEDF所成的角为
C.若点P为棱EB上的动点,则的最小值为
D.若点P为棱EB上的动点,则三棱锥的体积为定值
三、填空题
12．法国著名的数学家棣莫弗提出了公式：.据此公式，复数的虚部为______.
13．在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,,,则________.
14．在中,已知,,,D为边AB上一动点,过点D作一条直线交边AC于点E,.
（1）若D为AB中点,且,则________.
（2）设,则的最大值是________.
四、解答题
15．如图，在平面四边形ABCD中，，，，，.
(1)求边AB的长；
(2)求的面积.
16．如图，在直三棱柱中，D，E分别为线段，上的点，且平面.
（1）求证：；
（2）当D为的中点，时，求证：.
17．记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.
（1）求;
（2）设,若点M是边AC上一点,,且,求a,c.
18．如图，在棱长为2的正方体中，M为棱的中点，P为棱的中点，平面与平面将该正方体截成三个多面体，其中N，Q分别在棱，上.
（1）求证：平面平面；
（2）求异面直线与所成角的余弦值；
（3）求多面体的体积.
19．设非零向量,,并定义
（1）若,,求;
（2）写出之间的等量关系,并证明;
（3）若,求证:集合是有限集.
参考答案
1．答案：A
解析：,,所以复数在复平面上的点为,所以点在第一象限
2．答案：B
解析：因为为平行四边形,
则由,
.
故选：B.
3．答案：D
解析：由以及余弦定理得,
故选：D
4．答案：B
解析：由，，，则α，β可能相交，
故“”推不出“”，
由，，，由面面平行的性质定理知，
故“”能推出“”，
故“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
5．答案：A
解析：圆锥的底面半径为r,由圆锥的侧面积公式与扇形面积公式可得,即圆锥的底面半径,则.
6．答案：B
解析：在图1中的几何体中,水的体积为,在图2的几何体中,水的体积为,因为,可得,解得.
7．答案：C
解析：梯形ABCD旋转一周形成圆台,且圆台的上底面半径为,下底面半径为,由圆O和梯形ABCD相切可得,,所以圆台高,圆O半径,所以,,所以,.
8．答案：C
解析：因为，
根据正弦定理得，，
因为B为锐角，所以，
所以，即，而A为锐角，
所以，
因为根据正弦定理，
所以，，
因为三角形周长为，
又因为，所以，
所以，
因为，，即，，
所以，
即，，
所以.
故选：C.
9．答案：BCD
解析：对A：，则，
，则，故A错误；
对B：，故B正确；
对C：，
故与的夹角为，故C正确；
对D：，故D正确.
故选：BCD.
10．答案：ABD
解析：设，，（）
对于A，若，则，
因为，结合复数相等的知识，所以，
所以选项A正确；
对于B，由，所以，
所以，
，
，
同理：，
所以，所以选项B正确；
对于C，令，，但是，
所以选项C错误；
对于D，设分别表示复数，，
由，若不共线时，
如图：，即，
若，共线且反向时，
如图：易知，
若，共线且同向时，
如图：易知，
综上：，所以选项D正确.
故选：ABD.
11．答案：AC
解析：A选项,连接BD,EF,
由对称性可知,平面ABCD,且EF,BD相交于点O,O为BD和EF的中点,又,故四边形为菱形,故,又平面ADF,平面ADF,所以平面ADF,正确;B选项,连接AC,则AC,BD相交于点O,因为四边形ABCD为正方体,故,由A选项,同理可得四边形AECF为菱形,故,又,BD,平面BEDF,故平面BEDF,故直线BC与平面BEDF所成的角为,且由题意得,,故,故,错误;C选项,由题意得,,故只需AP最小,在等边三角形ABE中,当P为BE的中点时,,此时最小,且,故若点P为棱EB上的动点,则的最小值为,正确;D选项,,
其中到平面FDP的距离为,设菱形BFDE的面积为S,则,,若点P为棱EB上的动点,则三棱锥的体积为定值,错误.
12．答案：
解析：，
故其虚部为.
故答案为：.
13．答案：
解析：在中,由余弦定理得,
所以.
14．答案：①,②.
解析：（1）若为中点,且,
则为中位线,
（2）
令,则,
令,则
当时,,当且仅当时取等号,
,
,的最大值是,
15．答案：(1)
(2)
解析：（1）在中，，
由正弦定理得.
（2）在中，由余弦定理得
.
.
.
16．答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
解析：（1）
因平面，平面，平面平面，
所以，
又在直三棱柱中，，
所以.
（2）因为D为的中点，且由（1）问可知，
所以E为的中点，
又，所以，
因为三棱柱是直棱柱，
所以平面.
又因为平面，所以.
因为平面，平面，，
所以平面，
因为平面，所以.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为,
由正弦定理可得,
即,
所以,因为,所以
所以,又,所以.
（2）如图所示:因为,,
所以,.
又,所以.
在中,由余弦定理得,
即.①
又,即,
所以,
两边平方得,
即,所以.②
②-①得,所以,代入①得(负值已舍去).
18．答案：（1）证明见解析
（2）
（3）
解析：（1）由题意得平面平面，
又平面平面，
平面平面，所以，
同理，
又且，且，
则且，
所以四边形为平行四边形，则，
所以，
又M为中点，所以N为中点，
同理Q为中点，连接，，
因为，，
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，且平面，平面，
同理由可得平面.
且，，平面，
所以平面平面.
（2）由（1）可知：，
所以异面直线与所成角或其补角，
连接，，因为正方体棱长为2且Q为中点，
则，，
又在正方体中，面，面，则，
即，
所以，
异面直线与所成角的余弦值为.
（3）由正方体特性可知：几何体与几何体的体积相等，即，
设几何体的体积为V，正方体的体积为，
故，
又M为中点，N为中点，将延长至O点，使，
根据相似知识可知，，，
得到几何体体积为三棱锥体积减去三棱锥体积，
则，
所以.
19．答案：（1）
（2）见解析
（3）见解析
解析：（1）因为,,依题意得
所以,,
即,
所以.
（2）,,的等量关系是.
证明如下:依题意得,,
所以.
因为,所以,
即,
所以,
故.
（3）由（2）及得.依此类推得,
设,则,.
依题意得,,,
所以.
同理得,
,
.
所以.综上,集合是有限集.