辽宁省沈阳市新民市第一高级中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试卷（含解析）

新民市第一高级中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．如图：在平行六面体中,M为,的交点.若,,,则向量( )
A. B. C. D.
2．已知随机变量X的分布列为,2,3,4,5),则( )
A. B. C. D.
3．开学初,学校将新转学来的等五名同学分配到甲、乙、丙、丁四个不同的班级,每个班至少分一人,则A,B两人被各自单独分往一个班级的不同分配方法种数有( )
A.36种 B.48种 C.72种 D.144种
4．两条平行直线和间的距离为d，则a，d分别为( )
A.， B.，
C.， D.，
5．如图,二面角的度数为,其棱上有两点A,B,线段,分别在这个二面角的两个面内,并且都垂直于棱,若,,则线段的长为( )
A. B.41 C.73 D.
6．双曲线的渐近线方程为,则双曲线离心率为( )
A.或 B.或 C. D.2
7．已知点在直线上,则的最小值为( )
A. B. C. D.
8．已知圆,直线与圆C相交于A,B两点,若圆C上存在点P,使得为正三角形,则实数的值为( )
A. B. C.或 D.或
二、多项选择题
9．已知随机事件A,B发生的概率分别为,,则下列说法正确的是( )
A.若A与B互斥,则
B.若A与B相互独立,则
C.若,则事件与B相互独立
D.若,则
10．下列结论正确的是( )
A.直线的倾斜角大于
B.直线过定点
C.直线与直线之间的距离是
D.与点的距离为1,且与点的距离为4的直线共有4条
11．已知正方体的棱长为2,若,的中点分别为M,N,则下列说法正确的是( )
A. B.
C.平面 D.点D到平面的距离为
12．已知椭圆的左、右焦点分别为,,点P在椭圆上,若方程所表示的直线恒过定点M,点N在以点M为圆心,C的长轴长为直径的圆上,则下列说法正确的是( )
A.椭圆C的离心率为 B.的面积可能为2
C.的最大值为4 D.的最小值为
三、填空题
13．现有A,B,C,D,E五人排成一列,其中A与B相邻,C不排在两边,则共有___________种不同的排法（用具体数字作答）.
14．已知圆与圆相交于A,B两点.则______________.
15．已知直线l的一个方向向量,平面的一个法向量,若,则________.
四、双空题
16．设,则__________,__________.（均用数字作答）
五、解答题
17．已知展开式前三项的二项式系数和为22.
（1）求展开式中各项的二项式系数和;
（2）求展开式中的常数项;
（3）求展开式中二项式系数最大的项.
18．如图,在四棱锥中,底面是正方形,侧棱底面,,E是的中点,作交于点F.
（1）求证：平面;
（2）求平面与平面的夹角的大小.
19．已知椭圆的右焦点为F,斜率不为0的直线l与C交于A,B两点.
（1）若是线段的中点,求直线l的方程;
（2）若直线l经过点（点A在点B,Q之间）,直线与C的另一个交点为D,求证：点A,D关于x轴对称.
20．在一个有奖游戏中,参与者可从A,B两类数学试题中选择作答,答题规则如下：
规则一：参与者只有在答对第一次所选试题的情况下,才有资格进行第二次选题,且连续两次选题不能是同一类试题,每人至多有两次答题机会;
规则二：参与者连续两次选题可以是同一类试题,答题次数不限.
（1）小周同学按照规则一进行答题,已知小周同学答对A类题的概率均为0.75,答对一次可得2分;答对B类题的概率均为0.6,答对一次可得3分.如果答题的顺序由小周选择,那么A,B两类题他应优先选择答哪一类试题？请说明理由;
（2）小南同学按照规则二进行答题,小南同学第1次随机地选择其中一类试题作答,如果小南第1次选择A类试题,那么第2次选择A类试题的概率为0.6;如果第1次选择B类试题,那么第2次选择A类试题的概率为0.8.求小南同学第2次选择A类试题作答的概率.
21．如图,在四棱锥中,,四边形是正方形,,E是棱上的动点,且.
（1）证明：平面;
（2）是否存在实数,使得平面与平面所成夹角的余弦值是？若存在.求出的值;若不存在,请说明理由.
22．已知C为圆的圆心,是圆C上的动点,点,若线段MP的中垂线与CP相交于Q点.
（1）当点在圆上运动时,求点Q的轨迹的方程;
（2）过点的直线l与点Q的轨迹分别相交于,两点,且与圆相交于E,F两点,求的取值范围.
参考答案
1．答案：B
解析：因为,
所以
.
2．答案：C
解析：根据题意,随机变量的分布列为,
由分布列的性质,则有,解得,
故..
3．答案：C
解析：因为A,B两人被各自单独分往一个班级,首先将剩余3名学生分成2组,有种分组方法,
再将4组学生分配到4个不同的班级有种,所以A,B两人被各自单独分往一个班级的不同分配方法种数有种.
4．答案：D
解析：由直线与直线平行，
得，解得，
所以两直线分别为和，即和，
所以两直线间距离，
故选：D.
5．答案：D
解析：由题意可知,,,,,,
则,因为,
所以,
,因此,.
6．答案：B
解析：设双曲线方程为,则渐近线方程为,故,
离心率为,
设双曲线方程为,
则渐近线方程为,故,
离心率为,
7．答案：C
解析：因为表示到点和的距离之和.
又在直线上,关于的对称点为,
所以,所求最小值为：.
8．答案：C
解析：由圆,则圆心,半径,因为圆C上存在点P,使得为正三角形,即,
则,故圆心C到直线的距离为,则,
解得或.
9．答案：ABC
解析：对于A选项,若A与B互斥,则,A对;
对于B选项,若A与B相互独立,则,
所以,,B对;
对于C选项,若,且,
所以,事件与B相互独立,C对;
对于D选项,若,则,所以,,D错.
10．答案：AB
解析：因为直线的斜率为,所以该直线的倾斜角大于45°,故A正确;
将直线整理成,
由,解得,所以该直线过定点,故B正确;
将直线化为,所以两直线间的距离,故C错误;
记以为圆心,1为半径的圆为,以为圆心,4为半径的圆为,
因为两圆的圆心距,且两圆的半径之和,
所以,所以两圆外切,所以两圆有三条公切线,这三条公切线满足与点的距离为1,且与点的距离为4,故D错误.
11．答案：ABD
解析：如图所示,以D为坐标原点,
以,,所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
则,,,,,,
对选项A：,,,正确;
对选项B：,正确;
对选项C：若平面,平面,
平面平面,故,不成立,错误;
对选项D：,,.
设平面的一个法向量为,则,
取,
则点D到平面的距离为,正确.
12．答案：AC
解析：对于选项A,由椭圆C的方程知,,所以离心率,故选项A正确;
对于选项B,当点P位于椭圆的上,下顶点时,的面积取得最大值,故选项B错误;
对于选项C,由椭圆的定义可得,所以,当且仅当时,等号成立,即的最大值为4,故选项C正确;
对于选项D,因为直线,即,令,可得,
所以,则圆,
所以,故选项D错误.
13．答案：24
解析：将捆绑,则除C以外其他四人的排序有种,又C不排在两边,所以C可选的位置有两种,所以共种排法;
14．答案：
解析：因为圆与圆,经检验,知这两圆相交,两圆方程相减可得直线方程为,而圆的圆心为,所以圆心到直线的距离为,
所以.
15．答案：
解析：由,可知,则有,解之得,
故答案为:.
16．答案：1;-364
解析：令得,;
令得,,
令得,,
两式相减得,,解得.
17．答案：（1）64
（2）60
（3）
解析：（1）由题意,展开式前三项的二项式系数和为22.
二项式定理展开前三项二项式系数和为：,
解得：或（舍去）,即n的值为6,
故有展开式中,各项二项式系数之和为.
（2）由通项公式,,
令,可得：.
展开式中的常数项为;
（3）是偶数,展开式共有7项,则第四项最大,
展开式中二项式系数最大的项为.
18．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）建立如图所示的空间直角坐标系,设.
依题意得,,,,
所以,,
故.
所以.
由已知,且,,平面,
所以平面.
（2）已知,由（1）可知平面平面,所以,故是平面与平面的夹角.
设点F的坐标为,则,
因为,所以,
即,,,
设,则,
所以,点F的坐标为,即,
又点E的坐标为,所以,
所以,
又为锐角,所以,即平面与平面的夹角大小为.
19．答案：（1）;
（2）证明见解析.
解析：（1）设,
则两式相减,得,
即.
因为是线段的中点,所以,,
所以直线l的斜率,
所以直线l的方程为,即.
（2）根据椭圆的对称性,欲证点A,D关于x轴对称,
只需证,即证.
设直线的方程为,
由消x得,
所以,,
所以.
因为,
所以,即点A,D关于x轴对称.
20．答案：（1）小周应该先答A类题,理由见解析
（2）0.7
解析：（1）根据题意,小周同学按照规则一进行答题,
若先选择答A类题,设小周获得的积分为随机变量为X,
则X的所有可能取值为0、2、5,
,,
,
则;
若先选择答B类题,设小周获得的积分为随机变量为Y,
则的所有可能取值为0、3、5,
,
所以,
因为,所以小周应该先答A类题.
（2）由于小南同学按照规则二进行答题,
设：第1次选择A类题作答;：第1次选择B类题作答;
B：第2次选择A类试题作答;
则,,
故.
21．答案：（1）证明见解析
（2）存在,
解析：（1）因为四边形是正方形,则,
且,,平面,,所以平面,
且平面,可得,
又因为,所以,即,
由,平面,且,所以平面.
（2）由（1）可知：平面,且,
如图,以A为坐标原点建立空间之间坐标系,
不妨设,则,,,
可得,,,
则,,可得,
设平面平面的法向量,则,
令,则,,可得,
且平面的法向量,
由题意可得：,
整理得,解得或（舍去）,
所以存在实数的值为.
22．答案：（1）
（2）
解析:（1）由线段MP的垂直平分线可得:
,
所以点Q的轨迹是以点C,M为焦点,焦距为2,长轴长为的椭圆,
所以,,,所以椭圆C的标准方程为.
（2）由（1）可知,椭圆的右焦点为,
①若直线的斜率不存在,直线l的方程为,
则,,,
所以,,.
②若直线l的斜率存在,设直线l的方程为,,.
联立,可得,
则,,
所以.
因为圆心到直线l的距离,
所以,
所以.
因为,所以.
综上,.