2023-2024学年北京师大二附中高二（下）第二次月考数学试卷（含答案）

2023-2024学年北京师大二附中高二（下）第二次月考数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若数列，，，，是等比数列，则实数的值为( )
A. 或 B. C. D.
2.已知首项为的数列中，，则( )
A. B. C. D.
3.曲线在处的切线方程为( )
A. B. C. D.
4.在数列中，，若，则( )
A. B. C. D.
5.函数的单调递增区间是( )
A. B. C. D.
6.已知等差数列的前项和为，，则( )
A. B. C. D.
7.李明同学进行立定投篮练习，若他第球投进，则第球投进的概率为；若他第球投不进，则第球投进的概率为若他第球投进的概率为，则他第球投进的概率为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，，则的大小关系为( )
A. B.
C. D.
9.在某电路上有、两个独立工作的元件，每次通电后，需要更换元件的概率为，需要更换元件的概率为，则在某次通电后、有且只有一个需要更换的条件下，需要更换的概率是( )
A. B. C. D.
10.已知常数，数列满足现给出下列四个命题：
当时，数列为递减数列；
当时，数列为递减数列；
当时，数列不一定有最大项；
当为正整数时，数列必有两项相等的最大项．
其中正确命题的序号是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.设盒中有大小相同的“中华”牌和“红星”牌玻璃球，“中华”牌的个，其中个红色，个蓝色；“红星”牌的个，其中个红色，个蓝色现从盒中任取一个球，已知取到的是蓝色球的前提下，则它是“红星”牌的概率是______．
12.设为数列的前项和，且，则 ______；数列的通项公式 ______．
13.函数在上的最大值和最小值分别是______．
14.盲盒，是一种新兴的商品商家将同系列不同款式的商品装在外观一样的包装盒中，使得消费者购买时不知道自己买到的是哪一款商品现有一商家设计了同一系列的、、三款玩偶，以盲盒形式售卖，已知、、三款玩偶的生产数量比例为：：以频率估计概率，计算某位消费者随机一次性购买个盲盒，打开后包含了所有三款玩偶的概率为______．
15.数列满足：，给出下述命题：
若数列满足：，则成立；
存在常数，使得成立；
若其中，，，，则；
存在常数，使得都成立．
上述命题正确的是______写出所有正确结论的序号
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知数列的前项和为，，．
求数列的通项公式；
求的最大值并指明相应的值．
17.本小题分
如图，已知在正三棱柱中，，且点，分别为棱，的中点．
过点，，作三棱柱截面交于点，求线段长度；
求平面与平面所成角的余弦值．
18.本小题分
为了解某地区初中学生的体质健康情况，统计了该地区所学校学生的体质健康数据，按总分评定等级为优秀，良好，及格，不及格．良好及其以上的比例之和超过的学校为先进校．各等级学生人数占该校学生总人数的比例如表：
学校
比例
等级 学校 学校 学校 学校 学校 学校 学校 学校
优秀
良好
及格
不及格
Ⅰ从所学校中随机选出一所学校，求该校为先进校的概率；
Ⅱ从所学校中随机选出两所学校，记这两所学校中不及格比例低于的学校个数为，求的分布列；
Ⅲ设所学校优秀比例的方差为，良好及其以下比例之和的方差为，比较与的大小．只写出结果
19.本小题分
已知，分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上的一点，当时，
求椭圆的方程；
记椭圆的上下顶点分别为，，过点且斜率为的直线与椭圆交于，两点，证明：直线与的交点在定直线上，并求出该定直线的方程．
20.本小题分
已知函数．
当时，求函数在上的最值；
若函数在上单调递减，求实数的取值范围．
21.本小题分
有限数列，若满足，是项数，则称满足性质．
判断数列，，，和，，，，是否具有性质，请说明理由；
若，公比为的等比数列，项数为，具有性质，求的取值范围；
若是，，，，的一个排列，，，都具有性质，求所有满足条件的
答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.，
14.
15.
16.解：由，可得，
即，可得数列是公差为的等差数列，
由，可得，解得，
则；
，
当或时，取得最大值．
17.解：由正三棱柱中，，
又因为点，分别为棱，的中点，可得，
如图所示，延长交的延长线于点，连接交于点，过点作的平行线交于，
则四边形为所求截面，又由可得，所以；
以点为原点，以，所在的直线分别为，轴，
以过点垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
因为，可得，
则，
设平面的法向量为，所以，，
则，即，令，得，所以，
取的中点，连接因为为等边三角形，可得，
又因为平面，且平面，所以，
因为，且，平面，所以平面，
又由，可得，
所以平面的一个法向量为，
设平面与平面所成角为，
则，
所以平面与平面所成角的余弦值为．
18.解：Ⅰ所学校中有四所学校学生的体质健康测试成绩达到良好及其以上的比例超过，
所以从所学校中随机取出一所学校，该校为先进校的概率为．
Ⅱ所学校中，学生不及格率低于的学校有学校、、三所，所以的取值为，，．
，
所以随机变量的分布列为：
Ⅲ．
19.解：易知，
因为，
所以，，
因为，
所以，
联立，
解得，
则，
故椭圆的方程为；
证明：由知，，直线的方程为，
不妨设，，
联立，消去并整理得，
此时，
由韦达定理得，，
因为直线的方程为，直线的方程为，
联立，
此时
，
因为，，
所以，
解得，
故直线与的交点在定直线上．
20.解：时，，
则在上单调递增，
所以，
所以在上单调递增，，；
，
令，则，
则在上单调递增，，，
当即时，，，
所以，
所以，
当即时，，，
所以，
由知，，
故；
当时，则存在唯一实数，使得，
当时，与在上单调递减矛盾，此时不成立，
综上或．
所以的取值范围为或．
21.解：对于数列，，，，
，，，满足题意，该数列满足性质；
对于数列，，，，，
，，，不满足题意，该数列不满足性质．
由题意得，，
两边平方得：，
整理得：，
当时，得，此时，关于恒成立，
等价于时，，，
或，取；
当时，得，此时关于恒成立，
等价于时，，，
，．
当时，得，
当为奇数时，得，成立；
当为偶数时，得，不成立；
当时，矛盾，舍去，
当时，得，
当为奇数时，，成立，
当为偶数时，要使恒成立，等价于时，，
，
或，取．
综上可得，的取值范围是，．
设，，
，，
可以取或，
或舍，理由是：，
舍，理由是：；
若，，则，
舍，理由是：，或，
舍，理由是：，
均不能同时使，都具有性质．
当时，即有，
，，，，，
数列：，，，，，满足题意；
当时，则，且，
，，，
数列：，，，，满足题意；
当时，，
，
，，，，
数列：，，，，，满足题意；
当时，，且，
，，，
数列：，，，，，，，满足题意．
所有满足条件的数列为：，，，，，或，，，，，或，，，，，或，，，，，，，．
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