2023-2024学年湖南省岳阳一中等多校高二（下）月考数学试卷（5月份）（含答案）

2023-2024学年湖南省岳阳一中等多校高二（下）月考
数学试卷（5月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.已知变量，的部分数据如下表，由表中数据得，之间的经验回归方程为，现有一测量数据为，若该数据的残差为，则( )
A. B. C. D.
4.若直线与圆：相切，则圆的半径为( )
A. B. C. D.
5.已知向量，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.从装有个白球、个红球的箱子中无放回地随机取两次，每次取一个球，表示事件“两次取出的球颜色相同”，表示事件“两次取出的球中至少有个是红球”，则( )
A. B. C. D.
7.已知函数在上单调递增，且是奇函数，则满足的的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8.若不等式在上恒成立，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，对任意实数都有，则下列结论正确的是( )
A. 的最小正周期为 B.
C. 的图象关于对称 D. 在区间上有且仅有一个零点
10.设数列的前项和为，已知，则下列结论正确的为( )
A. 若，则为等差数列
B. 若，则
C. 若，则是公差为的等差数列
D. 若，则的最大值为
11.已知抛物线：的焦点为，，为上的两点，过，作的两条切线交于点，设两条切线的斜率分别为，，直线的斜率为，则( )
A. 的准线方程为
B. ，，成等差数列
C. 若在的准线上，则
D. 若在的准线上，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中的系数为______．
13.已知为坐标原点，若双曲线：的右支上存在两点，，使得，则的离心率的取值范围是______．
14.已知某圆锥内切球的半径为，则该圆锥侧面积的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在数列中，已知．
求证：数列为等比数列；
求满足不等式的最大整数．
16.本小题分
近年来，我国青少年近视问题呈现高发性、低龄化、重度化趋势已知某校有学生人，其中人每天体育运动时长小于小时，人每天体育运动时长大于或等于小时，为研究体育运动时长与青少年近视的相关性，研究人员采用分层随机抽样的方法从学生中抽取人进行调查，得到以下数据：
体育运动时长小于小时 体育运动时长大于或等于小时 合计
近视
无近视
合计
请完成上表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为学生是否近视与体育运动时长有关？
为进一步了解近视学生的具体情况，现从调查的近视学生中随机抽取人进行进一步的检测，设随机变量为体育运动时长小于小时的人数，求的分布列和数学期望，
附：
参考公式：，其中．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，，是等边三角形，为的中点．
证明：；
若，求平面与平面夹角的正弦值．
18.本小题分
已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，点，且为等腰直角三角形．
求椭圆的标准方程；
设点为上的一个动点，求面积的最大值；
若直线与交于，两点，且，证明：直线过定点．
19.本小题分
已知函数有两个零点．
求的取值范围；
函数，若与有相同的值域，求的值，并证明：，恒成立．
答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.证明：由，得，
又，
数列是首项为，公比为的等比数列；
解：由知数列是首项为，公比为的等比数列，
，即．
设数列的前项和为，
则
．
，
数列单调递增．
又，，
的最大整数为．
16.解：某校有学生人，其中人每天体育运动时长小于小时，
则列联表如下：
体育运动时长小于小时 体育运动时长大于或等于小时 合计
近视
无近视
合计
零假设：学生是否近视与体育运动时长无关，
，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断出成立，
因此可以认为不成立，即认为学生是否近视与体育运动时长有关；
的可能取值为，，，，
，，
，
，
所以的分布列为：
．
17.解：证明：由于是等边三角形，为的中点，
故AE是等边的中线，则，
又因为平面，平面内，可得，
且，，平面，可得平面，
由平面，所以．
取的中点，连接，，
因为是的中点，可知是三角形的中位线，故EF，
因为平面，，
所以平面，即，，三线两两垂直，
以为坐标原点，的方向分别为，，轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则由，，，，
则，
可得，，，
则，，
设平面的法向量为，
则，
令，则，，故，
由题意可知：平面的一个法向量为，
可得，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
18.解：设椭圆的焦距为，
因为椭圆的离心率为，点，且为等腰直角三角形，
所以，
解得，，，
则椭圆的标准方程为；
易知，直线的斜率为，且，
设直线的方程为，
联立，消去并整理得，
令，
解得，
当时，直线与直线：的距离为，
所以的面积为，
当时，直线与直线：的距离为，
所以的面积为，
因为，
所以面积的最大值为；
证明：易知直线的斜率存在，
设直线得方程为，，，
易知，
即，
因为点在椭圆上，
所以，
即，
所以，
同理得，
又，，，
此时，
即，
整理得，
易知，
所以，
解得，
所以直线得方程为．
故直线过定点．
19.解：，定义域为，
又，
函数为偶函数，
当时，令，可得为增函数，且，
在上的增函数，又在上的增函数，
在上的增函数，
，
要使函数有两个零点，则，，
的取值范围为．
证明：，易得为偶函数，
当时，，易得为增函数，故，
由可得，又与有相同的值域，
，，
，
又当时，，
当时，令，可得，
令，解得，
当，，为增函数，
当，，为减函数，
，即，
又，
由可得．
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