2023-2024学年浙江省杭州市联谊学校高一（下）质检数学试卷（5月份）（含答案）

2023-2024学年浙江省杭州市联谊学校高一（下）质检
数学试卷（5月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则的虚部为( )
A. B. C. D.
2.设一组样本数据，，，的方差为，则数据，，，的方差为 ．
A. B. C. D.
3.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
4.已知向量，满足，，，则向量在向量方向上的投影向量为( )
A. B. C. D.
5.函数的最小正周期等于( )
A. B. C. D.
6.已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.已知圆锥的轴截面为，为该圆锥的顶点，该圆锥内切球的表面积为，若，则该圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
8.在中，角，，所对的边分别是，，，若，边上的高为，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题为真命题的是( )
A. 复数对应的点在第二象限
B. 若为虚数单位，则
C. 在复数集中，方程的两个解分别为和
D. 复平面内满足条件的复数所对应的点的集合是以点为圆心，为半径的圆
10.在中，，，分别为，，的对边，则下列叙述正确的是( )
A. 若，则是等腰三角形
B. 若为锐角三角形且外心为，且，则
C. 若，，，则解此三角形的结果有一解
D. “为锐角三角形”是“”的充分不必要条件
11.如图，在正方体中，点在线段上运动时，下列命题正确的是( )
A. 三棱锥的体积不变
B. 直线与直线的所成角的取值范围为
C. 直线与平面所成角的大小不变
D. 二面角的大小不变
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，，则 ______．
13.从某果树上随机摘下个水果，其直径为，，，，，，，，，，单位：，则这组数据的第六十百分位数为______．
14.已知函数在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点为线段的中点．
求证：平面；
求证：平面；
求三棱锥的体积．
16.本小题分
已知，，如图，在中，点，满足在线段上且，点是与的交点，．
分别用来表示和；
求的最小值．
17.本小题分
在中，，，对应的边分别为，，，已知向量且，为边上一点，且．
求；
求面积的最大值．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，侧面是正三角形，侧面底面，是棱的中点，．
证明：平面；
若二面角为，求异面直线与所成角的正切值．
答案
1.
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13.
14.
15.解：证明：连结，交于点，连结，
如图示：
是正方形对角线交点，为的中点，
由已知为线段的中点，，
又平面，平面，
平面；
证明：，为线段的中点，，
平面，，
在正方形中，，又，
平面，又平面，
，又，
平面；
平面，三棱锥的体积
．
16.解：因为，
所以，
因为，
所以；
由知，，
因为，，，
所以，
因为，，三点共线，
所以，，，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
故的最小值为．
17.解：由可得，，
则，
即，
所以，即，
又，
所以，即；
由于为边上一点，，
则，
又，
所以，
所以，当且仅当时取等号，
又，
所以．
所以面积的最大值为．
18.解：在四棱锥中，由底面为矩形，得，
由侧面底面，侧面底面，平面，
得平面，又平面，则，
又侧面是正三角形，是的中点，则，
又，，平面，
所以平面．
如图，
在平面内，过点作，垂足为，显然，
由侧面底面，交线为，得底面，底面，
则，过作，垂足为，连接，显然，
，平面，则平面，而平面，
因此，
则即为二面角的平面角，其大小为，
在中，，则，
由，，得四边形为平行四边形，则，
由，得或其补角为异面直线与所成角，
由知平面，则为直角三角形，，
所以异面直线与所成角的正切值为．
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