江苏省淮安市2023-2024学年高二下学期6月期末调研测试数学试题（pdf版，无答案）

2023—2024学年度第二学期高二年级期末调研测试
数学试题 2024.06
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答
案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，只要将答题卡交回。
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1．集合 A (x, y, z) x 0,1 , y, z 2,3,4 中元素的个数为
A. 18 B. 12 C. 8 D. 5
2．下列求导运算正确的是
(ln 2) ' 1A. B. (e
3 ) ' 3e
2
C. (a x ) ' x a x 1 D. (cos x) ' sin x

3．已知空间向量 a (2,1,0),b ( 1,t,3),c (0,0,1)，若向量 a,b,c共面,则实数 t为
1 3
A. 1 B. C. 3 D.
2 4
4．已知随机变量 X ~ B(4, p) ,若 P(X 2)
8
,则 p
27
1 1 3 1 1 2
A. B. 或 C. D. 或
4 4 4 3 3 3
5． 正方体 ABCD A1B1C1D1中， E为 AB中点，则直线 A1E，C1D所成角的余弦值为
1
A. 15 B. 10 C. D. 3
15 10 2 3
6 k．随机变量 X 的概率分布为 P(X k) , (k 1,2,3,4)，则D(2X 1)
10
A.1 B.2 C.3 D.4
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7．三棱锥 P ABC 中，△PAB，△ABC均为边长为 2的等边三角形，平面 PAB 平面
ABC，则三棱锥 P ABC的外接球表面积为
5π 10π 20π 40π
A. B. C. D.
3 3 3 3
f (x) 1
x
8．函数 ln x， g(x) e x x 1，若存在正数 x1, x2 ，使得 f (x1) g(x2 ) ，则 x 的x 2
最小值为
1
A. B. e C.1 D. ee 1e
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求。全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。
9．为了探讨学生的物理成绩 y与数学成绩 x之间的关系，从某批学生中随机抽取 10名学
生的成绩 (xi , yi )(i 1,2, ,10)，并已计算出 x 80，物理成绩 y关于数学成绩 x的线性
回归方程为 y 0.8x 12.5， 下列说法正确的有
A． y 76.5
B．相关系数 r 0
C． 样本数据 (70,65)的残差为 3.5
D．当某学生数学成绩为 100时，物理成绩一定为 92.5
n
10 3 x 2 ．已知 的展开式第 6项和第 8项的二项式系数相等，下列说法正确的有
x
A. n 12 B. 第 3项的系数为 66
C.展开式中有理项共有 3项 D.奇数项系数和为 312 1
11．已知函数 f (x), g(x)的定义域均为 I ，若存在函数 p(x) kx b(k,b R)，使得函数
F(x) f (x) p(x),G(x) p(x) g(x) 在 I 上有 F '(x) 0,G '(x) 0,F(x) 0,G(x) 0恒
成立，则称 f (x), g(x)为一组“双向奔赴”函数.下列各组函数中，符合“双向奔赴”
函数的有
x2A. 3 1f (x) x , g(x) x, I (1, ) B. f (x) x ,g(x) e
x , I (e, )
e
f (x) sin x, g(x) cos x, I (π, ) f (x) x ln x 1C. D. , g(x)
1
x , I (1, )
ln x x
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12．随机变量 ~ N 0，1 ， x P ≤x ，若 1.53 0.063，则 P 1.53 ____．
13．已知 f (x) x e x 1，过点 (2,m)作 f (x)的切线，若切线斜率为1，则m _________．
14．已知甲、乙两袋中装有除颜色外其它完全相同的小球，甲袋中有 1只白球和 3只红
球，乙袋中有 2只白球和 3只红球，先从甲袋中取 2只球放入乙袋，再从乙袋中取 2
只球，则从乙取出的 2只球都是红球的概率为_________．
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四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．(13分)
已知 f (x) ax2 ln x， a为常数.
1
（1）若 a ，求 f (x) [
1
在 , 2]上的单调区间；
2 2
（2）若 a≤0， y f (x)在[
1 ,e]上的最小值为 2，求 a的值．
e
▲ ▲ ▲
16．（15分）
我国探月工程亦称“嫦娥工程”，2024年 6月 3日，嫦娥六号完成了人类首次月球
背面智能采样工作，并于 6月下旬携带月球样品返回地球，为人类进一步研究和利用月
球资源提供了保证.为了解不同性别的学生对探月工程的关注程度（“十分关注”与“比
较关注”），某校随机抽取男生和女生各 50名进行调查，数据表明：男生中有 90%的同
学“十分关注”，女生中有 60%的同学“十分关注”，其他学生都是“比较关注”.
（1）根据条件，列出 2 2列联表，并判断是否有 99.9%的把握认为对探月工程的关
注程度与性别有关；
（2）在以上“十分关注”的学生中运用分层抽样的方法抽取 10人组成科技兴趣小
组，再在这 10人中随机抽取 3人进行重点培训，求这 3人中至少有 2名男生的概率.
2 n ad bc
2
附： ,其中 n a b c d .
a b c d a c b d
P( 2 ≥x0 ) 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001
x0 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
▲ ▲ ▲
17．(15分)
如图，在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD为矩形， PA 平面 ABCD， PB 5 ，
PC 6 ， PD 2 .
1 P（ ）证明：平面 PAB 平面 PBC；
（2）求二面角 B PC D的余弦值；
（3）求点C到平面 PBD的距离. D C
A B
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18．（17分）
一只不透明的口袋中放有形状、大小完全相同的 4个黑球和 2个白球，若每次摸一
个球后，观察其颜色，再放回袋中，摸到黑球得 1分，摸到白球得 1分，用随机变量
表示 k 次摸球后得 1分的总次数，用随机变量 X 表示 k 次摸球后总得分.
（1）若摸球100次.
①求 的数学期望； ②求 X 的数学期望；
（2）当摸球次数 k 为何值时， X 4的概率取得最大值.
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19．（17分）
1 x
已知函数 f (x) ln .
x
（1）若 F(x) mx f (x)在其定义域内单调递增，求实数m的取值范围；
（2）若G(x) (x a) f (x) .
①是否存在实数 a使得G(x)的图象为轴对称图形，若存在，求 a的值，若不存在，
说明理由；
1
②函数H (x) G( )在 (2, )上有且仅有一个极值点，求正实数 a的取值范围.
x
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