2023-2024学年北京市海淀区北京师范大学第三附属中学高二下学期期中练习数学试题（含答案）

2023-2024学年北京师范大学第三附属中学高二下学期期中练习
数学试题
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.函数的导数为( )
A. B. C. D.
2.已知等比数列的公比为，前项和为，若，，则( )
A. B. C. D.
3.如图是的导函数的图象，则的极小值点的个数为( )
A. B. C. D.
4.在等差数列中，，则的值是( )
A. B. C. D.
5.已知数列的通项公式为若数列的前项和为，则取得最大值时的值为( )
A. B. C. D.
6.已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.设是公差不为的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.函数的图象大致是( )
A. B.
C. D.
9.一个球从高的地方自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下，当它第次着地时，经过的路程是( )
A. B.
C. D.
10.已知函数，且是函数的极值点．给出以下几个问题：
；；；
其中正确的命题是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知函数，则 ．
12.已知等比数列的前三项依次为，，，则 ．
13.已知函数的导函数为，且满足关系式，则 ．
14.函数有三个零点，则实数的取值范围是 ．
15.已知函数，数列是正项等比数列，且，则 ．
三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知为实数，．
求导数；
若，求在上的最大值和最小值．
17.本小题分
已知函数．
求曲线在点处的切线方程；
求函数的单调增区间．
18.本小题分
已知数列的前项和为，且满足．
求数列的通项公式；
设，数列的前项和为，求证．
19.本小题分
已知等差数列的前项和为，且，．
求的通项公式；
等比数列的首项为，公比为，在下列三个条件中选择一个，使得的每一项都是中的项．若，求用含的式子表示
条件：；条件：；条件：．
注：如果选择的条件不符合要求，第问得分．
20.本小题分
已知函数，
若，求在区间上的最大值和最小值；
设，求证：恰有个极值点；
若，不等式恒成立，求的最小值．
21.本小题分
已知有穷数列中的每一项都是不大于的正整数对于满足的整数，令集合记集合中元素的个数为约定空集的元素个数为．
若，求及；
若，求证：互不相同；
已知，若对任意的正整数都有或，求的值．
答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.解：．
解：由得，
故，则，
令，解得或，
当时，，函数在区间上单调递增；
当时，，函数在区间上单调递减；
当时，，函数在区间上单调递增；
又，，
故，．
17.因为
所以
所以，
又因为
所以曲线在点处的切线方程为，
即．
因为函数的定义域为
由，解得
所以函数单调递增区间为．
18.由已知
又，即是以为首项和公比的等比数列，
即；
由可知，所以，
则，
因为，显然，则，证毕．
19.设等差数列的公差为，
，解得：，，
．
若选条件，，，又，
由得：，；
当为偶数时，，不符合，则不能选择条件；
若选条件，，，又，
由得：，；
当且时，为奇数，则，不合题意，则不能选择条件；
若选条件，，，又，
由得：，；
当时，为偶数，，满足题意；
综上所述：．
20.解：由函数 ，可得 ，
令 ，可得 ，
则 的关系，如图下表：
极大值
综上可得，函数 ．
由函数 ，
可得 ，
因为 ，
所以方程 有两个不同的根，设为 且 ，则有

极小值 极大值
综上可得，函数 恰有个极值点．
因为 ，所以 ，不等式 恒成立，
设 ，可得 ，
所以 的关系，如图下表：
极大值
所以 ，所以实数 的最小值为 ．

21.解：Ⅰ由题设知，
，；
Ⅱ证明：依题意，
则有，
因此，
又因为，
所以，
所以，，，互不相同；
Ⅲ根据题意可知，，
由或，
知或，
令，可得或，
对于，，，成立，
所以或，
当时，或．
当时，
由或，有，
同理，
所以．
当时，此时有，
令，，
可得或，
即或，
令，，
可得或．
令，，
可得，所以．
若，则令，，
可得与矛盾，
所以有，
不妨设，
令，，
可得，因此，
令，，则或，
故，
所以；
当时，，
所以，
综上，时，，
时，，
时，．
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