2023-2024学年北京市朝阳区北京中学高二下学期4月期中质量调研数学试题（含答案）

2023-2024学年北京市朝阳区北京中学高二下学期4月期中质量调研数学试题
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.已知，则下列不等关系中正确的是( )
A. B. C. D.
3.经统计，某市高三学生期末数学成绩，且，则从该市任选一名高三学生，其成绩不低于分的概率是
A. B. C. D.
4.两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在年提出洛必达法则，即在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法，如，则( )
A. B. C. D.
5.东坝万达广场五一劳动节期间将举行全场满元获得一次抽奖的酬宾活动，已知各奖项中奖率分别是：一等奖为，二等奖为，三等奖为，四等奖为，其余为纪念奖．若某顾客获得了次抽奖机会，那么该顾客至少抽得一次三等奖的概率为( )
A. B. C. D.
6.北京地铁号线是一条主要沿北三环东西向敷设的轨道交通干线，全长约公里，设座车站，跨越海淀、西城、东城、朝阳四个行政区，预计年月日正式开通，它的开通将填补东坝地区轨道交通的空白．
作为“地下北三环”，号线开通后还能有效缓解英才高二年级许老师和郑老师的上下班通勤压力若许老师和郑老师同时从东坝西站乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过站，地铁票价如下表，且他们各自在每个站下地铁的可能性相同，
乘坐站数
票价元
则下列结论中不正确的是( )
A. 若许老师、郑老师两人共花费元，则许老师、郑老师下地铁的不同方案共有种
B. 若许老师、郑老师两人共花费元，则许老师、郑老师下地铁的不同方案共有种
C. 若许老师、郑老师两人共花费元，则郑老师比许老师先下地铁的概率为
D. 若许老师、郑老师两人共花费元，则郑老师比许老师先下地铁的概率为
7.已知，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.已知随机变量满足，，且，若，则 ．
A. ，且 B. ，且
C. ，且 D. ，且
9.一次演出，原计划要排个节目，因临时有变化，拟再添加个小品节目，若保持原有个节目的相对顺序不变，则这个节目不同的排列方法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
10.甲医院在某段时间内累计留院观察的某病疑似患者有人经检测后分为确诊组和排除组，患者年龄分布如下表：
年龄岁 总计
确诊组人数
排除组人数
为研究患病与年龄的关系，现采用两种抽样方式第一种：从人中随机抽取人第二种：从排除组的人中随机抽取人用分别表示两种抽样方式下岁及以上的人数与岁以下的人数之比给出下列四个结论：
在第一种抽样方式下，抽取的人中一定有人在确诊组；
在第二种抽样方式下，抽取的人都小于岁的概率是；
的取值范围都是；
其中，正确结论的个数为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
11.若展开式中的所有二项式系数和为，则 ；该展开式中的系数为 结果用数字表示．
12.已知春季里，每天甲、乙两地下雨的概率分别为与，且两地同时下雨的概率为，则在春季的一天里，已知乙地下雨的条件下，甲地也下雨的概率为 ．
13.已知不等式对任意正实数恒成立，写出一个的可能值为 ．
14.英才高二年级男女生人数之比为，月日视力检测统计结果为男生近视率为，女生近视率为，则英才高二年级学生的近视率为 ．
15.年月日，英才高二年级倪同学、唐同学、张同学和潘同学参加了学年全国中学生地球科学奥林匹克竞赛北京赛区预赛，竞赛按照名次设置一等奖、二等奖、三等奖三个奖项，已知位同学的分数都在获奖达标分数线以上，则这位同学恰有人获得一等奖、人获得二等奖、人获得三等奖的概率为 ．
16.已知函数，若，现有下列个结论：；；；则其中正确的有 填上你认为所有正确结论的序号
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知集合，．
求，；
记关于的不等式的解集为，若，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知函数
求曲线在处的切线方程；
设函数，求的单调区间；
指出极值点的个数，并说明理由．
19.本小题分
甲、乙、丙三人进行飞碟射击比赛，共比赛场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分单位：分情况统计如下：
场次
甲
乙
丙
从上述场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率；
在上述场比赛中，从甲得分不低于分的场次中随机选择两场，设表示乙得分大于丙得分的场数，求的分布列和数学期望；
假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率甲、乙、丙三人接下来又将进行场投篮比赛，设为甲获胜的场数，为乙获胜的场数，为丙获胜的场数，写出方差，，的大小关系直接写出结果．
20.本小题分
已知函数
当时，求函数的最大值；
当时，求的单调区间；
若对，恒成立，求的取值范围．
21.本小题分
已知有穷数列：，，，，满足，若存在一个正整数，使得数列中存在连续的项与该数列中另一个连续的项恰好按次序对应相等，则称数列是“阶可重复数列”例如数列：，，，，，，因为，，，，与，，，按次序对应相等，所以数列是“阶可重复数列”．
判断数列：，，，，，，，，，是不是“阶可重复数列”？如果是，请写出重复的这项；
若项数为的数列一定是“阶可重复数列”，则的最小值是多少？说明理由；
假设数列不是“阶可重复数列”，若在其最后一项后再添加一项或，均可使新数列是“阶可重复数列”，且，求数列的最后一项的值．
答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.因为，解得，所以，
又因为，解得或，所以，
所以；
又因为，所以．
因为，
所以，
若，则，解得，
所以的取值范围是．
18.解：由函数，可得其定义域为，且，
可得直线的斜率，且，所以切线方程为，即．
解：由知，可得，
令，即，解得或，
当，；当，；当，，
所以函数在，单调递增，在单调递减．
解：函数有个极值点，理由如下：
由知，当时，函数在区间上单调递增，
且，，
所以存在唯一，使；
当时，函数在区间上单调递减，
且，，
所以存在唯一，使；
当时，在区间上单调递增，
且，恒有，故该区间内无零点，
综上可得：当，；当，；当，，
所以当时取到极小值；当时取到极大值；故有个极值点．
19.解：根据三人投篮得分统计数据，在场比赛中，甲共获胜场，
设表示“从场比赛中随机选择一场，甲获胜”，则．
解：根据三人投篮得分统计数据，在场比赛中，甲得分不低于分的场次有场，其中乙得分大于丙得分的场次有场，所以的所有可能取值为，
可得，，，
所以变量的分布列为
所以，期望为．
解：由题意，每场比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，丙获胜的概率为，
还需要进行场比赛，而甲、乙、丙获胜的场数符合二项分布，
所以，，
，则．
20.当时，，令，则，于是可列表如下：
单调递增 极大值 单调递减
当时，取最大值为．
，
当时，令或，
当时，由或，由，
所以函数在和上单调递增，在上单调递减；
当时，由或，由，
所以函数在和上单调递增，在上单调递减；
当时，由，由，
所以函数在上单调递增，在上单调递减；
当时，由，则函数在上单调递增．
综上：
当时，函数的单调增区间为和，减区间为；
当时，函数的单调增区间为和，减区间为；
当时，函数的单调增区间为，减区间为；
当时，函数的单调增区间为，无减区间．
，则不等式转化为，
设，
令，则，由，由，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
且，，则函数在内存在唯一的零点，
当时，，，单调递减，
当时，，，单调递增，
所以，
又，
得，则，
即，所以，即实数的取值范围为．
21.解：数列：，，，，，，，，，，
因为，，，，与，，，，按次序对应相等，
所以是“阶可重复数列”，重复的这项为，，，，；
解：因为数列的每一项只可以是或，所以连续项共有种不同的情形．
若，则数列中有组连续项，则这其中至少有两组按次序对应相等，
即项数为的数列一定是“阶可重复数列”；
若，数列，，，，，，，，，不是“阶可重复数列”；
则时，均存在不是“阶可重复数列”的数列．
所以，要使数列一定是“阶可重复数列”，则的最小值是．
由于数列在其最后一项后再添加一项或，均可使新数列是“阶可重复数列”，
即在数列的末项后再添加一项或，则存在，
使得，，，与，，，按次序对应相等，
或，，，与，，，按次序对应相等，
如果，，与，，不能按次序对应相等，
那么必有，，使得，，、，，与，，按次序对应相等．
此时考虑，和，其中必有两个相同，
这就导致数列中有两个连续的四项恰按次序对应相等，
从而数列是“阶可重复数列”，这和题设中数列不是“阶可重复数列”矛盾．
所以，，与，，按次序对应相等，从而．
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