2023-2024学年北京市育英学校高二下学期期中练习数学试题（含答案）

2023-2024学年北京市育英学校高二下学期期中练习数学试题
一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知数列满足，且，那么( )
A. B. C. D.
2.函数的导数为( )
A. B. C. D.
3.第二十条、热辣滚烫、飞驰人生三部贺岁片引爆了年春节电影市场．某电影院同时段播放这三部电影，小李和他的三位同学每人只能选择看其中的一场电影，则不同的选择方案有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
4.记等差数列的前项和为若，，则( )
A. B. C. D.
5.若件产品中有件次品，现从中任取件产品，则至少有件次品的不同取法的种数是( )
A. B. C. D.
6.已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A. 曲线在点处的切线斜率小于零
B. 函数在区间上单调递增
C. 函数在处取得极大值
D. 函数在区间内至多有两个零点
7.由组成没有重复数字，且，不相邻的六位数的个数是( )
A. B. C. D.
8.已知为数列的前项和，，，那么( )
A. B. C. D.
9.已知函数在上是单调递增函数，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
10.若数列为等比数列，则“”是“”的( )
A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件
C. 充分不必要条件 D. 必要不充分条件
11.一个信息设备装有一排六只发光电子元件，每个电子元件被点亮时可发出红色光蓝色光绿色光中的一种光若每次恰有三个电子元件被点亮，但相邻的两个电子元件不能同时被点亮，根据这三个被点亮的电子元件的不同位置以及发出的不同颜色的光来表示不同的信息，则这排电子元件能表示的信息种数共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
12.已知函数，下列命题正确的是( )
是奇函数；
在上是增函数；
方程有且仅有个实数根；
如果对任意，都有，那么的最大值为．
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
13.设函数的导函数为，若，则 ．
14.曲线在点处的切线的斜率为 ．
15.已知数列的前项和为，且，，则 ．
16.在等比数列中，，，则其前项的和的值为 ．
17.一个圆桌有八个座位，编号为至现有四个学生和四个家长入座，要求学生坐在偶数位．家长与其孩子相邻．满足要求的坐法共有 种．
18.设数列满足“，”，则的通项公式可以为 ．
19.如图：某城市有纵向道路和横向道路若干条，构成如图所示的矩形道路网图中黑线表示道路，则从西南角地到东北角地的最短路线共有 条用数字作答
20.随着自然语言大模型技术的飞速发展，等预训练语言模型正在深刻影响和改变着各衍各业为了解决复杂的现实问题，预训练模型需要在模拟的神经网络结构中引入激活函数，将上一层神经元的输出通过非线性变化得到下一层神经元的输入经过实践研究，人们发现当选择的激活函数不合适时，容易出现梯度消失和梯度爆炸的问题某工程师在进行新闻数据的参数训练时，采用作为激活函数，为了快速测试该函数的有效性，在一段代码中自定义：若输的满足则提示“可能出现梯度消失”，满足则提示“可能出现梯度爆炸”，其中表示梯度消失阈值，表示梯度爆炸间值给出下列四个结论：
是上的增函数；
当时，，输入会提示“可能出现梯度爆炸”；
当时，，输入会提示“可能出现梯度消失”；
，输入会提示“可能出现梯度消失”．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.本小题分
已知函数在时取得极值．
求实数；
若，求的单调区间和极值．
22.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，，是等边三角形，为的中点．

证明：平面；
若，求平面与平面夹角的余弦值．
23.本小题分
已知为等差数列的前项和，为等比数列的前项和，，．
若，求的值；
从以下三个条件中选择一个条件作为已知，使得单调递增，求出的通项公式以及．
条件：；条件：；条件：．
注：如果选择的条件不符合要求，第问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
24.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
当时，求的极值；
当时，判断零点个数，并说明理由．
25.本小题分
对于数列，如果存在正整数，使得对任意，都有，那么数列就叫做周期数列，叫做这个数列的周期若周期数列，满足：存在正整数，对每一个，都有，我们称数列和为“同根数列”．
判断下列数列是否为周期数列如果是，写出该数列的周期，如果不是，说明理由；
；
若和是“同根数列”，且周期的最小值分别是和，求证：；
若和是“同根数列”，且周期的最小值分别是和，求的最大值．
答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.答案不唯一
19.
20.
21.解：因为，由题意得，
即，解得
由得，，
由，得或，，得，
即的单调递增区间为，，单调递减区间为，
所以的极大值为，极小值为
22.解：证明：由于是等边三角形，为的中点，
所以，
又因为平面，平面，所以，
又，平面，且，
所以平面；
取的中点，连接，则由是的中点，知是三角形的中位线，故，
因为平面，所以平面，
而，平面，故，，
故三线两两相互垂直，
以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，

则由，，，，
，知，，，
所以， ，
设平面的法向量为，则
，即
令，则，，故 ，
显然平面的一个法向量为 ，
而，
故平面与平面夹角的余弦值为．

23.因为为等比数列，，，
设的公比为，则．
解得所以．
因为，所以．
因为为等差数列，，所以公差，
所以．
若选择条件
因为为等差数列，为等比数列，，，，
设的公差为，所以，，
所以不是递增数列，故不符题意，所以不能选条件．
若选择条件
因为为等差数列，为等比数列，，，，
设的公差为，的公比为，
则即
解得或舍，故条件符合题意，
所以，．
若选择条件
因为为等差数列，为等比数列，，，，
所以，设的公差，所以，，
所以不是递增数列，故不符题意，所以不能选条件．
24.当时，则，，
所以，
所以曲线在点处的切线方程为．
函数的定义域为，且，
令，则，
因为，所以恒成立，所以在上单调递减，
即在上单调递减，
又，
所以当时，当时，
则在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，无极小值．
令，即，
因为，所以，
令，
所以判断的零点个数，即判断的零点个数，
又，，
所以当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
令，，
则，因为，所以，
所以在上单调递减，
所以，
所以，当且仅当时等号成立，
所以当时有一个零点，即有一个零点，
当时无零点，即无零点，
综上可得当时有一个零点，当时无零点．

25.均是周期数列，理由如下：
因为，
所以数列是周期数列，其周期为或任意正整数．
因为，
所以．
所以数列是周期数列，其周期为或的正整数倍．
假设不成立，则有，即对于，都有．
因为，所以．
又因为，所以．
所以，
所以，即，与周期的最小值是矛盾．
所以．
当是奇数时，首先证明不存在数列满足条件．
假设，即对于，都有．
因为，
所以，
即，及．
又时，，
所以，即，与的周期最小值是矛盾．
其次证明存在数列满足条件．
取
及
对于，都有．
当是偶数时，首先证明时不存在数列满足条件．
假设，即对于，都有．
因为，
所以，
即，及．
又时，，
所以，即，与的周期最小值是矛盾．
其次证明时存在数列满足条件．
取
及
对于，都有．
综上，当是奇数时，的最大值为；
当是偶数时，的最大值为．
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