2023学年第二学期七年级数学学科期末试卷
一．选择题（每小题3分，共30分）
1．下列运算正确的是（ ）
A．2a+4＝6a B．a2 a3＝a5 C．（2a）2＝2a2 D．a3÷a3＝a
2．下列是二元一次方程的是（ ）
A．2x＝3 B．2x2＝y﹣1 C． D．x﹣6y＝0
3.宁波天一阁，是中国现存最古老的的藏书阁，距今400余年间已藏书近30万书籍，将数据“30万”用科学记数法表示为（ ）
A．3×103 B．3×104 C．3×105 D．3×106
4．下列式子变形是因式分解的是（ ）
A．x2﹣5x+6＝x（x﹣5）+6 B．x2﹣5x+5＝x2﹣5（x﹣1）
C．（x﹣2）（x﹣3）＝x2﹣5x+6 D．x2﹣6x+9＝（x﹣3）2
光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如下图是从玻璃杯底部发出的一束平行光线经过水面折射形成的光线示意图，水面与玻璃杯的底面平行．若∠1＝45°，∠2＝120°，则∠3+∠4的度数是（ ）
A．95° B．100° C．105° D．120°
6．已知是二元一次方程组的解，则m+n的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3
（第5题图） （第7题图）
7．如图，AB∥EF∥CD，点G在AB上，GE∥BC，GE的延长线交DC的延长线于点H，则图中与∠AGE相等的角（不含∠AGE）共有（ ）
A．7 个 B．6 个 C．5 个 D．4
8．在迎宾晚宴上，若每桌坐人，则空出张桌子；若每桌坐人，则还有人不能就坐．设有嘉宾名，共准备了张桌子．根据题意，下列方程组正确的是 （ ）
A. B.
C. D.
9．任何一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝s×t（s，t是正整数，且s≤t），如果p×q在n的所有分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最优分解，并规定：.例如24可以分解成1×24，2×12，3×8，4×6这四种，这时就有．给出下列关于F（n）的说法：①；②；③；④若n是一个完全平方数，．其中说法正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．已知EF，GH把长方形ABCD分割成四个小长方形，若已知长方形ABCD的面积，则要求阴影部分的面积，还需知道下列哪个图形的面积（ ）
A．长方形GHCD B．长方形ABHG
C．长方形GMFD D．长方形EBHM
二．填空题（每小题3分，共18分）
11．若代数式有意义，则实数x的取值范围为_____________.
12．从m2、2mn、n2这3个单项式中先选择两个或三个组成一个多项式，再进行因式分解，写出一个这样的等式_____________.
13．若（x+m）2＝x2 +nx+49是一个完全平方式，则n的值是 ．
14．若关于x，y的方程组的解为则关于x，y的方程组的解为 ．
15. 有两个正方形A，B，现将B放在A的内部如图甲，将A，B对角放置后构造新的正方形如图乙，若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和70，则正方形A，B的面积之和为 .
图甲 图乙
16．若关于x的分式方程无解，则m的值为_____________.
三．解答题（第17-22题各6分，第23-24题各8分，共52分）
17．（6分）（1）计算： （2）化简：．
18．（6分）分解因式：（1）a3﹣2a2． （2）m2（n﹣3）+4（3﹣n）．
19．（6分）解下列方程组：（1） （2）
20．（6分）先化简，再求值：，并在-1，0，2中选一个合适的数作为a的值代入求值．
（6分）已知：如图，AE⊥BC，FG⊥BC，AB∥CD，∠D＝2∠3+5°，∠CBD＝70°．
22．（6分）2024年4月25日20时59分，神舟十八号载人飞船成功发射，中国载人航天与空间站建设迎来全新的发展．为了弘扬航天精神，某中学开展了航天知识竞答活动，学校随机抽取了八年级的部分同学的成绩进行整理．数据分成五组，A组：50≤x＜60；B组：60≤x＜70；C组：70≤x＜80；D组：80≤x＜90；E组：90≤x≤100。根据以上数据，我们绘制了频数分布直方图和扇形统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次随机抽查 名同学，并补全频数分布直方图；
（2）扇形统计图中，A组所在扇形的圆心角为 度；
（3）规定本次航天知识竞赛活动成绩在80分及以上的成绩为优秀，全校共有1750名学生，请估计全校取得优秀成绩的同学共有多少？
23．（8分）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元
（1）求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
（2）若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案；
（3）若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利5000元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？
24．（8分）在学习“整式乘法”与“因式分解”这章节内容时，我们通过计算图形面积，发现了整式乘法的法则及乘法公式，并通过推演证实了法则和公式．借助图形可以帮助我们直观的发现数量之间的关系，而“数”又可以帮助我们更好的探究图形的特点．这种数形结合的方式是人们研究数学问题的常用思想方法．请你根据已有的知识经验，解决以下问题：
【自主探究】
（1）请用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，写出得到的等式；
（2）图2是由两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现a、b、c的什么关系？说明理由；
【迁移应用】根据（1）、（2）中的结论，解决以下问题：
（3）在直角△ABC中，∠C＝90°，三边分别为a、b、c，a+b＝14，ab＝48，求c的值；
（4）如图3，五边形ABCDE中，AC⊥BD，垂足为N，AC＝BD＝2，CN＝a，BN＝b，△BCN周长为2，四边形AEDN为长方形，求四边形AEDN的面积.
第1页（共1页）2023 学年第二学期期末考试七年级数学试卷答案
一．选择题（本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）
1．B 2．D 3．C 4．D 5．C 6．B 7．B 8．A 9．D
10．C. 解析：设长方形AEMG面积为a，长方形BHME面积为b，长方形CFMH面积为c，长方形GMFD的面积为d，则长方形ABCD的面积为a+b+c+d；
由题得：阴影面积＝（a+b+c+d）﹣（a+d）﹣b﹣（c+d）＝（a+b+c），
∵已知长方形ABCD的面积
∴当知道长方形GMFD的面积时，即知道了a+b+c的值，故阴影面积可求．
故选：C．
二．填空题（本题共 6 小题，每小题 3 分，共 18分）
11. 12. 13.±14
14. 15. 74 16.
16题解析：当（x+3）（x﹣3）＝0时，x1＝3或x2＝﹣3，
原分式方程可化为：＝1﹣，
去分母，得x（x+3）＝（x+3）（x﹣3）﹣（mx﹣2），
整理得：（3+m）x＝﹣7，
∵分式方程无解，
∴3+m＝0，
∴m＝﹣3，
∵分式方程出现增根
∴把x1＝3或x2＝﹣3，分别代入（3+m）x＝﹣7，
得m＝﹣或m＝﹣，
综上所述：m的值为m＝﹣或m＝﹣或m＝﹣3，
解答题（本题共 8 小题，共 52 分）
（6分）（1）计算： ； （2）化简：．
解：（1） 原式= ----------------------------------------------------------3分
（2）原式=---------------------------6分
（6分）分解因式：（1）a3-2a2． （2）m2（n﹣3）+4（3﹣n）．
解：（1） 原式= a2（a -2）---------------------------------------------------------------3分
原式= m2（n﹣3）- 4（n﹣3）
=（m2﹣4）（n﹣3）
=（m+2）（m-2）（n﹣3）-------------------------------------------6分
（6分）解下列方程组（1） （2）
解：（1）方程组的解为：-------------------------------------------------------3分
（2）方程组的解为：---------------------------------------------------------6分
（6分）化简：原式=----------------------------------2分
=
=------------------------------------------------------------------3分
∴将a=0代入，原式=-2-------------------------------------------------------------------6分
（6分）（1）证明：∵AE⊥BC，FG⊥BC，
∴AE∥FG，
∴∠A＝∠2，------------------------------------------------------------------------------1分
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠1，
∴∠1＝∠2；------------------------------------------------------------------------------3分
（2）解：设∠3＝x°，则∠D＝（2x+5）°，∠ABD＝∠3+∠CBD＝（x+70）°，
∵AB∥CD，
∴∠D+∠ABD＝180°，
∴（2x+5）°+（x+70）°＝180°，------------------------------------------------5分
∴x＝35，
∴∠3＝35°，
∵AB∥CD，
∴∠C＝∠3＝35°--------------------------------------------------------------------------6分
（1）本次随机抽查 50 名同学，-----------------------------------------------------1分
全频数分布直方图如上；------------------------------------------------------------------2分
（2）扇形统计图中，A组所在扇形的圆心角为 36 度；-----------------------------4分
（3）
答：估计全校取得优秀的同学共有 805 名；-------------------------------------------6分
23.解：（1）设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元，
依题意，得：，
解得：．
答：A型汽车每辆的进价为25万元，B型汽车每辆的进价为10万------------------------2分
（2）设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆，
依题意，得：25m+10n＝200，
解得：m＝8﹣n．
∵m，n均为正整数，
∴，，，
∴共3种购买方案，方案一：购进A型车6辆，B型车5辆；方案二：购进A型车4辆，B型车10辆；方案三：购进A型车2辆，B型车15辆．--------------------------------------------5分
（3）方案一获得利润：8000×6+5000×5＝73000（元）；
方案二获得利润：8000×4+5000×10＝82000（元）；
方案三获得利润：8000×2+5000×15＝91000（元）．
∵73000＜82000＜91000，
∴购进A型车2辆，B型车15辆获利最大，最大利润是91000元．------------------------8分
24.解：（1）a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，
故答案为：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab；-------------------------------------------------------2分
（2）发现：a2+b2＝c2，
理由：∵图2中图形的面积 ，
∴，
∴2ab+c2＝（a+b）2，
∴a2+b2＝c2．--------------------------------------------------------------------------------4分
（3）在直角△ABC中，∠C＝90°，三边分别为a、b、c，
由（1）（2）结论可知：c2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，
∵a+b＝14，ab＝48，
∴c2＝（14）2﹣2×48＝100，
∴c＝10．------------------------------------------------------------------------------------6分
（4）∵CN＝a，BN＝b，△BCN周长为2，
∴BC＝2﹣CN﹣BN＝2﹣a﹣b，
∵在Rt△BNC 中，BC2＝CN2+BN2，
∴（2﹣a﹣b）2＝a2+b2，
∴4+a2+b2+2ab﹣4a﹣4b＝a2+b2，
∴4+2ab﹣4a﹣4b＝0，
∴ab﹣2（a+b）＝﹣2，
∵AC＝BD＝2，CN＝a，BN＝b，
∴AN＝AC﹣CN＝2﹣a，DN＝BD﹣BN＝2﹣b，
∴长方形AEDN的面积为：
AN DN＝（2﹣a）（2﹣b）＝4+ab﹣2（a+b）＝4﹣2＝2．----------------------------8分
