4.8图形的位似 北师大版初中数学九年级上册同步练习（含详细答案解析）

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4.8图形的位似北师大版初中数学九年级上册同步练习
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，与位似，点为位似中心，与的周长之比为：，若点坐标为，则点的坐标是( )
A.
B.
C.
D.
2.如图，与位似，点为位似中心．已知：：，则与的面积比为( )
A. ： B. ： C. ： D. ：
3.如图，与位似，点是它们的位似中心，且，则与的面积之比是( )
A. B. C. D.
4.如图，和是位似三角形，位似中心为点，，则和的位似比为( )
A. B. C. D.
5.如圖，在直角坐標系中，的頂點為，，以點為位似中心，在第三象限內作與的位似比為的位元似圖形，則點的座標為( )
A. B. C. D.
6.如图，与位似，点是它们的位似中心，其中，则与的面积之比是
A. B. C. D.
7.如图，在平面直角坐标系中，，，，，，三点在同一直线上，，则点的坐标为( )
A. B. C. D.
8.如图，与位似，位似中心是点，且，若的面积为，则的面积为 ( )
A. B. C. D.
9.如图，在平面直角坐标系中，已知点、，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则边的对应点的坐标是( )
A.
B.
C. 或
D. 或
10.如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，点，，在轴上若正方形的边长为，则点的坐标为( )
A. B. C. D.
11.年是紫禁城建成年暨故宫博物院成立周年，在此之前有多个国家曾发行过紫禁城元素的邮品．图所示的摩纳哥发行的小型张中的图案，以敞开的紫禁城大门和大门内的石狮和太和殿作为邮票和小型张的边饰，如果标记出图中大门的门框并画出相关的几何图形图，我们发现设计师巧妙地使用了数学元素忽略误差，图中的四边形与四边形是位似图形，点是位似中心，点是线段的中点，那么以下结论正确的是( )
A. 四边形与四边形的相似比为
B. 四边形与四边形的相似比为
C. 四边形与四边形的周长比为
D. 四边形与四边形的面积比为
12.如图，在正方形网格图中，以为位似中心，作线段的位似图形，若点是点的对应点，则点的对应点是
A. 点 B. 点 C. 点 D. 点
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.如图，以点为位似中心，将五边形放大后得到五边形，已知，，五边形的周长为，则五边形的周长是 ．
14.如图，与是以点为位似中心的位似图形，且，若的面积为，则的面积为 ．
15.如图，和是以点为位似中心的位似图形若，则与的面积比是______．
16.如图，已知，，，写出作如下运动或变化后的各顶点坐标．
关于轴对称：______，______ ______，______，______，______；
以为轴翻折：______，______ ______，______，______，______；
关于原点对称：______，______ ______，______，______，______；
以坐标原点为位似中心，在第一象限内放大为原来的倍：______，______ ______，______，______，______；
绕坐标原点逆时针旋转：______，______ ______，______，______，______；
绕点逆时针旋转：______，______ ______，______，______，______
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，与是位似图形，点，，，，共线，点为位似中心．
与平行吗？为什么？
若，，求的长．
18.本小题分
已知在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中点和点的坐标分别为，．
在第一象限画出以原点为位似中心的位似图形，使与的位似比为
画出绕点按逆时针方向旋转后的．
19.本小题分
如图，已知点是坐标原点，小方格的边长为，．
以点为位似中心，在轴的上方将放大到原图的倍，即新图与原图的相似比为，画出对应的；
直接写出四边形的面积：______．
20.本小题分
在如图所示小正方形方格中，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图不要求写画法．
在图中请以为端点作一条线段，使它与线段平行且相等
以点为位似中心，将线段按缩小为，在图中画出线段，并保留作图痕迹．
21.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，每个方格的边长均为个单位长度．
将向右平移个单位后得到，请画出；
请以为位似中心在的同侧画出的位似图形，使它与的相似比为：；
点为内一点，请直接写出位似变换后的对应点的坐标为______．
22.本小题分
如图，已知在平面直角坐标系中，点、、请按如下要求画图：
将绕点逆时针旋转得到，请画出；
以点为位似中心，位似比为，将在位似中心的异侧进行放大得到，请画出；
内部一点的坐标为，写出在中的对应点的坐标．
23.本小题分
如图，的顶点坐标分别为，，．
绕原点逆时针旋转得到，按照要求画出；
以点为位似中心画，使它与位似，且位似比为：．
24.本小题分
如图，在正方形网格中，的三个顶点，，都在格点上，请仅用无刻度的直尺在网格中按要求画图保留画图痕迹．
请画一个，使得与关于点位似
请画一个，使得可通过绕点旋转得到．
25.本小题分
如图，在边长为的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知三个顶点分别为、、．
画出关于轴对称的；
以原点为位似中心，在轴的上方画出，使与位似，且位似比为，并求出的面积．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：如图，过点作于，
点坐标为，
．
与位似，点为位似中心，与的周长之比为：，
∽且相似比为：，．
：：，，，．
，，
．
故选：．
根据题意可以推知：∽且相似比为：；由平行线分线段成比例、对应边上的高线之比等于相似比求得答案．
此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
2.【答案】
【解析】解：与位似，
∽，，
∽，
：：：，
与的面积比为：，
故选：．
根据位似图形的概念得到，进而得到∽，根据相似三角形的性质解答即可．
本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：与位似，
∽，，
∽，
，
，
故选：．
根据位似变换的概念得到∽，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．
本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：，
：：，
和是位似三角形，位似中心为点，
和的位似比为：：．
根据位似比的定义，计算出：即可．
本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．位似图形必须是相似形，对应点的连线都经过同一点；对应边平行或共线．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．
根据位似变换的性质解答即可．
【解答】
解：以点为位似中心，在第三象限内作与的位似比为的位似图形，，
点的横坐标为，纵坐标为，
即点的坐标为．
6.【答案】
【解析】解：与位似，
∽，，
∽，
，
与的面积之比为：，
故选C．
根据位似图形的概念得到∽，，得出∽，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．
本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
7.【答案】
【解析】在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，新图形与原图形的相似比是，那么与原图形上的点对应的位似图形上的点的坐标是或，由此即可求解．
解：，，
，，
，
，
与是以为位似中心的位似图形，且相似比，
的坐标是，
的横坐标，纵坐标分别是，，
的坐标是．
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据位似图形的概念得到∽，，根据相似三角形的性质得到，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可．
【解答】
解：与位似，
∽，，
∽，
，
与的面积比为：，
的面积为，
的面积是，
故选C．
9.【答案】
【解析】解：点，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，
点的对应点的坐标是或，
故选：．
根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或解答．
本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．
10.【答案】
【解析】【分析】本题考查的是位似变换的性质、正方形的性质，掌握位似图形的两个图形是相似形是解题的关键．
根据位似图形的概念和性质列出比例式，求出、，求出点的坐标．
【解答】
解：因为正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为 ，
所以 ， ，即 ， ，解得，．
所以所以点的坐标为．
11.【答案】
【解析】【分析】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．两个位似图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点，对应边平行或共线．先利用位似的性质得到，然后根据相似的性质进行判断．
【详解】解：四边形与四边形是位似图形，点是位似中心，点是线段的中点，
，
，
四边形与四边形的相似比为，周长的比为，面积比为．
故选：．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是位似图形有关知识，根据、的长度求出相似比，根据位似变换的性质解答即可．
【解答】
解：如图
，，
线段与其位似的图形的相似比为：，
由图可知：点的对应点是点
13.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了位似图形的性质．此题难度不大，注意相似多边形的周长比等于相似比．
由以点为位似中心，将五边形放大后得到五边形，，，可得五边形的周长与五边形的位似比为：：，然后由相似多边形的性质可证得：五边形的周长与五边形的周长比是：解答即可．
【解答】
解：以点为位似中心，将五边形放大后得到五边形，，，
五边形的周长与五边形的位似比为：：，
五边形的周长与五边形的周长比是：，
五边形的周长是，
故五边形的周长为：．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，根据位似图形的概念得出是解题的关键．根据与是位似图形得到，证明∽，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
【解答】
解：与是以点为位似中心的位似图形，
，
∽，
与的位似比为：，
的面积为，
的面积为，
故答案为．
15.【答案】：
【解析】解：，
：：，
和是以点为位似中心的位似图形，
∽，，
，，
∽，
，
与的面积比为：，
故答案为：：．
根据位似变换的性质及相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．
本题考查的是位似变换，相似三角形的判定和性质，掌握位似图形的概念、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：关于轴对称：，；
故答案为：，，，，，；
以为轴翻折：，；
故答案为：，，，，，；
关于原点对称：，；
故答案为：，，，，，；
以坐标原点为位似中心，在第一象限内放大为原来的倍：，；
故答案为：，，，，，；
绕坐标原点逆时针旋转：，，；
故答案为：，，，，，；
绕点逆时针旋转：，．
故答案为：，，，，，．
根据关于轴对称的点的坐标特征，解决问题即可；
根据轴对称的性质解决问题即可；
根据关于原点对称的点的坐标特征解决问题即可；
根据位似变换的性质解决问题即可；
利用性质变换的性质画出图形，可得结论．
本题考查位似变换，轴对称变换，旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用图象法解决问题．
17.【答案】解：结论：与平行，
理由：与是位似图形，点、、、、共线，
，
；
，，
，
的长为：．
【解析】利用位似图形的性质，得出；
利用位似图形的性质得出，即可得出答案．
此题主要考查了位似图形的性质，得出符合题意的图形是解题关键．
18.【答案】解：如图所示，
即为所求图形
如图所示，
即为所求图形．

【解析】此题主要考查了作图位似变换，作图旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键．
分别画出以原点为位似中心，使与的位似比为的对应点、、，再顺次连接即可得；
分别作出点、绕点按逆时针旋转所得的对应点，再顺次连接即可得．
19.【答案】
【解析】解：如图，即为所求；
四边形的面积．
故答案为：．
利用位似变换的性质，画出三角形即可；
利用分割法求出四边形面积即可．
本题考查作图位似变换，解题的关键是掌握位似变换的性质，属于中考常考题型．
20.【答案】解：如图，线段即为所求；
如图，线段即为所求．

【解析】本题考查了平行线的判定及性质，位似变换作图，熟悉网格中的平行作图和位似作图是解题的关键．
结合网格特征，找到格点，并连接即可；
连接，，利用网格特征找到线段，的中点并连接即可．
21.【答案】解：如图，即为所求作三角形；
如图，即为所求作三角形；
．
【解析】【分析】
本题考查了利用位似变换作图，坐标位置的确定，熟练掌握网格结构以及平面直角坐标系的知识是解题的关键．
根据平移的规律，将点、、向右平移个单位，得到、、，连接、、即可；
连接并延长到，使，连接并延长到，使，连接并延长到，使，然后顺次连接即可；
分别根据平移和位似变换坐标的变化规律得出坐标即可．
【解答】
解：见答案；
见答案；
点为内一点，位似变换后的对应点的坐标为，
故答案为：．
22.【答案】解：如图，为所求
如图，为所求
内部一点的坐标为
则在中的对应点的坐标
【解析】本题考查的是作图旋转变换，作图位似变换有关知识，
根据网格结构找出点绕点逆时针旋转的对应点、、的位置，然后顺次连接即可；
连接并延长至，使，连接并延长至，使，连接并延长至，使，然后顺次连接、、即可；
根据旋转的性质解答
23.【答案】解：如图，为所作；
如图，、为所作．

【解析】利用网格特点和旋转的性质画出点、、的对应点即可；
利用关于原点为位似中心的对应点的坐标特征，把点、、的横纵坐标都乘以或得到点、、的坐标，然后描点即可．
本题考查了作图位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或也考查了旋转变换．
24.【答案】解：如答图，即为所求
如答图，即为所求．

【解析】本题主要考查位似变换和旋转变换，掌握相关性质是解题的关键．
根据位似变换的性质，确定位似比，进而得到对应点，即可画出图形；
根据旋转变换的性质，结合网格特点作图即可．
25.【答案】解：如图所示，就是所求三角形．
如图所示，就是所求三角形，
，，，与位似，且位似比为，
，，，
．
【解析】本题考查作图位似变换，轴对称变换等知识，解题的关键是理解位似变换、轴对称变换的定义，属于中考常考题型．
画出、、关于轴的对称点、、即可解决问题；
连接延长到，使得，同法可得、，就是所求三角形；再根据图形，利用矩形面积减去周围直角三角形的面积，求解即可．
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