6.2反比例函数的图像与性质 北师大版初中数学九年级上册同步练习（含详细答案解析）

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6.2反比例函数的图像与性质北师大版初中数学九年级上册同步练习
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.函数与在同一坐标系中的图象可能是( )
A. B. C. D.
2.如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴，垂足为，交反比例函数的图象于点为轴上一点，连接，则的面积为( )
A.
B.
C.
D.
3.函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是( )
A. B.
C. D.
4.已知反比例函数，下列描述不正确的是( )
A. 图象位于第二、四象限
B. 若点，是该函数图象上两点，且，则
C. 图象必经过点
D. 当时，的取值范围是
5.如图，过点分别作轴于点，轴于点，、分别交反比例函数的图象于点、，则四边形的面积为( )
A. B. C. D.
6.如图，点，，为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作轴，轴的垂线，与轴的交点分别为点，，，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，，，其中：：：：，若，则( )
A. B. C. D.
7.一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴负半轴相交于点，则下列判断正确的是( )
A. B. C. D.
8.如图，四边形是平行四边形，点是坐标原点，点在轴上，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，若平行四边形的面积是，则的值为( )
A. B. C. D.
9.如图，点在双曲线上，点在双曲线上，轴，点是轴上一点，连接、，则的面积是( )
A. B. C. D.
10.如图，正方形的顶点，在轴上，反比例函数的图象经过点和的中点若，则的值是( )
A. B. C. D.
11.如图，已知在平面直角坐标系中，的顶点，，函数的图象经过点，则的长为( )
A. B. C. D.
12.如图所示，四边形是矩形，四边形是正方形，点，在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，点在上，点、在反比例函数的图象上，正方形的面积为，且，则值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.如图，点在双曲线上，过点作轴于点，点在线段上且：：，双曲线经过点，则 ．
14.如图，在平面直角坐标系中，，，反比例函数的图象经过 的顶点，则______．
15.矩形在坐标系中的位置如图所示，点坐标为．点坐标为，反比例函数的图象交边、于、两点．且则______．
16.如图，四边形是菱形，已知点的坐标是，反比例函数经过点，且，则这个反比例函数的解析式为 ．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，在平面直角坐标中，点是坐标原点，一次函数与反比例函数的图象交于、两点．
求直线的解析式及面积；
根据图象写出当时，的取值范围；
若点在轴上，求的最小值．
18.本小题分
如图，点为轴负半轴上的一个点，过点作轴的垂线，交函数的图象于点，交函数的图象于点，过点作轴的平行线，交于点，连接．
当点的坐标为时，求的面积；
若，求点的坐标；
连接和当点的坐标为时，的面积是否随的值的变化而变化？请说明理由．
19.本小题分
如图，分别位于反比例函数，图象上并在第一象限的两点、，与原点在同一直线上，且．
求反比例函数的表达式；
过点作轴的平行线交的图象于点，连接，求的面积．
20.本小题分
如图，点是反比例函数图象上一点，过点分别向坐标轴作垂线，垂足为，反比例函数的图象经过的中点，与，分别相交于点，连接并延长交轴于点，点与点关于点对称，连接，．
填空：______；
求的面积；
求证：四边形为平行四边形．
21.本小题分
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于和两点．
求反比例函数的解析式；
求点的坐标．
22.本小题分
已知一次函数的图象直线与反比例函数的图象双曲线相交于点和点，且直线与轴、轴相交于点、点．
求一次函数和反比例函数的解析式；
点为直线上的动点，过作轴垂线，交双曲线于点，交轴于点，请选择下面其中一题完成解答若两题均选择，则只批改第题：
连接，若，求的值；
点在点上方时，判断关于的方程的解的个数．
23.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点。
求反比例函数的表达式及点的坐标
过点的直线与轴正半轴交于点，与轴交于点。若，求的面积
点在第三象限内的反比例函数图象上，横坐标和纵坐标相等。关于原点的对称点为点。平面内是否存在点，使得∽若存在，求点的坐标若不存在，请说明理由。
24.本小题分
已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点和点．
求这两个函数的关系式；
结合图象直接比较：当时，根据自变量的取值范围比较和的大小．
25.本小题分
如图，一次函数与反比例函数的图象交于点、．
求、、的值；
连接、，若是轴上的一动点，且面积相等，试求出点的坐标．
若点在轴上，点在反比例函数的图象上，且、、、恰好是一个平行四边形的四个顶点，试求点的坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由的取值确定函数所在的象限．根据反比例函数与一次函数的图象特点解答即可．
【解答】解：当时，，在一、二、四象限，在一、三象限，无选项符合；
当时，，在一、三、四象限，在二、四象限，只有符合；
故选D．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的系数的几何意义是解题的关键．
连接和，利用三角形面积可得的面积即为的面积，再结合反比例函数中系数的几何意义，利用，可得结果．
【解答】
解：连接和，
点在轴上，轴，
，
和面积相等，
在上，在上，轴，
，，
，
的面积为，
故选：．
3.【答案】
【解析】略
4.【答案】
【解析】【分析】
根据反比例函数性质逐项分析判断正误即可．
【解答】
解：、反比例函数图象位于第二四象限，故选项正确，不符合题意
B、若、不在同一象限时，，则不成立，故选项错误，符合题意
C、反比例函数图象必过点，选项正确，不符合题意
D、当时，的取值范围是，选项正确，不符合题意
故选：．
【点评】
本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数性质是关键．
5.【答案】
【解析】解：、两点在反比例函数的图象上，
，
，
四边形的面积为，
四边形的面积为，
故选：．
根据反比例函数系数的几何意义可得，再利用矩形的面积减去和的面积即可．
此题主要考查了反比例函数的几何意义，关键是掌握在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查反比例函数系数的几何意义，矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．
由，得，，，所以，，根据，解得，即得，进而即可求得，即可．
【解答】
解：，，
，，，
，
，，
，
，
，
．
7.【答案】
【解析】解：反比例函数，，
当，函数图像位于第一象限，
一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴负半轴相交于点，
的图象经过第一、三、四象限，
，，
．
根据反比例函数，，，可得其图像位于第一象限，进而得出一次函数的图象经过第一、三、四象限，则，，即可求解．
本题考查了一次函数图象与系数的关系、反比例函数的图象熟练掌握函数图象与系数的关系是解答的关键．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了反比例系数的几何意义、平行四边形的性质，熟知在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是是解答此题的关键，连接，设交轴于点，根据反比例函数系数的几何意义得到，进而即可求得的值．
【解答】
解：连接，设交轴于点，
四边形是平行四边形，
，
轴，
，，
，
，
平行四边形的面积是，
，
，
反比例函数的图象在第四象限，
，
故选：．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查的是反比例函数系数的几何意义，反比例函数的图象上点的坐标特征，三角形的面积的有关知识，连接，，与轴交于点，根据轴得到，然后根据求解即可
【解答】
解：如图，连接，，与轴交于点，

轴，点双在曲线上，点在双曲线上，
，，
10.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了正方形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，正确表示出点坐标是解题关键．
根据正方形的性质以及结合已知表示出，点坐标，进而利用反比例函数图象上点的坐标特征得出等式求出答案．
【解答】
解：由题意可得：设，则，
可得：，
解得：，
故C，
则．
故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及直角三角形的性质、勾股定理，等腰三角形性质，恰当的将线段的长与坐标互相转化，使问题得以解决是关键．
根据、的坐标分别是、、可知，进而可求出，通过作垂线构造等腰直角三角形，求得，设，则，代入，求得的值，即可求得，根据勾股定理即可求出的长．
【解答】
解：过点作轴，垂足为，
、的坐标分别是、、，
，
在中，，
又，
，
，
设，
，
函数的图象经过点，
，
解得或负数舍去，
，
，
在中，，
故选：．
12.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，以及反比例函数图象上点的坐标特点，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式．设的长度为，根据题意得点坐标为，点坐标为再根据、在反比例函数的图象上，列出方程，求出的值，进而可求得的值．
【解答】
解：设的长度为．
正方形的面积为，
正方形的边长为，
，
，
，
．
点、在反比例函数的图象上，
，
解得，
，
故选C．
13.【答案】
【解析】解：连接，
点在双曲线上，过点作轴于点，
，
：：，
，
双曲线经过点，
，
，
双曲线在第一象限，
，
故答案为．
根据反比例函数系数的几何意义，即可得到结论．
本题考查了反比例函数系数的几何意义，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：如图，连接，，交于点，
四边形是平行四边形，
，．
，，
点的坐标为．
，
点的坐标为．
反比例函数的图像经过点，
．
本题考查了平行四边形的性质及待定系数法求反比例函数解析式；
连接，，交于点，先根据平行四边形的性质求出点坐标，进一步求出点坐标，将点坐标代入中，即可求出的值．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，全等三角形的判定与性质有关知识，将绕点顺时针旋转得到，连接、，作于由题意可以设，，想办法证明，由此构建方程即可解决问题；
【解答】
解：将绕点顺时针旋转得到，连接、，作于．
四边形是矩形，，，反比例函数的图象交边、于、两点，
，，
，，
又，，
，
，
，，
，
，，，
，
，
，
解得或舍弃．
故答案为：．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查的是菱形的性质，勾股定理，待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数的图象上点的坐标特征，反比例函数系数的几何意义等有关知识．
过点作于，根据点坐标求出菱形的边长，再根据菱形的面积求得，然后利用勾股定理求得，从而得到点坐标，代入函数解析式中求解出，进而求出此题．
【解答】
解：如图，过点作于，
点的坐标为，
菱形的边长为，，
，解得，
在中，根据勾股定理可得： ，
点的坐标为，
双曲线经过点，
，
这个反比例函数的解析式为
17.【答案】解：、两点坐标分别代入反比例函数，可得，，
、，
把、代入一次函数，可得
，
解得，
直线的解析式为．
，．
．
从图象看出或时，一次函数图象在反比例函数图象的下方，
当时，的取值范围是：或．
如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则的最小值等于的长，
过作轴的平行线，过作轴的平行线，交于点，
则中，，，
的最小值为．
【解析】依据反比例函数的图象交于、两点，即可得到、，代入一次函数，可得直线的解析式，从而求出、两点的坐标即可求出的面积；
当或时，一次函数图象在反比例函数图象的下方，即可得到当时，的取值范围是：或；
作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则的最小值等于的长，利用勾股定理即可得到的长．
本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，根据函数图象的上下位置关系结合交点的横坐标，得出不等式的取值范围是解答此题的关键．
18.【答案】解：点，则点，点，点，
；
设点，则点、、的坐标分别为、、，
，即：，解得：舍去，
故点；
过点作轴于点，过点作轴于点，
点，则点、、的坐标分别为、、，
由反比例函数图象知，则
，
故的面积不随的值的变化而变化．
【解析】本题考查了反比例函数系数的几何意义及反比例函数图象点的坐标特征等知识，关键是通过函数关系，确定相应坐标，进而求解．
点则点，点，点，，即可求解；
设点，得到点、、的坐标，由列出方程即可求解；
由反比例函数系数的几何意义得到，代入坐标计算即可求解．
19.【答案】解：作，分别垂直于轴，垂足为，，
，
∽，
又，
，
由点在函数的图象上，
设的坐标是
，，
，，即的坐标是，
又点在的图象上，
，解得，
则反比例函数的表达式是；
由可知，，，其中，
又已知过作轴的平行线交的图象于点，
的纵坐标是，
把代入得，
的坐标是，
，
．
【解析】本题考查待定系数法求函数关系式以及相似三角形的判定与性质，正确利用表示出各点的坐标是关键．
作，分别垂直于轴，垂足为，，根据∽，则设的横坐标是，则可利用表示出和的坐标，利用待定系数法求得的值；
根据轴，则可利用表示出的坐标，利用三角形的面积公式求解．
20.【答案】解：；
；
设点，则点，
点与点关于点对称，故点，
则点，
设直线的表达式为：，
将点、的坐标代入上式得
解得
故直线的表达式为：，
令，则，故点，
故FG，
而，，
故四边形为平行四边形．
【解析】【分析】
本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到一次函数的性质、平行四边形的判定、面积的计算等，综合性强，难度适中．
设点，，则点，则；
根据，即可求解；
设点，确定直线的表达式为：，令，则，故点，即可求解．
【解答】解：设点，，则点，
则，
故答案为；
见答案；
见答案．
21.【答案】解：一次函数的图象过点，
，
点，
反比例函数的图象经过点，
，
反比例函数的解析式为：；
联立方程组可得：，
解得：或，
点在第三象限，
点．
【解析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求反比例函数的解析式．本题难度适中．
将点坐标代入一次函数解析式可求的值，再将点坐标代入反比例函数解析式，可求解；
联立两解析式，解方程组可求解．
22.【答案】解：把代入得：，
，
反比例函数的解析式为
把代入得，
，
把，代入得：
，
解得，
一次函数的解析式为
如图：
在中，令得，令得，
，，
为直线上的动点，
，，，
，
，
，
解得：或，
当时，，，，
，，
当时，，，，
，，
综上所述，的值为
观察图象可知，点在点上方时，或；
当时，方程为一元一次方程，只有一个实数根；
当时，方程为一元二次方程；，
当，且时，，，
，此时方程有两个不相等的实数根；
当时，，
，此时方程有两个相等的实数根；
当时，，，
，此时方程无实数根；
当时，，，
，此时方程有两个不相等的实数根；
综上所述，当
且或时，方程有两个解；
当或当时，方程有一个解；当时，方程有个解．
【解析】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合，待定系数法求一次函数解析式与反比例函数解析式，根的判别式，分类讨论有关知识
把代入得，知反比例函数的解析式为；把代入得一次函数的解析式为；
求出，，可知，，，，故，解出，的值，可得，，的坐标，从而求出，得到答案；
观察图象可知，点在点上方时，或；当时，方程为一元一次方程，只有一个实数根；当时，方程为一元二次方程；，再分类讨论即可．
23.【答案】解：将代入得：，
，
把代入得：，
反比例函数的表达式为
联立，
解得或．
点的坐标为
过作轴于，过作轴交于，如图：
，
∽，
，
，，
，
，，
由，得直线的解析式为，
在中，令得，令得，
，，
，
平面内存在点，使得∽，理由如下：
如图：
在中，令得：，
解得或，
点在第三象限内的反比例函数图象上，横坐标和纵坐标相等，
，
点关于原点的对称点为点，
，
，，
，，，，
∽，
，即，
，，
设，
解得或
的坐标为或
【解析】本题主要考查的是一次函数的图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，相似三角形的判定和性质，反比例函数的图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式等有关知识．
将代入得：，，把代入得反比例函数的表达式为联立可解得点的坐标为
过作轴于，过作轴交于，由，，，可得，，直线的解析式为，即可得，，故A，从而
由点在第三象限内的反比例函数图象上，横坐标和纵坐标相等，可得，而点关于原点的对称点为点，故D，即可求出，，，，根据∽，知，，，设，可得，解得或，即可得的坐标为
，或
24.【答案】解：函数图象过点，
，
，
又点在上，
，
，
又一次函数的图象交于点和点
则，
解得，
，，
综上可得：，
，
根据图象可知：
当时，，
当时，，
当时，．
【解析】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合，待定系数法求一次函数解析式与反比例函数解析式有关知识
把的坐标代入反比例函数解析式求出值即可，进而求出点坐标，再把、的坐标代入一次函数解析式求出即可；
根据、的坐标结合图象即可得出答案
25.【答案】解：一次函数的图象过点，
，
．
反比例函数的图象过点，
．
当时，，
点的坐标为．
过点作轴于点，过点作轴于点，
点
，，
设直线与轴交于点，
当时，，解得：，
点，
，
，
点的坐标是或
设点的坐标为，点的坐标为
分两种情况考虑：
为边，如图所示．
当四边形为平行四边形时，，
解得：，
点的坐标为；
当四边形为平行四边形时，，
解得：，
点的坐标为；
为对角线，如图所示．
四边形为平行四边形，
，解得：，
点的坐标为．
综上所述：当，，，恰好是一个平行四边形的四个顶点时，点的坐标为，或．
【解析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的性质，解题的关键是：利用一次函数图象上点的坐标特征及反比例函数图象上点的坐标特征，求出，，的值；设直线与轴交于点，先求出的面积，再求点的坐标；分为边及为对角线两种情况，利用平行四边形的性质求出点的坐标．
由点的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征及反比例函数图象上点的坐标特征，可求出，的值，由点的横坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征，可求出值；
过点作轴于点，过点作轴于点，设直线与轴交于点，根据求出面积再由即可求出的长即可。
设点的坐标为，点的坐标为，分为边及为对角线两种情况考虑：为边，利用平行四边形的性质对角线互相平分可得出关于，的方程组，解之即可得出点的坐标；为对角线，利用平行四边形的性质对角线互相平分可得出关于，的方程组，解之即可得出点的坐标．
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