6.3反比例函数的应用 北师大版初中数学九年级上册同步练习（含详细答案解析）

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6.3反比例函数的应用北师大版初中数学九年级上册同步练习
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.菱形的面积为，其对角线分别为、，则与的图象大致为( )
A. B. C. D.
2.农大毕业的小王回乡自主创业，在大棚中栽培新品种的蘑菇，该种蘑菇在的条件下生长速度最快，因此用装有恒温系统的大棚栽培，每天只开启一次．如图是某天恒温系统从开启升温到保持恒温及关闭，大棚内温度随时间时变化的函数图象，其中段是函数图象的一部分．若该蘑菇适宜生长的温度不低于，则这天该种蘑菇适宜生长的时间为( )
A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时
3.呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器，可用于检测驾驶员是否酒后驾车．酒精气体传感器是一种气敏电阻图中的，的阻值随呼气酒精浓度的变化而变化如图，血液酒精浓度与呼气酒精浓度的关系见图下列说法不正确的是( )
A. 呼气酒精浓度越大，的阻值越小 B. 当时，的阻值为
C. 当时，该驾驶员为非酒驾状态 D. 当时，该驾驶员为醉驾状态
4.为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，某工厂自年月开始限产进行治污改造，其月利润万元与月份之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图像的一部分，治污完成后是一次函数图像的一部分，下列选项错误的是( )
A. 月份的利润为万元
B. 治污改造完成后每月利润比前一个月增加万元
C. 治污改造完成前后共有个月的利润低于万元
D. 月份该厂的利润达到万元
5.如图是三个反比例函数，，在轴上方的图象，由此观察得到、、的大小关系为
A. B. C. D.
6.如图所示，小亮设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点左侧固定位置处悬挂重物，右侧用一个弹簧测力计向下拉，改变弹簧测力计与支点的距离，观察弹簧测力计的示数的变化情况．实验数据记录如下表：
下列说法不正确的是( )
A. 弹簧测力计的示数与支点的距离之间关系的图象如图
B. 与的函数关系式为
C. 当弹簧测力计的示数为时，弹簧测力计与点的距离是
D. 随着弹簧测力计与点的距离不断增大，弹簧测力计上的示数不断减小
7.体育课上，甲、乙、丙、丁四位同学进行跑步训练，如图用四个点分别描述四位同学的跑步时间分钟与平均跑步速度米分钟的关系，其中描述甲、丙两位同学的与之间关系的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则在这次训练中跑的路程最多的是( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
8.如图，是反比例函数在第二象限内图象上一点，是反比例函数在第一象限内图象上一点，直线与轴交于点，且，连接，，则的面积是( )
A. B. C. D.
9.某学校要种植一块面积为的长方形草坪，要求两边长均不小于，则草坪的一边长单位：随另一边长单位：的变化而变化的图像可能是 ( )
A. B. C. D.
10.若蓄电池的电压为定值，则电流单位：与电阻，单位：是反比例函数关系，当时，下列结论正确的个数为
蓄电池的电压为伏 电流随电阻的增大而减小
当时， 该函数图象分别位于第一、第三象限
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
11.如图，一个电子体重秤的电路图如图所示，可变电阻可随着人的质量的变化而变化，电源电压恒为伏，定值电阻的阻值为欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为该读数可以换算为人的质量，则关于的函数解析式为
A. B. C. D.
12.某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为的条件下生长最快的新品种蔬菜．上图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度随时间小时变化的函数图像，其中段是双曲线的一部分，则当时，大棚内的温度约为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.如图，直线与轴，轴交于、，点为双曲线上的一点，若为等腰直角三角形，则______．
14.小华设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点左侧固定位置处悬挂重物，在中点右侧用一个弹簧秤向下拉，改变弹簧秤与点的距离，观察弹簧秤的示数的变化情况．实验数据记录如下：
则与之间的函数关系式是________．
15.公元前三世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡．后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即阻力阻力臂动力动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别是和，则动力关于动力臂的函数解析式是________．
16.当温度不变时，某气球内的气压与气体体积成反比例函数关系，其图像如图所示．当气球内的气压大于时，气球会爆炸．为了安全，气球内气体体积应满足__________．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
某小组进行漂洗实验，每次漂洗的衣服量和添加洗衣粉量固定不变实验发现，当每次漂洗用水量升一定时，衣服中残留的洗衣粉量克与漂洗次数次满足为常数，已知当使用升水，漂洗次后，衣服中残留洗衣粉克．
求的值．
如果每次用水升，要求漂洗后残留的洗衣粉量小于克，求至少漂洗多少次
现将升水等分成次漂洗，要使残留的洗衣粉量降到克，求每次漂洗用水多少升
18.本小题分
很多学生由于用眼不科学，导致视力下降，需要佩戴眼镜．研究发现，近视眼镜的度数度与镜片焦距米成反比例，且与的反比例函数图象如图所示．

当近视眼镜的度数是度时，镜片焦距是多少米？
小明原来佩戴度的近视眼镜，经过一段时间的矫正治疗加注意用眼健康，复查验光时，所配镜片焦距调整为米，则小明的眼镜度数下降了多少度？
19.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，已知点，将绕点顺时针旋转得到，点在反比例函数的图象上，连接．
求的值；
作关于直线对称的，点，，的对应点分别为点，，，当反比例函数的图象恰好经过的边的中点时，求的值；
若为平面内一点，为双曲线上一点，是否存在点和点，使得四边形是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
20.本小题分
如图：已知点、是反比例函数上在第二象限内的分支上的两个点，点，且满足，．
求的值和点的坐标；
若点在轴上，是否存在这样的点，使得、、、为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
21.本小题分
为预防传染病，某校定期对教室进行“药熏消毒”已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量与药物在空气中的持续时间成正比例；燃烧后，与成反比例如图所示现测得药物分钟燃完，此时教室内每立方米空气含药量为根据以上信息解答下列问题：
分别求出药物燃烧时及燃烧后关于的函数表达式
当每立方米空气中的含药量低于时，对人体方能无毒害作用，那么从消毒开始，在哪个时段消毒人员不能停留在教室里？
当室内空气中的含药量每立方米不低于的持续时间超过分钟，才能有效杀灭某种传染病毒．试判断此次消毒是否有效，并说明理由．
22.本小题分
校绿色行动小组组织一批人参加植树活动，完成任务的时间是参加植树人数人的反比例函数，且当时，．
求这个反比例函数关系式；
为了能在内完成任务，至少需要多少人参加植树？
这次共计要植树棵，求平均每人每小时植树多少棵．
23.本小题分
为预防“流感病”，对教室进行“薰药消毒”已知药物在燃烧及释放过程中，室内空气中每立方米含药量与燃烧时间之间的关系如图所示即图中线段和双曲线在点及其右侧的部分，根据图象所示信息，解答下列问题：
写出从药物释放开始，与之间的函数关系式及自变量的取值范围；
据测定，当空气中每立方米的含药量低于时，对人体无毒害作用，那么从消毒开始，至少在多长时间内，师生不能进入教室？
24.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，反比例函数为常数，的图象经过正方形的顶点，点的坐标是点在线段上，点在射线上，以，为边的平行四边形的顶点恰好在该反比例函数的图象上．
求的值；
若点的坐标是，求点的坐标；
如图，当点在的延长线上时，连接，若，，求点的坐标．
25.本小题分
如图，四边形、是平行四边形，点，，反比例函数的图象经过点，点是一次函数的图象与该反比例函数图象的一个公共点．
求反比例函数的解析式；
通过计算，说明一次函数的图象一定过点；
对于一次函数，当随的增大而增大时，设点横坐标为，确定点横坐标的取值范围不必写出过程．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查反比例函数的应用现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．
先根据题意确定与之间的函数关系式，再根据、的实际意义确定其图象所在的象限即可．
【解答】
解：菱形的面积为，其对角线分别为、，
，
与之间的函数图象为反比例函数，且根据，实际意义、，其图象在第一象限．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是函数的图象和反比例函数的应用．
观察图象可知：三段函数都有的点，而且段是恒温阶段，，所以先求出和两段的函数表达式，再计算和两段当时对应的值，相减即得结论．
【解答】
解：把代入，得．
反比例函数的表达式为．
设一次函数的表达式为，
把、代入，
得
解得
直线的表达式为．
当时，，解得，
，解得，时，
适宜生长的时间为小时．
故选B．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数图象，解题的关键是读懂题意，能正确识图．观察图可直接判断、，由可算出的值，从而判断，观察图可得时的值，从而算出的值，即可判断．
【解答】
解：由图可知，呼气酒精浓度越大，的阻值越小，故A正确，不符合题意；
由图知，时，的阻值为，故B正确，不符合题意；
由图知，当时，，
当时，该驾驶员为酒驾状态，故C不正确，符合题意；
由图知，当时，，
，
该驾驶员为醉驾状态，故D正确，不符合题意；
故选：．
4.【答案】
【解析】略
5.【答案】
【解析】【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质及反比例图像的应用，反比例函数的图象是双曲线，当时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当时，它的两个分支分别位于第二、四象限，且图象距原点越远，的绝对值越大．
首先根据函数图象所在的象限可判断，，，然后根据图象距原点越远，的绝对值越大判断和的大小，进而得解．
【解答】
解：由题图可知，反比例函数的图象在第二象限，
和的图象在第一象限，且的图象距原点较远，
，
．
故选C．
6.【答案】
【解析】【分析】
此题考查的是反比例函数的应用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．仔细观察表格，在坐标系中分别描出各点，并平滑曲线连接这些点，即可画出函数图象；观察所画图形，回想常见几种函数的图象特征，即可判断出函数类型，利用待定系数法求出函数关系式；把代入上面所得关系式求解，并根据函数的性质判断弹簧秤与点的距离不断增大时的弹簧测力计示数变化情况．
【解答】
解：由图象猜测与之间的函数关系为反比例函数．
所以设，
把，代入求得，
，
将其余各点代入验证均适合，
与的函数关系式为，
把代入，得，
当弹簧测力计的示数为时，弹簧测力计与点的距离是，
随着弹簧测力计与点的距离不断增大，弹簧测力计上的示数不断减小．
故选C．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查的是反比例函数的应用，反比例函数的图象和性质的有关知识，根据反比例函数图象与性质求解即可得到结论．
【解答】
解：描述甲、丙两位同学的与之间关系的点恰好在同一个反比例函数的图象上，设这个反比例函数表达式为，若甲、乙、丙、丁，
过乙点作轴平行线交反比例函数于，过丁点作轴平行线交反比例函数于，如图所示：
、乙、、丁在反比例函数上，
，
由图可知，，
，，
根据题意可知训练中跑的路程，
乙训练中跑的路程甲训练中跑的路程丙训练中跑的路程丁训练中跑的路程，
在这次训练中跑的路程最多的是丁
8.【答案】
【解析】解：分别过、两点作轴，轴，垂足为、，
，
，
设，则，
故．
故选：．
分别过、两点作轴的垂线，构成直角梯形，根据，判断为直角梯形的中位线，得出，根据双曲线解析式确定、两点的坐标及、的长，根据求解．
本题考查了反比例函数的综合运用，关键是作辅助线构造直角梯形，根据，得出为直角梯形的中位线，利用面积的和差关系求解．
9.【答案】
【解析】略
10.【答案】
【解析】【分析】
根据题意，可以求出电流单位：与电阻，单位：是反比例函数解析式，然后根据，即可判断；再根据反比例函数的性质即可判断；将代入求出，即可判断；再根据和反比例函数的性质，即可判断．
本题考查反比例函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出反比例函数解析式，利用反比例函数的性质解答．
【解答】
解：设，
当时，，
，
又，且为定值，
蓄电池的电压为伏，故正确，符合题意；
电流随电阻的增大而减小，故正确，符合题意；
当时，，故正确，符合题意；
由可知，该函数图象分别位于第一象限，故错误，不符合题意；
故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了反比例函数在跨学科中的应用，解题的关键是根据物理知识，找出要求量之间的关系，化简要求的表达式．
通过串联电路中电流处处相等和可以列出等量关系，然后化简为关于的函数解析式即可．
【解答】
解：由题可知可变电阻两端的电压为．
，可变电阻和定值电阻的电流大小相等，
，
，
．
故选：．
12.【答案】
【解析】【分析】利用待定系数法求反比例函数解析式后将代入函数解析式求出的值即可．
【详解】解：点在双曲线上，
，
解得：．
当时，，
所以当时，大棚内的温度约为．
故选：．
此题主要考查了反比例函数的应用，求出反比例函数解析式是解题关键．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了反比例函数的综合题、全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，解题时注意掌握数形结合思想与方程思想的应用，属于中档题．
作轴于点，轴于点，由直线与轴、轴分别相交于、，即可求得、两点坐标；由是以为底的等腰直角三角形，可求得，，，易求得，即可利用判定：≌，可得，，即可得，又由，，即可求得点的坐标，进而求得的值．
【解答】
解：如图，作轴于点，轴于点．
直线与轴，轴分别相交于、，
当时，；当时，，
点坐标为，点坐标为，
是以为底的等腰直角三角形，
，，，
，
，
，
，
轴，轴，
，
在和中，，
≌；
，，
，
四边形是正方形，，
设，则，，
，
，
解得：，
即，
点的坐标为：，
．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解：表格中每一对与的对应值的乘为一个定值，
与之间的函数关系式为反比例函数关系，
设，
把，代入得：
，
将其余各点代入验证均适合，
与的函数关系式为：．
故答案为：．
观察可得：，的乘积为定值，故与之间的函数关系为反比例函数，将数据代入用待定系数法可得反比例函数的关系式；
本题主要考查根据实际问题列反比例函数关系式的知识点，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
15.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了反比例函数的应用，正确运用公式得出函数解析式是解题关键．直接利用阻力阻力臂动力动力臂，进而得出动力单位：关于动力臂单位：的函数解析式．
【解答】
解：由题意可得：，
故F．
故答案为：．
16.【答案】
【解析】解：设球内气体的气压和气体体积的关系式为，
图象过点，
，
，
由已知得图象在第一象限内，
随的增大而减小，
当时，，
，即不小于，
故答案为：．
根据题意可知温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，且过点故；故当，可判断应满足的条件．
本题考查反比例函数的应用，解题的关键是根据图象上的已知点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式．
17.【答案】解：把，，代入得，，
解得．
把代入得，，
反比例函数在的范围内，随的增大而减少，
时，可得，
当时，漂洗的次数，
至少漂洗次，衣服中残留的洗衣粉量小于克．
由得，
，即．
由题意得，即，
．
，
，即，
，舍去，
当时，每次漂洗用水升．
【解析】本题考查的是反比例函数的应用，反比例函数的性质有关知识．
把，，代入可得；
把代入得到，再结合反比例函数的性质解答即可；
由得得出，然后变形为，将，代入得到关于的方程，求出的值即可．
18.【答案】解：根据题意近视眼镜的度数度与镜片焦距米成反比例，设 ，
点在此函数图象上，
，
，
当度时， ，
解得米．
答：当近视眼镜的度数是度时，镜片焦距是米；
当米时， 度．
度
即小明的眼镜度数下降了度．

【解析】本题考查的是反比例函数的应用，正确利用反比例函数的性质是解题的关键．
先根据图像求出反比例函数解析式，再把代入函数解析式即可得到结论；
当时，求得，即可得到结论．
19.【答案】解：过点向轴的垂线，交轴于点，
，
，
将统点顺时针旋转得到，
，，
，
，
在中，，
，
，
点在反比例函数的图像上，
；
将关于直线对称得到，，，，
当反比例函数过边的中点时，
边的中点是，
，
；
存在理由如下：
如图，过点作轴于点，过点作轴于点，
设点的横坐标为，
，，
∽
，
，
，
，
点在上，
，
或
点的坐标为或
【解析】本题考查反比例函数综合、等边三角形的判定与性质、轴对称中的坐标变化、相似三角形的判定与性质、分类讨论，添加辅助线是关键．
过点向轴的垂线，交轴于点，先根据旋转的性质得，，，再解直角三角形求得、得，最后根据点在反比例函数的图像上即可解答；
先根据轴对称中的坐标变化得到，，，再根据反比例函数过边的中点得关于的方程解方程即可解答；
如图，过点作轴于点，过点作轴于点，设点的横坐标为，先证明∽得，根据，得，求得的坐标不，代入得关于的方程，解方程即可解答．
20.【答案】解：点在反比例函数的图象上，
，
，
，
过点作轴于点，过点作轴于点，如图所示．
，
，
又轴，轴，
，，
，．
在和中，
，
≌．
，，
，，
，，
，
点的坐标为；
当时，则，
坐标为或，如图，
当为时，可看成由点向左平移个单位，向下平移个单位得到，
，
当时，可看成由点向右平移个单位，向下平移个单位得到，
，
当时，
，
，，
当时，可看成由点向右平移个单位，向下平移个单位得到，
，
当时，可看成由点向左平移个单位，向下平移个单位得到，
，
当时，设坐标为，
，
解得，
，
可看成由点向左平移个单位，向上平移个单位得到，
，
综上所述：点的坐标为：，，，，．
【解析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征、全等三角形的判定与性质、以及等腰三角形和菱形等知识，分类思想是解决问题的关键．
将在反比例函数的图象上，得，过点作轴于点，过点作轴于点，通过证明≌，可得，，从而得出的坐标；
将问题转化为：在轴上找点，使得为等腰三角形，分三类分别求出的坐标，再根据平移的性质得出相应对应的坐标．
21.【答案】解：在时，设正比例函数解析式为，
把点代入得：，
，
；
当时，函数为反比例函数，设其解析式为，把点代入得，
故，
故函数表达式为：；
故函数表达式为：；
时，，解得：；
时，，解得：；
根据图象，当时，，
即从消毒开始第分钟到第分钟消毒人员不能停留在教室里；
时，，解得：；
时，，解得：；
，
因此本次消毒有效．
【解析】此题是正比例函数和反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
运用待定系数法确定函数关系式即可；
求出含药量低于时，时间的范围，即可求解；
求出当时，两个函数所对应的时间，作差即可进行判断．
22.【答案】解：是的反比例函数，
设，
当时，，
，
反比例函数解析式为：；
当，得，根据反比例函数的性质，随的增大而减小，
至少需要人参加植树；
设平均每人每小时植树棵，则，
．
答：平均每人每小时植树棵．
【解析】待定系数法求出反比例函数解析式即可；
根据反比例函数的性质，随的增大而减小，据此解答即可；
设平均每人每小时植树棵，则，将代入计算即可．
本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数性质是解答本题的关键．
23.【答案】解：设反比例函数解析式为．
把代入得，，
，
反比例函数的解析式为．
将代入得，
，
．
设正比例函数解析式为．
把代入得，，
，
正比例函数的解析式为．
综上所述，从药物释放开始，与之间的函数关系式为．
令，
．
令，
．
．
答：从消毒开始，至少在内，师生不能进入教室．
【解析】时，反比例函数的函数值为观察函数图象，可知点的纵坐标是线段过原点，它的图象是正比例函数图象的一部分；
当函数图象在直线及其上方时，药物对人体有害．
本题考查的是反比例函数与一次函数的综合应用、用待定系数法求反比例函数，掌握待定系数法求函数的解析式是解决此题的关键．
24.【答案】解：四边形是正方形，点的坐标是，
，
即点的坐标是，
代入反比例函数得；
过点作轴于点，
四边形是正方形，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
当时，，解得，
，
，
即点的坐标；
过点作轴于点，
在和中，
，
≌，
同理可得≌，
则，，
设，则，
代入反比例函数得，
解得或舍去，
，
即．
【解析】根据正方形的性质求出即可解答；
过点作轴于点，先证明≌，即可求得的长度，代入反比例函数中即可解答；
过点作轴于点，证明，，三个三角形全等，即可求出点的坐标，代入反比例函数中即可解答．
本题考查了求反比例函数解析式及反比例函数与正方形的综合，解题的关键是熟练掌握反比例函数与正方形在图形上的联系．
25.【答案】解：四边形是平行四边形，
，
，，
轴，，
而点坐标为，
点的坐标为．
反比例函数的函数图象经过点，
，
反比例函数的解析式为；
当时，，
一次函数的图象一定过点；
设点的横坐标为，
则的范围为．
【解析】本题考查了反比例函数综合题：点在函数图象上，则点的横纵坐标满足图象的解析式；利用平行四边形的性质确定点的坐标；掌握一次函数的增减性．
由，得到轴，，根据平行四边形的性质得，而点坐标为，可得到点的坐标为，然后把代入即可得到，从而可确定反比例函数的解析式；
把代入得到，即可说明一次函数的图象一定过点；
设点的横坐标为，由于一次函数过点，并且随的增大而增大时，则点的纵坐标要小于，横坐标要小于，当纵坐标小于时，由得到，于是得到的取值范围．
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