1.1菱形的性质与判定 北师大版初中数学九年级上册同步练习（含详细答案解析）

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1.1菱形的性质与判定 北师大版初中数学九年级上册同步练习
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.一个菱形的周长是，两条对角线长的比是，则这个菱形的面积是( )
A. B. C. D.
2.如图，四边形是菱形，，，于，则等于( )
A. B. C. D.
3.如图，是菱形的对角线的交点，，分别是，的中点，下列结论：
四边形是菱形
是轴对称图形．
其中正确的结论有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
4.如图，在菱形纸片中，，点在边上，将菱形纸片沿折叠，点落在边的垂直平分线上的点处，则的大小为( )
A.
B.
C.
D.
5.如图，菱形的的边长为，，对角线上有两个动点、点在点的左侧，若，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.如图，在菱形中，，的垂直平分线交对角线于点，为垂足，连接，则等于( )
A. B. C. D.
7.如图，在菱形纸片中，，将菱形纸片翻折，使点落在的中点处，折痕为，点，分别在边，上，则的值为( )
A. B. C. D.
8.如图，菱形中，交于，于，连接，若，则( )
A. B. C. D.
9.如下图，菱形中，，，是边上一动点，将沿折叠，得到，则面积的最大值是( )
A. B. C. D.
10.已知在四边形中，对角线与相等，、、、分别是、、、的中点，则四边形是( )
A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形
11.已知四边形，，、是它的两条对角线下列条件中，不能判定四边形是菱形的是( )
A. B. C. D. ．
12.如图，平面直角坐标系中，菱形的顶点，，，将菱形绕点顺时针方向旋转得到菱形，再将菱形绕点顺时针方向旋转得到菱形，依次旋转下去，点的坐标为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.如图，菱形的对角线，相交于点，且，，过点作，垂足为，则点到边的距离______．
14.如图，在菱形中，，取大于的长为半径，分别以点，为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交边于点作图痕迹如图所示，连接，则的度数为 ．
15.如图，在菱形中，，，，两点分别从，两点同时出发，以相同的速度分别向终点，移动，连结，在移动的过程中，的最小值为 ．
16.如图，在菱形中，，将菱形折叠，使点恰好落在对角线上的点处不与、重合，折痕为，若，，则的长为 ．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接．
求证：四边形是菱形；
若，，求的长．
18.本小题分
如图，在中，，平分交于点，过作交于点，交于点，连接．
求证：四边形是菱形；
若，，求的长．
19.本小题分
如图，是菱形的对角线，为边上的点，过点作，交于点，交边于点求证：．
20.本小题分
如图，是矩形的一条对角线作的垂直平分线，分别交，于点，，垂足为点要求用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法，再连接和，请你补图并证明四边形是菱形．
21.本小题分
如图，在中，点是上一点，点是的中点，过点作，交的延长线于点．
求证：；
连接，如果点是的中点，那么当满足______时，四边形是菱形，请说明理由．
22.本小题分
在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点．
求证：四边形是菱形
若，菱形的面积为，直接写出的长．
23.本小题分
如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接．
求证：四边形是菱形；
若，，求的长．
24.本小题分
菱形中，，点在边上，点在边上，．
如图，为的中点，求的度数；
如图，求的度数．
25.本小题分
如图，在菱形中，是对角线上的一个动点，，设，，．
请直接写出与的函数关系式
小明根据学习函数的经验，对线段长度随点的变化而变化的情况进行探究，得到如下几组对应值：
请在图中，画出的图象．
请你通过表格数据和画出的图象猜想值并验证你的猜想．
根据画出的的图象，解决问题：若，则的长约为 结果保留位小数
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查菱形的性质，根据菱形的对角线互相垂直平分，利用勾股定理求解．
【解答】
解：设菱形的对角线长分别为和，
已知菱形的周长为，故菱形的边长为，
根据菱形的性质可知，菱形的对角线互相垂直平分，
即可知，解得，
故菱形的对角线长分别为和，
所以菱形的面积为
故选D．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了菱形的性质，也涉及了勾股定理，要求我们掌握菱形的面积的两种表示方法，及菱形的对角线互相垂直且平分．
根据菱形的性质得出、的长，在中求出，利用菱形面积等于对角线乘积的一半，也等于，即可得出的长度．
【解答】
解：四边形是菱形，，，
，，，
，
，
，
，
．
故选D．
3.【答案】
【解析】略
4.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了翻折变换折叠问题，菱形的性质，等边三角形的性质，以及内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键．
连接，由菱形的性质及，得到三角形为等边三角形，为的中点，利用三线合一得到为角平分线，得到，，，进而求出，由折叠的性质得到，利用三角形的内角和定理即可求出所求角的度数．
【解答】解：连接，如图所示：
四边形为菱形，
，
，
为等边三角形，，，
为的中点，
为的平分线，即，
，
由折叠的性质得到，
在中，．
故选：．
5.【答案】
【解析】解：如图，作，使得，连接交于，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
根据两点之间线段最短可知，此时最短，
四边形是菱形，，
，
是等边三角形，
，
在中，，
的最小值为．
故选：．
作，连接交于，根据菱形的性质和等边三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可．
本题考查菱形的性质、平行四边形的判定和性质、两点之间线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，把问题转化为两点之间线段最短解决，属于中考填空题中的压轴题．
6.【答案】
【解析】【分析】本题考查了三角形外角的性质，全等三角形性质和判定，线段垂直平分线性质，菱形的性质的应用，注意：菱形的四条边相等，菱形的对角线互相平分、垂直，且每一条对角线平分一组对角．连接，根据菱形性质得出，，，，根据线段垂直平分线得出，求出，求出，证≌，求出，根据三角形外角性质求出即可．
【解答】
解：如图，连接．
在菱形中，，
，．
是线段的垂直平分线，
．
．
在与中，
，
，
．
7.【答案】
【解析】解：如图，连接，，
设，
四边形是菱形，，
，，
是等边三角形，是等边三角形，
点在的中点，
，，，
，由勾股定理可得，，
将菱形纸片翻折，
，
，
，
，
，
：，
故选B．
由菱形的性质和等边三角形的性质，可得，，，由勾股定理可得，再根据翻折的性质和，可求解．
本题考查了翻折变换，等边三角形的判定与性质，菱形的性质，勾股定理的有关知识点，
8.【答案】
【解析】解：四边形是菱形，交于，，
点为的中点，，
，
，
，
，
故选：．
根据菱形的性质得到点为的中点，，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，再由三角形内角和定理得到，则．
本题主要考查了菱形的性质，三角形内角和定理，等边对等角，直角三角形斜边上的中线的性质，熟知菱形的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查菱形的性质和折叠的性质，掌握三角形面积的计算方法和菱形的性质正确推理计算是解题关键．
由三角形底边是定长，所以当的高最大时，的面积最大，即当时，三角形有最大面积．
【解答】
解：在菱形中，
又将沿折叠，得到，
由此，的底边是定长，所以当的高最大时，的面积最大，即当时，三角形有最大面积
面积的最大值是
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、菱形的判定定理是解题的关键．
根据三角形中位线定理得到，，，，进而证明，根据菱形的判定定理得出结论．
【解答】
解：点、、、分别是、、、的中点，
，，，，
，
，
四边形为菱形，
故选：．
11.【答案】
【解析】解：，、是它的两条对角线，
添加，
四边形是菱形，故B正确；
添加，
不能得出四边形是菱形，故A错误；
添加，
四边形是菱形，故C正确；
添加，
四边形是菱形，故D正确；
故选：．
根据菱形的判定方法判断即可．
此题考查菱形的判定，关键是根据对角线垂直的平行四边形是菱形以及邻边相等的平行四边形是菱形解答．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了菱形的性质、坐标规律型、等腰直角三角形的判定与性质、坐标与图形性质、勾股定理、旋转的性质等知识；熟练掌握菱形的性质和旋转的性质是解题的关键．
以为圆心，为半径作，过作，求出的坐标，将菱形绕点顺时针旋转，每次旋转，，点的坐标每个为一组依次循环着，得出点和点重合，得出的坐标为，即可．
【解答】
解：如图所示：以为圆心，为半径作，过作，
，
，
四边形是菱形，
，
，
将菱形绕点顺时针旋转，每次旋转，
点的坐标每个为一组依次循环着，
，
点和点重合
点是点关于轴对称，
点的坐标为
点的坐标为
13.【答案】
【解析】解：四边形是菱形，，，
，，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
由菱形的性质得，，，再由勾股定理得，然后由三角形面积求解即可．
本题考查了菱形的性质、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握菱形的性质，由勾股定理求出的长是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：四边形是菱形，
，
，
由作图可知，，
，
，
故答案为．
根据，求出，即可解决问题．
本题考查作图基本作图，菱形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
15.【答案】
【解析】解：连接，作于，如图，
四边形为菱形，
，
而，
和都是等边三角形，
，，
在中，，，
，
在和中
，
≌，
，
，
为等边三角形，
，
而当点运动到点时，的值最小，其最小值为，
的最小值为，
故答案为：．
连接，作于，如图，利用菱形的性质得，则可判断和都是等边三角形，再证明≌得到，，接着判定为等边三角形，所以，然后根据垂线段最短判断的最小值即可．
本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是翻转变换的性质、菱形的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质、解直角三角形，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．
作于，根据折叠的性质得到，根据菱形的性质、等边三角形的判定定理得到为等边三角形，得到，根据勾股定理列出方程，解方程即可．
【解答】
解：作于，
由折叠的性质可知，，
由题意得，，
四边形是菱形，
，，
为等边三角形，
，
设，则，
在中，，，
在中，，即，
解得，，即，
故答案为．
17.【答案】解：证明：，
，
为的平分线，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
是菱形；
四边形是菱形，
，，
，
，
，
，
在中，，，
，
．
【解析】先判断出，进而判断出，得出，即可得出结论；
先判断出，再求出，利用勾股定理求出，即可得出结论．
此题主要考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，勾股定理，判断出是解本题的关键．
18.【答案】解：证明：，，
四边形是平行四边形．
平分，
．
，
，
，
，
四边形是菱形；
解：，，

设，则．
，
在中，，
，
解得，，
．
【解析】此题主要考查菱形的判定及勾股定理
先判断四边形为平行四边，然后再证明可得结论．
由可得四边形为菱形，可得，设，然后再中利用勾股定理求解即可．
19.【答案】证明：四边形是菱形，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
．
【解析】首先判定四边形是平行四边形，得到，然后利用等角对等边得到，从而证得结论．
本题考查了菱形的性质，解题的关键是了解菱形的对角线平分一组对角，难度不大．
20.【答案】证明：作图如下：
由已知条件可知四边形为矩形，
，
，．
直线是的垂直平分线，
，
≌，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形．
【解析】作线段的垂直平分线，连接，即可．利用垂直平分线的性质和菱形的判定判断即可．
本题考查作图，菱形的判定，正确记忆修改知识点是解题关键．
21.【答案】证明：，
，，
点是的中点，
，
≌，
；
当时，四边形是菱形，理由如下：
由知，，
，
四边形是平行四边形，
，
是直角三角形，
点是的中点，
，
四边形是菱形．
【解析】本题考查全等三角形的判定与性质及菱形的判定，解题的关键是掌握全等三角形判定定理及菱形的判定定理．
由，得，，又，可证≌，即得；
由，，知四边形是平行四边形，若，点是的中点，可得，即得四边形是菱形．
22.【答案】证明：，
，，
点是的中点，
，
，
，
点是的中点，
，
，
四边形是平行四边形，
，是的中点，
，
四边形是菱形；
解：四边形是菱形，
菱形的面积的面积，
点是的中点，
的面积的面积，
菱形的面积的面积，
，
，
，
的长为．

【解析】本题考查了菱形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及菱形的判定与性质是解题的关键．
利用平行线的性质可得，，利用中点的定义可得，从而证明，然后利用全等三角形的性质可得，再根据是的中点，可得，从而可证四边形是平行四边形，最后利用直角三角形斜边上的中线可得，从而利用菱形的判定定理即可解答；
利用的结论可得菱形的面积的面积，再根据点是的中点，可得的面积的面积，进而可得菱形的面积的面积，然后利用三角形的面积进行计算即可解答．
23.【答案】证明： ，
，
为的平分线，
，
，
，
又，
，
，
四边形是平行四边形，
，
是菱形；
解：四边形是菱形，
，，，
，
，
，
，
在中，，，
，
．

【解析】本题考查了菱形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义，勾股定理．
根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，进而得到，根据，即可证得四边形是平行四边形，根据，即可得证；
根据菱形的性质得到，，，利用勾股定理求得的值，进而得到的值．
24.【答案】解：如图示，连接，
四边形是菱形，
，，，
为的中点，
，
，
，
，
在与中，
≌，
，，
连接，
，，
为等边三角形，
又为的中点，
平分，
，
，
是等边三角形，
；
如图示，在上截取，
又，
是等边三角形，
，，
，
，
，
四边形是菱形，，
，，
，
在与中，
≌，
，
，
．
【解析】本题主要考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，掌握菱形的性质是解题的关键．
连接，根据“”判定≌，再根据等边三角形的判定与性质可得结果；
在上截取，可得是等边三角形，再根据等边三角形的性质与菱形的性质可得≌，由全等三角形的性质，得，再根据三角形的外角性质可得结果．
25.【答案】解：；
的值为，理由如下：
如图，在上截取，则，
，
四边形是菱形，
，
，
≌，
，
；
．
【解析】【分析】
本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，勾股定理，一次函数的性质，全等三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
由，可求解析式；
根据题意画出图象即可；
根据表格数据和图形猜想的值，再有全等三角形的性质可求的值进行验证即可；
由菱形的性质可求的长，由勾股定理可求的长，由勾股定理可求的长．
【解答】
解：，
．
故答案为：；
见答案；
见答案；
如图，连接，交于点，
四边形是菱形，
，，
，
，，
，
，
，
故答案为：．
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