1.2矩形的性质与判定 北师大版初中数学九年级上册同步练习（含详细答案解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
1.2矩形的性质与判定北师大版初中数学九年级上册同步练习
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，在中，点，分别是边，的中点，点是线段上的一点．连接，，，且，，则的长是( )
A. B. C. D.
2.如图，在中，，，，为边上的一个动点，连接，为上的一个动点，连接，，当时，线段的最小值是( )
A.
B.
C.
D.
3.已知四边形的对角线相交于点，则下列条件中不能判定它是矩形的是( )
A. ，，
B. ，，
C. ，
D. ，
4.如图，在中，，，，为上的一动点，于，于，为的中点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
5.如图，四边形是矩形，，，点在第二象限，则点的坐标是( )
A. B. C. D.
6.如图，矩形中，，，点、分别在、上，则的最小值是( )
A.
B.
C.
D.
7.如图，在四边形中，，，，，点为上异于、的一定点，点为上的一动点，、分别为、的中点，当从到的运动过程中，线段扫过图形的面积为( )
A. B. C. D.
8.如图所示，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于点，，连接，若，，则阴影部分的面积为 ．
A. B. C. D.
9.如图，在矩形中，，点，，，分别是边，，，的中点，连接，，则图中的矩形共有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
10.已知矩形的边长，对角线，交于点且，则的长为( )
A. B. C. D.
11.如图，矩形中，连接，延长至点，使，连接若，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
12.三角形中，，，，分别是边，上的动点，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.如图，在中，，，，是上一点，于点，于点，连接，则的最小值为________．
14.如图是一张矩形纸片，点是对角线的中点，点在边上，把沿直线折叠，使点落在对角线上的点处，连接，若，则 ______度
15.如图，矩形中，，，是上一点，且，是上一动点，若将沿对折后，点落在点处，则点到点的最短距离为______．
16.已知四边形，其中，，将沿折叠，落于，交于，且为长方形如图；再将纸片展开，将沿折叠，使点落在延长线上一点如图，在两次折叠过程中，两条折痕、所成的角为______度．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，在中，，，垂足为，是外角的平分线，，垂足为求证：四边形是矩形．
18.本小题分
如图，在四边形中，，，，，，动点从开始沿边向以的速度运动；从点开始沿边向以的速度运动．、分别从点、同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动．
当运动时间为秒时，用含的代数式表示以下线段的长：____，____；
当运动时间为多少秒时，四边形为平行四边形？
当运动时间为多少秒时，四边形为矩形？
19.本小题分
四边形中，，点在边上，点在的延长线上，且点与点关于直线对称，过点作交于点，连接，．
求证：四边形是菱形；
若，，求四边形的面积．
20.本小题分
如图，在矩形中，，，点是上一个动点，把沿向矩形内部折叠，点的对应点恰好落在的平分线上．
请利用没有刻度的直尺和圆规在图中作出点；注：不写作法，保留作图痕迹
在图中求线段的长．
21.本小题分
如图，四边形是平行四边形，为上一点．
如图，只用无刻度直尺在上作出点，使得四边形为平行四边形；
如图，用直尺和圆规作出矩形，使得点、、分别在、、上．保留作图痕迹
22.本小题分
在中，、、、分别是、、、的中点，连接、、、，、相交于点，、相交于点．
求证：四边形是平行四边形；
若四边形是矩形，连接、，则、满足的数量关系是___________．
23.本小题分
如图，在矩形中，，，为的中点，连接，过点作的垂线交于点，交的延长线于点，连接．

求证：；
求的长．
24.本小题分
下面是证明直角三角形的一个性质的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 已知：如图，在中，， 是斜边 的中线． 求证：．
方法一 证明：如图，延长 至点，使得，连接． 方法二 证明：如图，取 的中点，连接 ．
25.本小题分
点为矩形的中心．
命题：如图，过点的直线，分别交，于点，，则四边形是菱形．
命题：如图，，两点在，上，且线段过点，过点的直线，分别交，于点，，则四边形是菱形．
请先判断两个命题的真假，并选择一个真命题进行证明．
若把图的四边形的面积记为，图的四边形的面积记为，则_________填“”或“”或“”
答案和解析
1.【答案】
【解析】本题考查了三角形的中位线定理，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
根据三角形中位线定理求得长度，再利用直角三角形斜边上的中线求得长度，即可得到结论．
解：点，分别是边，的中点，
是的中位线，
，
，
，，
，
，
故选：．
2.【答案】
【解析】解：如图，取的中点，连接，．
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
的最小值为，
故选：．
如图，取的中点，连接，首先证明，求出，，根据，可得结论．
本题考查直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是求出，的长，属于中考常考题型．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是矩形的判定定理，但考生应注意的是由矩形的判定引申出来的各图形的判定．难度一般．矩形的判定定理有：有一个角是直角的平行四边形是矩形．有三个角是直角的四边形是矩形．对角线互相平分且相等的四边形是矩形．据此判断．
【解答】
解：一个角为直角的平行四边形为矩形，故A正确；B.，，则四边形是平行四边形，又，则四边形是矩形，故B正确；
C.，但不一定与相等，根据矩形的判定定理，故C不正确；
D.因为四边形内角和为，且，，故可得到四个内角都是，根据矩形的判定有三个角是直角的四边形是矩形，故D正确．
故选C．
4.【答案】
【解析】解：过点作于点，
在中，，，，
，
．
于，于，
四边形是矩形，
，，
当最小时，最短，此时点与重合，
．
故选：．
过点作于点，根据勾股定理求出的长，再由三角形的面积公式求出的长．根据题意得出四边形是矩形，故可得出，，当最小时，最短，此时与重合，据此可得出结论．
本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，垂线段最短的性质的运用，解答时求出的最小值是关键．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
过作轴于，过作轴于，得到，根据矩形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，，于是得到结论．
【解答】
解：过作轴于，过作轴于，
，
四边形是矩形，
，，
，
≌，
同理≌，
，，，
，，
，，，
，
点的坐标是，
故选：．
6.【答案】
【解析】解：如图，将线段沿翻折得到线段，过点作于，连接．
，，
由翻折可知，，，，
，
又，
的最小值就是线段的长，
在中，，，，
，，
的最小值为，
故选：．
如图，将线段沿翻折得到线段，过点作于，连接证明，推出，求出即可解决问题．
本题考查轴对称最短问题，垂线段最短，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最值问题，属于中考常考题型．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理的应用，根据中位线定理得到点的运动轨迹是解题关键首先作出辅助线，得到点的运动轨迹是的中位线，从而得到线段扫过图形即为，由中位线定理求得长，再结合勾股定理中位线定理求得边上的高即可．
【解答】
解：如图，连接，取，中点，，连接，，过作于，过作于，作于，作于．
为中点，为中点，且在，之间运动，则的运动轨迹是线段，即线段扫过图形为，
是的中位线，
，
，，
，
四边形为矩形，
，，
，
由勾股定理，
分别为，中点，
，分别为，的中位线，
，，
，
，
的面积为．
故选A．
8.【答案】
【解析】解：如图所示，作于点，并延长，交于点，则四边形、四边形、四边形、四边形都是矩形，
，，，，，
，
．
，，
．
．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查矩形的判定，难度一般矩形是指有一个内角是直角的平行四边形．
设和相交于，找出图中四边形、、、、、、、、为矩形．
【解答】
解：设与相交于点，
矩形中，点，，，分别是边，，，的中点，
，，
四边形，，，，，，，，为矩形；
则图中矩形有矩形，，，，，，，，，共个．
故选C．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，掌握矩形的性质是解题的关键．
由矩形的性质可得，，可证是等边三角形，可得，即可求解．
【解答】
解：四边形是矩形，
，，
，
是等边三角形，
，
，
故选：．
11.【答案】
【解析】解：连接，交于，
矩形，
，，
，
，
，
，
，
．
故选：．
连接，交于，由矩形的性质得，，从而得出，利用等边对等角求得，从而由三角形内角和定理求得，即可由等边对等角求解．
本题考查矩形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．正确作出辅助线，构造等腰三角形是解题的关键．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查的是平行线的性质，全等三角形的判定与性质，两点之间线段最短，矩形的判定和性质等有关知识．
作，截取，连接，，作，，证明≌，推出，可得当，，在同一直线上时，，此时值最小，即的值最小，求出的长，可得结论．
【解答】
解：作，截取，连接，，作交延长线于，与，
，，
≌
当，，在同一直线上时，，此时值最小，即的值最小
，，
四边形是矩形
，
，，
，
的最小值为
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出时，线段的值最小是解题的关键．连接，根据勾股定理求出的长，然后证明四边形是矩形，得到，得到当时，线段的值最小，然后利用面积法求出的长即可．
【解答】
解：如图，连接．
，，，
，
，，，
四边形是矩形，
．
由垂线段最短可得，当时，线段的值最小，即线段的值最小，
此时，，
即，
解得，
．
14.【答案】
【解析】解：连接，如图：
四边形是矩形，
．
是的中点，
，
，．
，关于对称，
，
．
，，，
．
．
，
．
，
．
设，则，
．
，
．
．
故答案为：．
连接，利用斜边上的中线等于斜边的一半可得和为等腰三角形，，；由折叠可知，可得；由，，，可得，进而得到；利用三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和，可得；最后在中，利用三角形的内角和定理列出方程，结论可得．
本题主要考查了矩形的性质，折叠问题，三角形的内角和定理及其推论，利用三角形内角和定理列出方程是解题的关键．
15.【答案】
【解析】【分析】
先根据勾股定理计算的长，当、、共线时，最小，即最短距离是此时的长．
本题考查了矩形的性质，勾股定理，翻折变换的性质，利用数形结合的思想，根据图形确定点到点的最短距离解决问题．
【解答】
解：如图，连接，，
四边形是矩形，
，
，，
，
，
，
由折叠得：，
，
当、、共线时，最小，
；
故答案为：．
16.【答案】
【解析】解：设，，
由折叠性质可知，，，
由，得，
，
故，
故答案为：．
设，，根据折叠性质可知，，，然后利用列出求得的值即可求得答案．
本题考查了长方形的性质及折叠的性质，解题的关键是了解折叠不变量，并根据题意得到，难度中等．
17.【答案】证明：在中，，是边的中线，
，，
，
为的外角的平分线，
，
，
，
，
四边形为矩形．
【解析】本题是以开放型试题，主要考查了对矩形的判定，等腰三角形的性质，及角平分线的定义等知识点的综合运用．
根据等腰三角形的性质可得，，又由角平分线的定义结合平角定义可得，利用已知条件和矩形判定的条件即可求证．
18.【答案】解：；；
由题意可得：，，
，
，
设当运动时间为秒时，此时四边形为平行四边形．
由得，，
解得，
当运动时间为秒时，四边形为平行四边形．
，
，
设当运动时间为秒时，四边形为平行四边形．
由得：，
解得：，
又
平行四边形为矩形．
当运动时间为秒时，四边形为矩形．
【解析】【分析】
此题考查了平行四边形的判定与性质以及矩形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
根据题意可直接得出；
由在四边形中，，可得当时，四边形是平行四边形，即可得方程：，解此方程即可求得答案；
由在四边形中，，，可得当时，四边形是矩形，即可得方程：，解此方程即可求得答案．
【解答】
解：由题意知，，
故答案为；；
见答案；
见答案．
19.【答案】证明：点与点关于直线 对称，
，，且，
≌，
，
，
，
，
，
，
四边形是菱形；
连接，，
，
，且，
四边形是平行四边形，且，
四边形是矩形，
，
，
，
设，则，
在中，，
．
．
【解析】由折叠的性质可得，，可证≌，可得，由平行线的性质可得，可得，可得结论；
先证四边形是矩形，可得，由折叠的性质可得，由勾股定理可求，，的长，即可求解．
本题考查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质等知识，灵活运用这些性质解决是本题的关键．
20.【答案】解：如图所示，点 即为所求；
如图所示，过点 作 于点 ，
点 的对应点 恰落在 的平分线上，
设 ，则 ，
又由折叠的性质知 ，
在直角 中，由勾股定理得到： ，
，
或 ，
在等腰 中， ，
或 ．

【解析】本题考查了矩形的性质，翻折变换折叠问题解题的关键是作出辅助线，构建直角 和等腰直角 ，利用勾股定理将所求的线段与已知线段的数量关系联系起来．
先作 的角平分线，再以点 为圆心，以 为半径画弧，以 为圆心，以 为半径画弧与前弧交于点 ，此时点 在 的平分线上；
过点 作 于点 设 ，则 在直角 中，由勾股定理得到： 由此求得 的值，然后在等腰 中由 求解即可．
21.【答案】解：如图，点，四边形即为所求作．

如图，四边形即为所求作．

【解析】连接，交于点，连接，延长交于点，点即为所求作．
连接，交于点，连接，延长交于点，以为圆心为半径作弧交于点，延长交于点，连接，，，，四边形即为所求．
本题考查作图复杂作图，平行四边形的性质，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22.【答案】解：四边形为平行四边形，
，，
是的中点，
，
同理，
，
，，
四边形为平行四边形，
．
同理．
，，
四边形为平行四边形．
．
【解析】【分析】
本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的性质，三角形重心性质的运用，解题的关键是掌握平行四边形的判定方法以及三角形重心性质．
证明四边形是平行四边形，可得，证明四边形是平行四边形，可得．，进而得出四边形是平行四边形；
连接，，根据三角形重心的知识即可解答．
【解答】
解：见答案
连接，，
在中，，互相平分，则为，的中点
，分别是，的重心
，，，在同一直线上，且，
四边形是矩形
23.【答案】解：证明：根据题意，在矩形中，则
，，，
为的中点，
，
，
≌，
，；
，
；
四边形是矩形，
，，
，
设，
由得：≌，
，
，，
在中：，
，
解得：，
，
在中：．

【解析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解得关键是熟练根据所学的知识，正确得到
由题意，先证明≌，则，，利用等腰三角形的性质，求出；
设，可得，，，由可求，再由即可求解．
24.【答案】证明：方法一：点 是 边的中点，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，
．
方法二： 是斜边 的中线，
点是 的中点，
的中点，
是的中位线，
，
，
垂直平分线 ，
，
，
．

【解析】【分析】
本题主要考查了矩形的性质与判定，三角形中位线的性质，线段垂直平分线的性质与判定等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
方法一：先证明四边形是平行四边形，进而证明四边形是矩形，则由矩形的性质可得．
方法二：证明 是的中位线，得到，则 垂直平分 ，由线段垂直平分线的性质可得．
25.【答案】两个命题均为真命题．命题证明如下：
证明：点为矩形的中心，
点是的中点．
，
是的垂直平分线．
，，．
四边形是矩形，
．
．
在和中，
．
．
．
四边形为菱形．
命题证明：如图，连接，则经过点，
四边形是矩形
又
同命题，可证明，得
又
四边形为菱形．
如图，，由图知，，
，，，
，

【解析】【分析】命题证明：由点为矩形的中心，可证是的垂直平分线，于是，，，进一步证，得，于是四边形为菱形．命题证明：连接，则经过点，，四边形是矩形，可得，求证，得，同命题，可证明，得，得证四边形为菱形．
如图，，由图知，，，所以，得，由菱形面积公式，得．
本题考查中矩形的性质、垂直平分线的性质，菱形的判定，菱形的面积计算，全等三角形判定和性质，添加辅助线，构造全等三角形求证线段及角相等是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)