1.3正方形的性质与判定 北师大版初中数学九年级上册同步练习（含详细答案解析）

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1.3正方形的性质与判定北师大版初中数学九年级上册同步练习
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，在正方形中，，点，分别在边，上，若将四边形沿折叠，点恰好落在边上，则的长度为( )
A.
B.
C.
D.
2.如图，正方形的边长为，是的中点，，与交于点，则的长为( )
A. B. C. D.
3.如图，正方形和正方形的边长都是，正方形绕点旋转时，两个正方形重叠部分的面积是( )
A. B. C. D. 不能确定
4.如图，在边长为的正方形中，点、分别是边、上的动点，且，连接、，则的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
5.如图，正方形的边长为，以正方形边长为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为( )
A.
B.
C.
D.
6.如图，四边形是正方形，延长至点，使，连接交于点，则的度数是( )
A. B. C. D.
7.如图，在矩形中，，以为边向内作正方形，连接交于点，连接若，则的面积是( )
A. B. C. D.
8.如图，正方形、正方形、正方形、、正方形的顶点、、、、和、、、、、分别在一次函数的图象和轴上，若正比例函数则过点，则系数的值是．
A. B. C. D.
9.如图，在正方形中，为对角线上与，不重合的一个动点，过点作与点，于点，连接，，若，则( )
A.
B.
C.
D.
10.已知：如图，在正方形外取一点，连接、、过点作的垂线交于点若，下列结论：
≌；点到直线的距离为；；；．
其中正确结论的序号是( )
A. B. C. D.
11.如图，正方形中，，点在边上，且将沿对折至，延长交边于点，连结、≌；；；；这些结论中正确结论的个数是( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
12.如图，已知正方形的边长为，点是对角线上一点，于点，于点，连接，给出下列结论：且；；一定是等腰三角形；四边形的周长为；的最小值为；其中结论正确的是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.如图，正方形纸片的边长为，是边上一点，连接、折叠该纸片，使点落在上的点，并使折痕经过点，得到折痕，点在上，若，则的长为______．
14.如图，在平面直角坐标系中，点，分别在轴、轴上，四边形是边长为的正方形，点为的中点，点为上的一个动点，连接，，当点满足的值最小时，直线的解析式为______．
15.如图，在正方形中，，将沿翻折，使点对应点刚好落在对角线上，将沿翻折，使点对应点刚好落在对角线上，求______．
16.如图，在正方形中，，与交于点，是的中点，点在边上，且为对角线上一点，则的最大值为______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，正方形的边交轴正半轴于点，顶点、分别在第一、四象限，已知，，求点的坐标．
18.本小题分
问题背景：如图，是正方形的边上的一点，过点作交的延长线于求证：；
尝试探究：如图，在的条件下，连接、交于，请探究、与之间的数量关系，并证明你的结论．
拓展应用：如图，在的条件下，和交于点，连接并延长交于点，已知，，直接写出的长________．
19.本小题分
如图，在正方形中，点、分别为边、上两点，，过点作，且点为边延长线上一点．
≌吗？说明理由．
猜想线段、、之间的数量关系并说明理由．
20.本小题分
如图，四边形、均为正方形，
如图，连接、，试判断和的数量关系和位置关系并证明；
将正方形绕点顺时针旋转角，如图，连接、相交于点，连接，当角发生变化时，的度数是否发生变化？若不变化，求出的度数；若发生变化，请说明理由．
在的条件下，过点作交的延长线于点，请直接写出线段与的数量关系：_________________．
21.本小题分
如图，正方形中，为边上一点，为延长线上一点，且连接、求证：．
22.本小题分
如图，正方形的边长为，连接对角线，点为边上一点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点的对应点恰好落在边上，过作于点．
求证：；
求的长度．
23.本小题分
问题背景：如图，已知四边形是正方形，点是射线上一点，连接，在右侧以为边作正方形，连接，探究，，之间的数量关系．
问题发现：如图，当点在线段上时，，，之间的数量关系是____________；
问题探究：如图，当点在的延长线上时，中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论，再给予证明；
问题拓展：如图，当点在的延长线上时，设与交于点，若，，求的长．
24.本小题分
在正方形中，，点是对角线上一点，点在直线上，点在直线上，且．
如图，当点与点重合时，且此时点在的延长线上，则线段和线段的数量关是______；
如图，当点在边上时，中的结论是否依然成立，请说明理由；
如图，当点与对角线，的交点重合时，且此时点在边上，若，连接，，交于点，求此时的长．
25.本小题分
我们定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做“神奇四边形”．
在我们学过的下列四边形平行四边形矩形菱形正方形中，是“神奇四边形”的是________填序号；
如图，在正方形中，为上一点，连接，过点作于点，交于点，连、．
判定四边形是否为“神奇四边形”________填“是”或“否”；
如图，点、、、分别是、、、的中点．证明四边形是“神奇四边形”；
如图，点、分别在正方形的边、上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点，过点作于点，若，正方形的边长为，求线段的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了正方形的性质，折叠的性质，含角的直角三角形的性质等知识点，能综合性运用性质进行推理是解此题的关键．
由正方形的性质和平行线的性质得出，，由折叠的性质得出，，从而得出，得出，设，得出，，从而得出，解方程求出，即可得出答案．
【解答】
解：四边形是正方形，
，，
，
将四边形沿折叠，点恰好落在边上，
，，
，
，
，
设，则，，
，
解得，
．
故选D．
2.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键．由正方形的性质得出，，由是的中点，得出，由勾股定理得出，证明≌，即可得出答案．
【解答】
解：如图：
四边形是正方形，
，，
，
，是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
≌，
；
故选A．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质和判定等知识，能推出四边形的面积等于三角形的面积是解此题的关键．
根据正方形的性质得出，，，推出，证出≌．
【解答】
解：
四边形和四边形都是正方形，
，，，
．
在与中，
，
≌，
，
．
故选：．
4.【答案】
【解析】解：连接，如图，
四边形是正方形，
，．
又，
≌．
．
所以最小值等于最小值．
作点关于的对称点点，如图，
连接，则、、三点共线，
连接，与的交点即为所求的点．
根据对称性可知，
所以．
在中，，
最小值为．
故选：．
连接，利用≌转化线段得到，则通过作点关于对称点，连接交于点，利用勾股定理求出长即可．
本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、轴对称最短距离问题，一般求两条线段最短距离问题，都转化为一条线段．
5.【答案】
【解析】解：
图中阴影部分的面积，
故选：．
根据图形得出阴影部分的面积等于正方形的面积减去一个圆的面积的差的倍，再求出答案即可．
本题考查了正方形的性质和扇形面积的计算，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键．
6.【答案】
【解析】【分析】
根据正方形的性质就有，根据就可以求出．
本题考查了正方形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，三角形的外角与内角的关系的运用及三角形内角和定理的运用．
【解答】解：四边形是正方形，
．
，
．
，
．
故选D．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查矩形和正方形的性质，过点作交于点，交于点，连接，利用矩形和正方形的性质得出即可解答．
【解答】
解：如图，过点作交于点，交于点，连接，
四边形是矩形，四边形是正方形，，
四边形、四边形、四边形、四边形都是矩形，
，，，
，
，即，
，
，
，
，
，
故选B．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题为一次函数图象上点的规律探究题，解答时按形成各点的形成顺序依次求出，从而找出规律．根据正方形的性质和一次函数图象上点的坐标特征求得点的坐标，代入函数解析求得的值
【解答】解：当时，，则，
，则，，
把代入知，，则，则此时，即，
同理，，即，
，即，
，即，
，即，
把代入，
得．
故选：．
9.【答案】
【解析】解：如图所示，延长交于点，
四边形是正方形，是对角线，
，，
，，
四边形是矩形，
，，
，，
，
四边形是正方形，是对角线，
，
，
，是等腰直角三角形，
，
，
四边形是正方形，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
．
故选：．
延长交于点，首先证明出四边形是矩形，得到，，然后证明出，是等腰直角三角形，得到，然后证明出≌，得到，然后利用角度的等量代换求解即可．
此题考查了正方形的性质和判定，矩形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，解题的关键是正确作出辅助线，证明出≌．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题利用了全等三角形的判定和性质、正方形的性质、正方形和三角形的面积公式、勾股定理等知识．
利用同角的余角相等，易得，再结合已知条件利用可证两三角形全等；利用中的全等，可得，结合三角形的外角的性质，易得，即可证；过作，交的延长线于，利用中的，利用勾股定理可求，结合是等腰直角三角形，可证是等腰直角三角形，再利用勾股定理可求、；在中，利用勾股定理可求，即是正方形的面积；连接，求出的面积，然后减去的面积即可．
【解答】
解：，，
，
又，，
≌故正确；
≌，
，
又，，
，
故正确；
过作，交的延长线于，
，，
，
又中，，
，
又，
故不正确；
如图，连接，在中，
，
，
又，
，
≌，
，
故不正确．
，，
在中，，
故正确；
故选D．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了正方形性质，折叠性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，平行线的判定等知识点的运用，依据翻折的性质找出其中对应相等的线段和对应相等的角是解题的关键．由正方形和折叠的性质得出，，由即可证明≌，得出正确，先证明，，则，故此可对做出判断；设，则，，由勾股定理求出，得出正确；由等腰三角形的性质和外角关系得出，证出平行线，得出正确；由可求出的面积，故此可对做出判断．
【解答】
解：四边形是正方形，
，，
，
，
沿折叠得到，
，，，
，
在和中，，，
≌，
正确；
沿折叠得到，
≌．
．
≌，
．
，
．
正确．
≌，
，，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
，，
解得：，
，
正确；
，
，
，
又，
，
，，
，
，
正确；
和中，分别把和看作底边，
则这两个三角形的高相同．
，
，
，
正确；
正确的结论有个，
故选：．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、平行线的性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质和等腰直角三角形的判定与性质是解题的关键．连接，交于，延长交于点，证≌，再判定四边形是矩形，根据矩形的性质可以判断选项；根据全等三角形的性质和矩形的性质可判断选项；根据的任意性可以判断不一定是等腰三角形可判断选项；根据等腰直角三角形和矩形的性质可得其周长为可判断选项；根据垂线段最短可判断选项；由等腰直角三角形的性质与矩形的性质可判断选项．
【解答】
解：连接，交于，延长交于点，如图所示：
四边形是正方形，
，，，
又，
≌，
，，
，，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
故正确；
四边形是矩形，
，，
，，
，
≌，
，
，
，
故正确；
点是正方形的对角线上任意一点，，
当或或时，是等腰三角形，
除此之外，不是等腰三角形，
故不正确；
四边形是正方形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
四边形是矩形，
四边形的周长，
故不正确；
四边形是正方形，
，，
是等腰直角三角形，
，
当时，最小，
此时最小值为，
，
的最小值为，
故正确；
四边形是正方形，
，
是等腰直角三角形，
，
是等腰直角三角形，
，
，
故正确；
综上所述，正确结论的个数是，
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，面积法求线段的长度等，解题关键是能够灵活运用轴对称的性质．
由折叠及轴对称的性质可知，垂直平分线段，先证≌，推出的长，再利用勾股定理求出的长，最后在中利用面积法可求出的长，可进一步求出的长，即可求的长．
【解答】
解：设折痕与交于点，如图，
四边形为正方形，
，，
由折叠及轴对称的性质可知，垂直平分线段，
，且，
，
又，
，
又，，
≌，
，
在中，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解：四边形是正方形，
点，关于直线对称，
连接交于，
连接，，
则此时，的值最小，
，
，，
为的中点，
，
，
设直线的解析式为：，
，
，
直线的解析式为：，
直线的解析式为，
，
解得：，
，
设直线的解析式为：，
，
解得：，
直线的解析式为，
故答案为：．
根据正方形的性质得到点，关于直线对称，连接交于，连接，，则此时，的值最小，求得直线的解析式为，由于直线的解析式为，解方程组得到，由待定系数法即可得到结论．
本题考查了正方形的性质，轴对称最短路线问题，待定系数法求一次函数的解析式，正确的找出点的位置是解题的关键．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了正方形的性质以及勾股定理．求出与是解题的关键．
作于点根据折叠的性质与等腰直角三角形的性质得出，，，由勾股定理得到那么正方形的边长，，然后利用勾股定理即可求出．
【解答】
解：如图，作于点．
四边形是正方形，
．
将沿翻折，点对应点刚好落在对角线上的点，
，，
．
将沿翻折，使点对应点刚好落在对角线上的点，
，
正方形的边长，，
．
故答案为．
16.【答案】
【解析】解：如图所示，以为对称轴作的对称点，连接，，
根据轴对称性质可知，，为的中点，
，
当，，三点共线时，取“”，
过作于点，可得，
，，
为的中位线，
，，
，
为等腰直角三角形，，
正方形边长为，，
，
，
即的最大值为，
故答案为：．
以为对称轴作的对称点，连接，，依据，可得当，，三点共线时，取“”，过作于点，即可得出，，得到为等腰直角三角形，即可得到．
本题主要考查了正方形的性质以及最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决即可．
17.【答案】解：连接，过点作轴于，连接，如下图所示：

四边形为正方形，为对角线，，
，，
在中，由勾股定理得：，
，
在中，，，
，
由勾股定理得：，
点的坐标为．
【解析】此题主要考查了含角的直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识是解决问题的关键．
连接，过点作轴于，连接，根据正方形的性质可求出，，然后在中可分别求出，，由此可得点的坐标．
18.【答案】解：证明：在正方形中，，，
，
，
，
，
，
≌，
；
，理由如下：
如图，过点作，交的延长线于，
≌，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
，，，
≌，
，，
；
连接，
，，
，
，
，
，
，
，，
，，，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【解析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
由“”可证≌，可得；
由“”可证≌，可得，可得结论；
由直角三角形的性质可得，可求的长，由勾股定理可求的长，即可求解．
19.【答案】解：≌，理由：
过点作，且点为边延长线上一点，如图，
四边形为正方形，
，，
，
．
在和中，
线段、、之间的数量关系为：理由：
由知：，
，．
，，
，
．
，
．
在和中，
，
，
，
．
【解析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等量代换，利用正方形的特性构造恰当的辅助线是解题的关键．
过点作，且点为边延长线上一点，利用全等三角形的判定定理证明即可；
利用的结论可得：，；通过证明≌，利用全等三角形的性质定理和等量代换即可得出结论．
20.【答案】，，理由为：
正方形，正方形，
，，，，
在和中，
，
≌，
，，
延长交于点，
，
，
，；
的度数不发生变化，的度数为理由为：
过作，，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
为的平分线，
，
；
．
【解析】解：见答案；
见答案；
，理由为：在上截取，连接，
为等腰直角三角形，即，
，，
为等腰直角三角形，即，
，即，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
则，
故答案为：．
【分析】，，理由为：由正方形与正方形，利用正方形的性质得到两对边相等，一对直角相等，利用得出三角形与三角形全等，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等得到，，再利用同角的余角相等即可得证；
的度数为，理由为：过作，，利用得出三角形与三角形全等，由全等三角形的面积相等得到两三角形面积相等，而，可得出，利用到角两边距离相等的点在角的平分线上得到为角平分线，再由，及一对对顶角相等，得到为直角，即为直角，利用角平分线定义即可得证；
，在上截取，可得出三角形为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质得到，接下来证明，即要证明三角形与三角形全等，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由三角形为等腰直角三角形得到，利用等式的性质得到，利用可得出全等，根据全等三角形的对应边相等即可得证．
此题考查了正方形，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，角平分线的判定，熟练掌握正方形的性质是解本题的关键．
21.【答案】证明：在正方形中，，，
，
，
在和中，，
≌，
．
【解析】根据正方形的性质可得，，然后求出，再利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并准确识图确定出三角形全等的条件是解题的关键．
22.【答案】证明：将线段绕点逆时针旋转得到线段，
，，
，
在和中，
，
；
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，，
，
，
．
【解析】由旋转的性质可得，，，由“”可证，可得；
由正方形的性质可得，，由可得，由此即可求解，由等腰直角三角形的判定与性质可得，由的结论可得，本题得解．
本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定与性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
23.【答案】解：；
不成立，正确结论是：证明如下：
四边形和四边形为正方形，
，，
，
在和中，
≌．
，，
又，，
；
如图，取的中点，连接，
，，
．
，
．
由知：．
，
，，
，
在和中，
≌，
，
，
是线段的垂直平分线，
．
【解析】【分析】
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
利用证明≌，得出，则；
不成立，利用证明≌得，结合，，得；
求得，利用证明≌，得出是线段的垂直平分线，即可求得．
【解答】
解：四边形和四边形是正方形，
，，，
，
即，
在和中，
≌，
，
，
，
，
故答案为；
见答案；
见答案．
24.【答案】解：；
依然成立．
理由：过点作于点，过点作于点，
，
四边形是正方形，在上，
，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
在和中，
≌，
；
由知，
四边形是正方形，是对角线的交点，
，，
，
，
，
在和，
，
≌，
．
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
即是斜边上的高，
由面积关系得，
，
．
【解析】解：四边形是正方形，
，，
，
，
，
≌，
，
即，
故答案为：；
见答案；
见答案．
证明≌，由全等三角形的性质得出，则可得出结论；
过点作于点，过点作于点，证明≌，由全等三角形的性质得出；
证明≌，由全等三角形的性质得出证明≌，由全等三角形的性质得出，，由三角形的面积求出的长，则可得出答案．
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的面积计算等知识点，作辅助线构建全等三角形是解题的关键．
25.【答案】解：；
是；
，为，的中点，
为的中位线，
，，
同理：，，，，，，
，，
四边形为平行四边形，
，
，
平行四边形为菱形，
，，
，
，
，
，
四边形为正方形，
四边形是“神奇四边形”；
如图，延长交于，
由翻折的性质可知，，，，，
四边形是正方形，边长为，
，，
，，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
，
，
，
，
，
即线段的长为．
【解析】【分析】
本题属于四边形综合题，考查了新定义“神奇四边形”、折叠的性质、正方形的判定与性质、菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，三角形中位线定理等知识，本题综合性强，理解新定义“神奇四边形”，熟练掌握正方形的判定与性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题．
由“神奇四边形”的定义即可得出结论；
证≌，得，再由“神奇四边形”的定义即可得出结论；
由三角形中位线定理得出，，则四边形为平行四边形，再证四边形是正方形，则可得出结论；
延长交于，由勾股定理求出的长，设，则，再由勾股定理得，解得，即可解决问题．
【解答】
解：平行四边形的对角线互相平分，矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线互相垂直平分，正方形的对角线互相垂直平分且相等，
正方形是“神奇四边形”，
故答案为：；
证明：四边形是正方形，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
又，
四边形是“神奇四边形”；
见答案
见答案．
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