2.1认识一元二次方程 北师大版初中数学九年级上册同步练习（含详细答案解析）

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2.1认识一元二次方程北师大版初中数学九年级上册同步练习
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是( )
A. B. 且 C. 且 D.
2.已知一元二次方程的两根分别为，，则方程的两根分别为( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
3.下列方程中，关于的一元二次方程有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
4.若关于的一元二次方程的一个根是，则的值是( )
A. B. C. D.
5.下列方程：；；； ；一定是一元二次方程的有
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
6.已知是方程的解，则代数式的值为( )
A. B. C. D.
7.根据表格对应值：
判断关于的方程的一个解的范围是( )
A. B. C. D. 无法判定
8.已知是一元二次方程的一个实数根，则的值为( )
A. B. C. D.
9.方程的一个根为( )
A. B. C. D.
10.若是方程的根，则的值为( )
A. B. C. D.
11.若是一元二次方程的一个根，则的值是( )
A. B. C. D.
12.若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.已知关于的一元二次方程有一个根为，则______．
14.若是关于 的方程 的根，则的值为 ．
15.已知是关于的方程的一个根，则代数式的值为________；
16.若是的一个根，则______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知是方程的一个根，求的值．
18.本小题分
已知是方程的一个根，求的值．
19.本小题分
关于的一元二次方程的一个根是，且，满足，求关于的方程的根．
20.本小题分
定义：如果关于的一元二次方程中常数项是该方程的一个根，则该一元二次方程就叫做常数根一元二次方程．
已知关于的方程是常数根一元二次方程，则的值为______；
如果关于的方程是常数根一元二次方程，求的值．
21.本小题分
已知关于，的方程组与的解相同．
求，的值；
若一个三角形的一条边的长为，另外两条边的长是关于的方程的解．试判断该三角形的形状，并说明理由．
22.本小题分
北京西城统考一模已知是方程的一个根，求代数式的值．
23.本小题分
根据多项式乘法可知从而我们可得干字相乘法进行因式分解的公式，比如：，据此回答下列问题：
将二次三项式分解因式．
解一元二次方程．
某数学兴趣小组发现二次项系数不是的一元二次方程也可以借助此方法解如：，方程分解为，从而可以快速求出方程的解请你利用此方法尝试解方程．
24.本小题分
先化简，再求值：，其中是方程的根．
25.本小题分
已知关于的方程．
为何值时，此方程是一元一次方程？
此方程是一元二次方程，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了一元二次方程的定义，二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键直接利用一元二次方程的定义和二次根式有意义的条件分析得出答案．
【解答】
解：关于的方程是一元二次方程，
，，
解得：，且．
故选：．
2.【答案】
【解析】解：一元二次方程的两根分别为，，
方程中或，
解得：或，
即方程的两根分别为和，
故选：．
本题考查了一元二次方程的解的意义，将看成整体根据已知方程的解得出或是解此题的关键．根据已知方程的解得出或，然后解这两个一元一次方程即可求出的值．
3.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握一元二次方程必须同时满足三个条件：整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；只含有一个未知数；未知数的最高次数是根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程进行分析即可．
【解答】
解：是一元二次方程；
当时是一元一次方程，不是一元二次方程；
是关于的一元二次方程；
有个未知数，不是一元二次方程；
时是一元一次方程；
分式方程
根号里面是的次数是，不是二次方程；
化简后是一元一次方程．
则关于的一元二次方程共有个
故选A．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．把代入方程得，然后利用整体代入的方法计算的值．
【解答】
解：把代入方程得，
，
．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
根据一元二次方程的定义：只有一个未知数且未知数最高次数为的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是且进行判断．
【解答】
解：；当时，方程不是一元二次方程，
分母有未知数，不是一元二次方程，
，没有二次项，不是一元二次方程；
；含有两个未知数，不是一元二次方程，
是一元二次方程，
是一元二次方程只有，
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程的解的概念：使方程两边成立的未知数的值叫方程的解．
先利用一元二次方程的解的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】
解：是方程的解，
，
即，
．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．利用表中数据得到和时，代数式的值一个小于，一个大于，从而可判断当时，代数式的值为．
【解答】
解：当时，，
当时，，
所以方程的解的范围为．
故选C．
8.【答案】
【解析】解：把代入原方程，得
，
解得．
故选：．
把代入已知方程，列出关于的一元一次方程，通过解该一元一次方程来求的值．
本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．也考查了一元二次方程的定义．
9.【答案】
【解析】【分析】分别把各选项代入方程，判断方程两边是否相等即可求解．
【详解】解：把代入方程得，，
是方程的解，故 A符合题意；
把代入方程得，，
不是方程的解，故 B不符合题意；
把代入得，，
不是方程的解，故 C不符合题意；
把代入方程得，，
不是方程的解，故 D不符合题意；
故选：．
本题考查一元二次方程的解，熟记方程的解的定义是解题的关键．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查的是分式的化简求值，一元二次方程的解的有关知识，根据题意得到，进而得到，再将给出的分式进行化简，最后代入求值即可．
【解答】
解：是方程的根，
，
，
原式
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边成立的未知数的值叫一元二次方程的解．根据一元二次方程的解的定义把代入方程得到关于的一次方程，然后解一次方程即可．
【解答】
解：为一元二次方程的一个根，
，
．
故选B．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查的是一元二次方程的解的有关知识，对于一元二次方程，设得到，利用有一个根为得到，从而可判断一元二次方程必有一根为．
【解答】
解：，
设，
所以，
而关于的一元二次方程有一根为，
所以有一个根为，
则，
解得，
所以一元二次方程必有一根为．
13.【答案】
【解析】解：把代入，得：，
解得：，
，
．
故答案为：．
根据一元二次方程的解的定义把代入原方程得到关于的一元二次方程，解得，然后根据一元二次方程的定义确定的值．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．也考查了一元二次方程的定义．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查一元二次方程的解的概念和求代数式的值首先通过解的概念把代入方程中，通过变形得出的值即可．
【解答】
解：是方程的根，
，
又，
，
．
15.【答案】
【解析】解：是方程的一个根，
，
，
．
故答案为．
根据一元二次方程的解的定义得到，再把表示为，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程的解以及代数式求值，注意解题中的整体代入思想．
因为是方程的一个根，所以，那么代数式可化为，然后把代入即可．
【解答】
解：将代入原方程，得，
所以原式．
17.【答案】解：是方程的一个根，
，
，
．
【解析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
先根据一元二次方程的解的定义得到，即，然后利用整体代入的方法计算代数式的值．
18.【答案】解：是方程的一个根，
，即，
．

【解析】【分析】把代入方程得：，即，再整体代入原式可得．
【点睛】本题考查的是一元二次方程，已知方程的根则代入满足方程．
19.【答案】解：，满足，
，，
，
把代入，
得，
一元二次方程的一个根是，
，又，，
，
关于的方程，
解得，．
【解析】【分析】
本题综合考查了一元二次方程的解的概念以及二次根式有意义的条件，比较简单．
首先根据、满足的关系式，求出、的值，然后解出，最后解的方程．
20.【答案】或
【解析】解：关于的方程是常数根一元二次方程，
方程的一个根为，
代入方程得，，
解得或；
故答案为：或；
关于的方程是常数根一元二次方程，
方程的一个根为，
代入方程得，，
整理得，，
解得或．
根据常数根一元二次方程的定义，把代入方程，解关于的方程即可；
根据常数根一元二次方程的定义，把代入方程，解关于的方程即可．
本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程以及新定义，解题的关键是利用常数根一元二次方程的定义，得出关于的方程．
21.【答案】解：由题意得，关于，的方程组与的相同解，就是方程组的解，
解得，，
，，
解得，，；
当，时，关于的方程为，
解得，，
又，
以、、为边的三角形是等腰直角三角形．
【解析】本题考查二元一次方程组的解法、一元二次方程的解法以及勾股定理的逆定理，掌握一元二次方程的解法和勾股定理的逆定理是得出正确答案的关键．
关于，的方程组与的解相同．首先求出方程组的解，进而确定、的值；
将、的值代入关于的方程，求出方程的解，再根据方程的两个解为边长与为边长，判断三角形的形状．
22.【答案】解：


是方程 的一个根，
，即 ．
原式 ．

【解析】【分析】根据方程根的定义，化简代入计算即可．
【详解】解：

，
是方程 的一个根，
，
即
原式 ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根即使得方程左右两边相等的未知数的值，正确理解定义是解题的关键．
23.【答案】解：；
．
利用十字相乘法，得
．
或．
，．
．
利用十字相乘法，得
．
或．
，．
【解析】利用十字相乘法进行分解；
把方程左边分解因式，则原方程可转化为或，然后解两个一次方程即可；
把方程左边分解因式，则原方程可转化为或，然后解两个一次方程即可．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
24.【答案】解：
．
为方程的根，
，
，
，．
，
．
则原式．
【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出方程的解得到的值，代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，以及一元二次方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
25.【答案】解：根据一元一次方程的定义可知：且，
解得：，
即时，方程是一元一次方程．
根据一元二次方程的定义可知：，
解得：．
即当时，方程是一元二次方程．

【解析】此题主要考查了一元二次方程的定义和一元一次方程的定义，关键是掌握两种方程的定义；
根据一元一次方程的定义可得且，求解即可得到的值；
根据一元二次方程的定义可知：，解不等式即可得到的取值范围．
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