2.3用公式法求解一元二次方程 北师大版初中数学九年级上册同步练习（含详细答案解析）

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2.3用公式法求解一元二次方程北师大版初中数学九年级上册同步练习
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.是下列哪个一元二次方程的根( )
A. B. C. D.
2.下列方程中，有两个相等实数根的是( )
A. B. C. D.
3.一元二次方程，用求根公式求解时，，，的值( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
4.勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．年希腊发行了以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理．在中，如图所示作矩形，延长交于点若正方形的面积等于矩形面积的倍，则的值为( )
A. B. C. D.
5.小马在用公式法解方程时出现了错误，解答过程如下：
，，．
．
．
所以，．
小马解答过程开始出错的步骤是( )
A. B. C. D.
6.若一元二次方程的两个实数根中较小的一个根是，则的值为( )
A. B. C. D.
7.利用公式解可得一元二次方程式的两解为、，且，求值为何( )
A. B. C. D.
8.若一元二次方程的根为，则该一元二次方程为 ( )
A. B. C. D.
9.新趋势数学文化欧几里得的几何原本中记载了形如的方程根的图形解法：构造，为斜边中线，且，作，与的延长线交于点设，，则较小的根是( )
A. 的长度 B. 的长度 C. 的长度 D. 的长度
10.如图，在中，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交线段于点，以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点，则下列线段的长度是方程的一个根的是( )
A. 线段的长 B. 线段的长 C. 线段的长 D. 线段的长
11.如图，在中，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交线段于点，以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点，则下列线段的长度是方程的一个根的是( )
A. 线段的长 B. 线段的长 C. 线段的长 D. 线段的长
12.已知一元二次方程的一个根与方程的一个根互为相反数，那么的根是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ．
14.一元二次方程的解为 ．
15.用表示不大于的最大整数，则方程的解为______．
16.方程的根是____________．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
解方程：；
解不等式组：．
18.本小题分
解方程时，下面的解法正确吗？如果不正确，错误在哪里？正确的解法是什么？
解：原方程化为，
那么由，得．
由，得．
所以，原方程的根为，．
19.本小题分
已知关于的方程，试按要求解答下列问题：
当该方程有一根为时，试确定的值；
当该方程有两个不相等的实数根时，试确定的取值范围．
在的条件下，若是符合条件的最大整数，求此时方程的根．
20.本小题分
已知，
当为何值时，？
对于任意实数，试比较与的大小．
21.本小题分
已知关于的一元二次方程．
求出此方程的根；
为何整数时，此方程的两个根都为正整数？
22.本小题分
用公式法解方程．
解：，，，
，
．
上述解法是否正确若不正确，请指出错误并改正．
23.本小题分
对于实数、，新定义一种运算“”：例如：，．
计算： ， ；
若和是方程的两个根且，求的值；
若与的值相等，求的值．
24.本小题分
阅读材料：利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解例如：
即：．
根据以上材料，解答下列问题：
把下列多项式因式分解：
；
；
已知，，是的三边长，且满足，求的周长．
25.本小题分
阅读材料，并回答问题：小明在学习一元二次方程时，解方程的过程如下：
解：
解决问题：
上述过程中，从第______步开始出现了错误填序号；
发生错误的原因是：______；
用你喜欢的方法写出正确的解答过程．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
根据公式法解一元二次方程的方法即可得结论．
本题考查了公式法解一元二次方程，解决本题的关键是掌握公式．
【解答】
解：解一元二次方程的公式为，，
所以，，．
所以方程为
故选：．
2.【答案】
【解析】解：，
变形为，
，，，
，
方程有两个相等的实数根，选项A符合题意；
B.，
，，，
，
方程没有实数根，选项B不符合题意；
C.，
变形为，
，，，
，
方程有两个不相等的实数根，选项C不符合题意；
D.，
，，，
，
方程有两个不相等的实数根，选项D不符合题意．
故选：．
根据各选项中各方程的系数，利用根的判别式可求出各方程的根的判别式的值，取的选项即可得出结论．
本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根”是解题的关键．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．先按照未知数的降幂排列，据此可得答案．
【解答】
解：，
，
则，，，
故选：．
4.【答案】
【解析】解：过作，设，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
正方形的面积等于矩形面积的倍，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
本题考查了勾股定理的证明，熟练应用勾股定理及全等三角形的证明是解题关键．
过作，设，根据等面积法得，得，再证，再根据正方形的面积等于矩形面积的倍，得，再根据，得，根据求根公式得出，由，从而求出的比值．
5.【答案】
【解析】解：小明解方程过程开始出错的步骤是第三步，求根公式用错．
故选：．
观察小明解方程过程，找出出错的步骤即可．
此题考查了解一元二次方程公式法，一元二次方程的一般形式，熟练掌握求根公式是解本题的关键．
6.【答案】
【解析】略
7.【答案】
【解析】解：，
这里，，，
，
，
一元二次方程式的两解为、，且，
的值为．
故选：．
利用公式法即可求解．
本题考查了解一元二次方程公式法，能熟练运用公式法解答方程是解此题的关键．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查一元二次方程的解，解题的关键是正确理解求根公式，本题属于基础题型．
根据一元二次方程的求根公式即可求出答案．
【解答】
解：一元二次方程的求根公式为，
由题意可知：，，，
该方程为：，
故选A．
9.【答案】
【解析】【分析】
此题考查的是公式法解一元二次方程，运用勾股定理和直角三角形斜边中线的性质找到线段的关系是解题的关键．
利用勾股定理求得，解一元二次方程求得的值，即可得出的最小值是的长度，由直角三角形斜边中线的性质得出，从而求得较小的根是的长度．
【解答】
解：，
．
，，
．
，解得，
的最小值是的长度．
为斜边中线，且，
．
的最小值是的长度．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查勾股定理及解一元二次方程，先根据勾股定理得出的长，再利用作图得到的长，用公式法解出一元二次方程的根，与线段对比即可得解．
【解答】
解：由勾股定理得，
，
解方程得，
即，，
线段的长是方程的一个根．
故选B．
11.【答案】
【解析】解：由勾股定理得，
，
解方程得，
即，，
线段的长是方程的一个根．
故选B．
12.【答案】
【解析】解：一元二次方程的一个根与方程的一个根互为相反数，
，
，
，
解得舍去，，
把代入得，
解得，．
故选：．
根据一元二次方程的一个根与方程的一个根互为相反数，可得关于的方程，解方程可求的值，将的值代入方程求解即可．
考查了相反数、一元二次方程的解，关键是根据相反数的定义得到关于的方程，解方程求得的值．
13.【答案】
【解析】【分析】
根据“关于的一元二次方程有两个相等的实数根”，结合根的判别式公式，得到关于的一元一次方程，解之即可．
本题考查了根的判别式，正确掌握根的判别式公式是解题的关键．
【解答】
解：根据题意得：，
整理得：，解得：，
故答案为：．
14.【答案】，
【解析】解：，，，
，
，
所以，．
故答案为：，．
，，，，然后代入求根公式进行计算即可．
本题考查了一元二次方程为常数的解法．可以直接利用它的求根公式求解，它的求根公式为：；用求根公式求解时，先要把方程化为一般式，确定，，的值，计算出的值，当时可代入公式求解．
15.【答案】，，．
【解析】解：由得，
，
，
即，
解得．
由可得，的可能取值为，，，，．
当代入，解得，由知，有一个解；
当代入，解得由知无解；
当代入，解得，由知无解；
当代入，解得，由知，有一个解；
当代入，解得，由当知，有一个解．
综上，满足条件的方程的解为，，．
由于，所以可把方程写成，可得不等式，求得的取值范围．再将的取值范围分为类求解即可进行选择．
本题考查了含取整函数的方程，任意一个实数都能写成整数与非负纯小数之和，即：，其中解题的关键是确定的取值范围，从而得到的值．注意分情况进行讨论．
16.【答案】，
【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法，此题方程化简整理后用公式法解答．
【解答】
解：原方程可化为，，
，，，
，
．
，．
17.【答案】解：，，，
，
，
，；
由得：，
由得：，
不等式组的解集为：．
【解析】根据一元二次方程的解法即可求出答案．
根据不等式组的解法即可求出答案．
此题考查了解一元二次方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18.【答案】解：解法不正确，由方程得出和错误，
正确的解法如下：
，
整理得：，
，
，
，．
【解析】本题考查了用公式法解一元二次方程，能熟记公式是解此题的关键，已知一元二次方程、、为常数，满足，则此方程的根是．
先整理方程，再代入公式求出即可．
19.【答案】解：将代入方程得：，解得：；
由方程有两个不相等的实数根，得到，
解得：，
又，
且．
由知，符合条件的最大整数，
方程为，
，，，
，
，
，．
【解析】此题考查了一元二次方程根的判别式，根的判别式的值大于，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于，方程没有实数根；也考查了公式法解一元二次方程．
将代入方程得到关于的方程，解关于的方程即可得到的值；
由方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于，列出关于的不等式，求出不等式的解集即可得到的范围，注意二次项系数不为．
当时，求出方程的解．
20.【答案】解：，，，
整理得
解得，或．
故，或时，．
，
，
，
．
【解析】直接根据得到关于方程求得的值即可；
把两个整式作差，进一步配方，利用非负数的性质判断即可．
此题考查公式法解一元二次方程、非负数的性质，利用作差法比较整式的大小是常用的数学方法．
21.【答案】【小题】
根据题意，得，，，，则，．
【小题】
由知方程的两个根都为正整数，是正整数，或，解得或即为或时，此方程的两个根都为正整数．

【解析】 见答案
见答案
22.【答案】解：不正确错误有两点，一是方程没化成一般形式二是结果没化简．
正确解法如下：
移项化为一般形式：，
，，，．
，
，．

【解析】见答案
23.【答案】【小题】
【小题】
解方程，得，，
所以．
【小题】
当时，，
整理得，
解得，舍去；
当时，，
整理，得，
解得，舍去；
当时，，
整理，得，
解得舍去，．
综上所述，的值为或或．

【解析】
由题意，得；．
见答案
见答案
24.【答案】解：；
．
，，
，
，，，，，，的周长．
【解析】结合材料进行因式分解即可；
把凑成完全平方式即可求解．
本题考查了因式分解，灵活运用所学知识是解题关键．
25.【答案】 的平方根有两个，是；
【解析】解：上述过程中，从第步开始出现了错误，
故答案为：；
发生错误的原因是平方根有两个，是，
故答案为：的平方根有两个，是；
．
根据平方根的定义得出答案即可；
根据平方根的定义得出答案即可；
移项，二次项系数化成，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
本题考查了用配方法解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键．
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