2.4用因式分解发求解一元二次方程 北师大版初中数学九年级上册同步练习（含详细答案解析）

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2.4用因式分解发求解一元二次方程北师大版初中数学九年级上册同步练习
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则( )
A. B. C. 或 D. 或
2.定义新运算，如，则方程的解是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.的两边长分别为和，第三边的长是方程的根，则的周长是( )
A. B. C. D.
4.若关于的方程的解是，，则关于的方程的解是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
5.用因式分解法解方程，下列方法中正确的是( )
A.
B. 或
C. 或
D. 或
6.已知菱形的对角线、的长度恰为方程的两个实数根，则菱形的周长为 ．
A. B. C. D.
7.已知等腰的边是方程的根，则的周长为( )
A. B. 或 C. 或 D. 或或
8.若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为( )
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
9.方程的解是( )
A. ， B. ，
C. ， D. 无解
10.一元二次方程两根分别为，，则方程的两根分别为( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
11.若某三角形两边的长分别等于方程的两个实数根，则这个三角形的第三边的长可能是( )
A. B. C. D.
12.方程的根是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.一元二次方程的解是______．
14.如图，按照程序计算，若输出的值是，则输入的值是__________．
15.固定一种运算：，例如：，运算得：，解得，按照这种运算得规定，求中的值为____________________
16.已知关于的一元二次方程、，均为常数且的解是，，则方程的解是_______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
小刚按照某种规律写出个方程：
第个方程：．
第个方程：．
第个方程：．
第个方程：．
按照此规律，请你写出第个方程：______．
按此规律写出第个方程：______这个方程是否有实数解？若有，请求出它的解；若没有，请说明理由．
18.本小题分
先化简，再求值：，其中满足方程．
19.本小题分
先化简，再求值：，其中满足方程．
20.本小题分
解一元二次方程：；
先化简，然后从，，中选一个合适的数作为的值代入求值．
21.本小题分
在数学活动课上，老师出了如下解一元二次方程的试题“”，让同学们讨论．甲乙两位同学的做法如下：
甲同学： 解：原式可化为． 当时， ， 当时， ， ，． 乙同学： 解：原式可化为 ， ， ． ， ，．
小组在交流过程中发现甲乙两位同学的结果不同，请判断 同学的解法有误，错误的原因是 ；
请写出其他解法并与同学们交流．
22.本小题分
阅读下面的例题，
范例：解方程，
解：当时，原方程化为，解得：，不合题意，舍去．
当时，原方程化为，解得：，不合题意，舍去．
原方程的根是，
请参照例题解方程．
23.本小题分
小明在解方程时出现了错误，解答过程如下：
原方程可化为第一步
方程两边同时除以，得第二步
小明的解答过程是从第______步开始出错的，其错误原因是______；
请写出此题正确的解答过程．
24.本小题分
已知关于的一元二次方程．
求出方程的根；
为何整数时，此方程的两个根都为正整数？
25.本小题分
阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，将原方程化为，解得，．
当时，，，．
当时，，，．
原方程的解为，，，．
由原方程得到的过程，利用换元法达到了简化方程的目的，体现了整体转化的数学思想．
阅读后解答问题：
利用上述材料中的方法解方程：；
已知一元二次方程的两根分别为，，求方程的两根．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了因式分解法解一元二次方程，能够将看成一个整体是解题的关键；
将，则得到，利用因式分解法求出根，然后根据的非负性，即可得到答案．
【解答】
解：设，
则原方程可化为，
分解因式得，
解得，．
是非负数，
．
故选B．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了新定义，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤．
根据题意，将原方程化为 ，再将方程化为一般式，最后用因式分解法求解即可．
【解答】
解：根据题意可得： ， ，
，
，
整理得： ，
解得： ， ，
故选：．
3.【答案】
【解析】解：，
，
或，
，，
，
的第三边长为，
的周长为．
故选A．
先利用因式分解法解方程得到，，再根据三角形三边的关系可判断的第三边长为，然后计算的周长．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：就是先把方程的右边化为，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了数学转化思想也考查了三角形三边的关系．
4.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了换元法解一元二次方程，关键是正确找出两个方程解的关系．
设，则原方程可化为，根据关于的方程的解是，，得到，，于是得到结论．
【解答】
解：设，
则原方程可化为，
关于的方程的解是，，
，，
或，
解得，．
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查的是因式分解法解一元二次方程的有关知识，根据因式分解法解一元二次方程的一般步骤依次分析各项即可判断．
【解答】
解：，
或，故A错误；
B.，
，
，
，
或，故B错误；
C.，
，
，不能用因式分解法解方程，故C错误；
D.，
或，故D正确
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了菱形的性质，勾股定理的应用，解一元二次方程因式分解法等知识，求出菱形的边长是关键．
先利用因式分解法解方程得到和的长，然后根据勾股定理求得菱形的边长，再根据菱形的四条边相等即可求得它的周长．
【解答】
解：，
，
或，
所以，，
即菱形的对角线，的长度为和，
菱形是对角线，互相垂直平分，
菱形的边长为，
所以菱形的周长为．
故选C．
7.【答案】
【解析】解：，
，
或，
所以，，
当等腰的边长分别为、、时，的周长为；
当等腰的边长分别为、、时，的周长为；
当等腰的边长分别为、、时，的周长为，
综上所述，的周长为或或．
故选：．
先利用因式分解法解方程得到，，根据等腰三角形的性质，等腰的三边长可以为、、或、、或、、，然后分别计算对应的的周长．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了三角形三边的关系和等腰三角形的性质．
8.【答案】
【解析】解：把代入得，
整理得，
即，
解得，，
即的值为或．
故选：．
根据一元二次方程的解的定义，把代入得关于的一元二次方程，然后解此方程即可．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了一元一次方程的解法．
9.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
解得：，．
移项，分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程的解的意义，将看成整体根据已知方程的解得出或是解此题的关键．
根据已知方程的解得出或，然后解这两个一元一次方程即可求出的值．
【解答】
解：一元二次方程的两根分别为，，
方程中或，
解得：或，
即方程的两根分别为和．
故选：．
11.【答案】
【解析】方程可化简为，
即，
解得，，
这个三角形第三边的长的取值范围是，这个三角形的第三边的长可能是．
故选：．
本题主要考查三角形的三边关系和因式分解法解一元二次方程，先解出方程的根为，，再根据三角形的三边关系确定第三边的范围．
12.【答案】
【解析】解：，
或，
，，
故选：．
利用解一元二次方程因式分解法进行计算，即可解答；
本题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握解一元二次方程因式分解法是解题的关键．
13.【答案】，
【解析】解：移项得：，
，
得或，
在、即，，
故答案为：，．
先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键，有直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法等．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了代数式求值，一元二次方程及分式方程的解法分时及，分别得到对应的方程，解方程即可．
【解答】
解：当时，，
解得，均不符合题意，舍去
当时，
解得符合题意
综上可得．
故答案为．
15.【答案】或．
【解析】【分析】
本题考查新定义运算，解一元二次方程，关键是能根据题意得出方程．
根据题意得出方程，求出方程的解即可．
【解答】
解：根据题意得：，
，
，
，，
解得，，．
16.【答案】，
【解析】【分析】
本题考查换元法解方程，关键是根据方程的特征将所求方程变形为．
仿照已知方程的解确定出所求方程的解即可．
【解答】
解：关于的方程均为常数，的解是，，
方程变形为，
或，
即，．
故答案为，．
17.【答案】
【解析】解：第个方程：，
第个方程：，
第个方程：，
第个方程：，
第个方程：，
当时，．
故答案为：；
第个方程为，且这个方程有实数解，理由如下：
，
，
或．
故答案为：．
根据小刚写出的个方程，易发现其规律是：第个方程是，所以第方程是；
由可知第个方程是，利用因式分解法可得：进而即可解答．
本题主要考查因式分解法解一元二次方程、数字规律等知识点，将方程右边化为，左边化为积的形式，由利用两数相乘积为，两因式中至少有一个为转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．
18.【答案】解：
．
满足方程，
，
解得：，，
，
当时，原式．

【解析】本题考查了分式的化简求值，解一元二次方程因式分解法，分式有意义的条件，熟练掌握分式的运算法则，一元二次方程的解法，分式有意义的条件是解题的关键．
先根据分式的运算法则把所给分式化简，求出方程的解，然后把能使分式有意义的解代入化简的式子计算即可．
19.【答案】解：
．
满足方程，
，
解得：，，
，
当时，原式．

【解析】本题考查了分式的化简求值，解一元二次方程因式分解法，分式有意义的条件，熟练掌握分式的运算法则，一元二次方程的解法，分式有意义的条件是解题的关键．
先根据分式的运算法则把所给分式化简，求出方程的解，然后把能使分式有意义的解代入化简的式子计算即可．
20.【答案】解：，
，
，
或，
解得，；
，
时，原分式无意义，
，
当时，原式．
【解析】先移项，然后提公因式，再求解即可；
先通分括号内的式子，再算括号外的除法，然后从，，中选一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查解一元二次方程、分式的化简求值，熟练掌握解一元二次方程的方法和分式混合运算的计算方法是解答本题的关键．
21.【答案】【小题】
乙
原方程常数项移项时未变号
【小题】
，，，
，
，
，．

【解析】 略
见答案
22.【答案】解：，
当时，原方程化为，解得：，不合题意，舍去．
当时，原方程化为，解得：，不合题意，舍去．
故原方程的根是，．

【解析】本题考查了解一元二次方程的应用分为两种情况：当时，原方程化为，当时，原方程化为，求出方程的解即可．
23.【答案】二 如果则两边不能同时除以
【解析】解：小明的解答过程是从第二步开始出错的，其错误原因是如果则两边不能同时除以；
故答案为：二，如果则两边不能同时除以；
，
，
则，
，
则或，
解得，．
依据等式的基本性质判断即可得；
利用因式分解法求解可得．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
24.【答案】解：，
或，
所以，；
，
由于为整数，
所以当或时，为正整数，此时或，
所以为或时，此方程的两个根都为正整数．
【解析】本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程的右边化为，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了数学转化思想．
利用因式分解法解方程易得，；
由于为正整数，则为正整数，先变形为，然后利用整数的整除性可确定的值为或．
25.【答案】解：令，
则，
，
或，
解得或，
当时，，即，
解得，，
当时，，即，
解得，
综上，原方程的解为，，；
一元二次方程的两根分别为，，
方程中或，
解得：或，
即方程的两根分别是和．
【解析】本题主要考查换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法和一元二次方程的解法是关键，体现了整体转化的数学思想．
设，用代替方程中的，然后解关于的一元二次方程，然后再来求关于的一元二次方程即可；
根据已知方程的解，得出或，求出的值即可．
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