2.5一元二次方程跟与系数的关系 北师大版初中数学九年级上册同步练习（含详细答案解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
2.5一元二次方程跟与系数的关系北师大版初中数学九年级上册同步练习
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，是一元二次方程的两根，则的值是( )
A. B. C. D.
2.已知、是方程的两个根，则的值为( )
A. B. C. D.
3.已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于( )
A. B. C. D.
4.已知、、、为互不相等的实数，且，，则的值为( )
A. B. C. D.
5.关于的方程有实数根，则的取值范围是( )
A. B. 且 C. 取一切实数 D.
6.已知关于的方程的两个根分别为，，若，则的最大值是( )
A. B. C. D.
7.已知：关于的方程，下面结论中正确的是．
A. 不能为零，否则方程没有实数根
B. 为任何实数时，方程都有实数根
C. 当时，方程无实数根
D. 当取某些实数时，方程有无穷多个实数根
8.关于的一元二次方程的根的情况是( )
A. 没有实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 实数根的个数与实数的取值有关
9.若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是( )
A. B. C. D.
10.已知，是一元二次方程的两个根，则的值等于( )
A. B. C. D. 与的值有关
11.已知，，分别是等腰三角形非等边三角形三边的长，且，分别是关于的一元二次方程的两个根，则的值等于( )
A. B. 或 C. D.
12.关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.已知一元二次方程的两根为、，则______．
14.如果关于的一元二次方程的两根分别为，，那么 ．
15.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，若，则的值为______．
16.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，若，则____．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知关于的方程有实根．
当时，求解上述方程；
求的取值范围；
是否存在实数，使方程两根的倒数和为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
18.本小题分
已知关于的一元二次方程．
求证：该方程总有两个实数根；
若该方程两个实数根的差为，求的值．
19.本小题分
若关于的方程与有一个公共根求实数的所有可能值．
20.本小题分
已知关于的一元二次方程有两个实数根、．
求实数的取值范围．
是否存在实数，使得成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
21.本小题分
已知关于的一元二次方程．
若方程有两个实数根，求的取值范围；
当取最大的整数时，求这个方程的根．
22.本小题分
已知关于的一元二次方程
试判断上述方程根的情况．
已知的两边、的长是关于上述方程的两个实数根，的长为．
当为何值时，是以为斜边的直角三角形？
当为何值时，是等腰三角形？请求出此时的周长．
23.本小题分
解一元二次方程：
关于的一元二次方程有实数根，求的取值范围．
24.本小题分
已知关于的一元二次方程．
求证：该方程总有两个实数根；
若该方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的倍，求的值．
25.本小题分
已知关于的一元二次方程．
求证：该方程总有两个不相等的实数根；
若，且该方程的一个根是另一个根的倍，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，牢记两根之和等于、两根之积等于是解题的关键根据根与系数的关系可得出、，将其代入中即可求出结论．
【解答】
解：、是一元二次方程的两根，
，，
．
故选C．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：，是一元二次方程的两根时，，．
先把方程化为一般式，再根据根与系数的关系得到，，然后把通分得到，再利用整体代入的方法计算．
【解答】
解：方程化为一般式得，
根据题意得，，
原式．
故选D．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．
根据题意可得，，变形后代入代数式即可．
【解答】
解：，是一元二次方程的两个实数根，
，，
，
，
故选D．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，先把已知条件变形得到，，则可把、看作方程的两实数根，利用根与系数的关系得到，从而得到的值．
【解答】
解：，，
，，
而、、、为互不相等的实数，
、可以看作方程的两实数根，
，
．
故选：．
5.【答案】
【解析】解：分为两种情况：当时，，
解得：；
当时，关于的方程有实数根，
，
解得：，
故选：．
分为两种情况：当，，根据已知得出，求出即可．
本题考查了根的判别式的应用，能得出关于的不等式是解此题的关键，
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，利用方程有实数根求出的取值范围是解题的关键．
根据根与系数的关系可得出，将其代入中可得出，由方程有实数根，利用根的判别式可求出的取值范围，进而即可求出的最大值．
【解答】
解：关于的一元二次方程的两实数根为、，
，
，
关于的一元二次方程有实数根，
，
解得：，
，
，
，
，
的最大值是．
故选B．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是根的判别式有关知识，把代入方程，即可求出方程的解，即可判断；求出，即可判断；根据，求出，即可判断；根据一元二次方程解的情况是有两个不相等的解，有两个相等的解，方程无解，即可判断．
【解答】
解：，
，
A.当时，方程可化为，
，此时方程有两个不相等的解，故本选项错误；
B.，
说为任何实数时，方程都有实数解不对，故本选项错误；
C.，
，故本选项正确；
D.方程是一元二次方程，
一元二次方程解的情况是有两个不相等的解，有两个相等的解，方程无解，故本选项错误；
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式是解决本题的关键．
先计算根的判别式，再根据根的判别式的计算结果得结论．
【解答】
解：，
这里，，，
．
，
一元二次方程没有实数根．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了根的判别式，解决本题的关键是当时，方程有两个相等的实数根．根据一元二次方程根的判别式即可求解．
【解答】
解：因为关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
所以，即，
解得 ．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，利用一元二次方程的解及根与系数的关系，找出“，，”是解题的关键．利用一元二次方程的解及根与系数的关系可得出，，，再将其代入中即可求出结论．
【解答】
解：，是一元二次方程的两个根，
，，，
．
故选B．
11.【答案】
【解析】解：当时，，
解得，
，
满足条件；
当时，，，
解得，，
当时，同理可得，，
综上所述，的值为或．
故选：．
讨论：当时，利用判别式的意义得到，则；当时，根据根与系数的关系得，，解得，；当时，同理可得，．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，也考查了三角形三边的关系和根的判别式．
12.【答案】
【解析】【分析】
利用一元二次方程根的判别式的意义得到，然后解不等式即可．
本题考查了一元二次方程根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
【解答】
解：根据题意得，
解得．
故选：．
13.【答案】
【解析】解：一元二次方程的两根为、，
，，
，
故答案为：．
根据根与系数的关系得出，，再通分后根据完全平方公式变形，再代入求出即可．
本题考查了根与系数的关系和求代数式的值，能熟记根与系数的关系的内容是解此题的关键．
14.【答案】
【解析】解：为方程的根，
，
，
，
方程的两根分别为，，
，
．
故答案为：．
15.【答案】
【解析】【分析】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”；根据根与系数的关系结合找出关于的分式方程．
根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的取值范围；根据根与系数的关系可得出、，结合即可得出关于的分式方程，解之经检验即可得出结论．
【解答】
解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得：．
、是方程的实数根，
，，
，
解得：，，
经检验，，都是原分式方程的根．
又，
．
故答案为．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数关系，利用两根关系得出的结果必须满足的条件．先整理成一般形式，求出，得出和得出关于的方程，即可解答．
【解答】
解：
方程有两个不相等实根，
，
解得，
由根与系数关系可得：和
或舍去
17.【答案】解：，方程化为：，
，
或，
所以，；
当时，方程化为，方程有实数解；
当时，根据题意得，
解得且，
综上所述，的取值范围为；
不存在．
理由如下：
设方程的两根分别为、，
根据根与系数的关系得，，
，即，
，
，解得，
且，
不存在实数，使方程两根的倒数和为．
【解析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了根的判别式．
利用因式分解法解方程即可；
讨论：当时，方程为一元一次方程，有实数解；当时，利用根的判别式的意义得到，此时满足且，然后综合两种情况得到的取值范围；
设方程的两根分别为、，根据根与系数的关系得，，再利用得到，解得，然后利用且可判断不存在实数，使方程两根的倒数和为．
18.【答案】证明：根据题意得：
，
，
，
无论为何值，该方程总有两个实数根；
解：设、是关于的一元二次方程的两个实数根，
，，
该方程两个实数根的差为，
，
，
，即，
，
解得：或，
的值为或．

【解析】【分析】计算出，由此即可得到答案；
根据根与系数的关系可得，，结合，得出关于的方程，解方程即可得到答案．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：，方程有两个不相等的实数根，，方程有两个相等的实数根，，方程没有实数根，关于的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，．
19.【答案】解：设公共根为，
则有，
得到代入化简得到
，
，
．
【解析】根据题意知，当关于的方程与有一个公共根时，构建方程组解决问题即可．
本题考查根的判别式，二元二次方程组等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
20.【答案】【小题】
方程有两个实数根，，解得
【小题】
不存在 理由：假设存在实数，使得成立．、是原方程的两个实数根，，，即，，即整理，得由，知，不存在实数，使得成立．

【解析】 见答案
见答案
21.【答案】解：方程有两个实数根，
，
解得：，
又，即，
且；
当时，方程为，
解得：．
【解析】由方程有两个相等的实数根得，可得关于的不等式，解之可得的范围，结合一元二次方程的定义可得答案；
由知，得出方程，公式法求解可得．
本题主要考查根的判别式和一元二次方程的定义、解一元二次方程的能力，掌握一元二次方程的根与的关系是解题的关键．
22.【答案】解：在方程中，，
方程有两个不相等的实数根．
，
，．
不妨设，，
斜边时，有，即，
解得：，舍去．
当时，是直角三角形
，，，由知，
故有两种情况：
Ⅰ当时，，
，，
、、满足任意两边之和大于第三边，
此时的周长为；
当时，，
，，
、、满足任意两边之和大于第三边，
此时的周长为．
综上可知：当时，是等腰三角形，此时的周长为；当时，是等腰三角形，此时的周长为．
【解析】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及等腰三角形的判定，熟练掌握“当根的判别式时，方程有两个不等实数根．”是解题的关键．
根据方程的系数结合根的判别式即可得出，由此即可得出方程有两个不相等的实数根；
利用分解因式法可求出，不妨设，，根据利用勾股定理即可得出关于的一元二次方程，解方程即可得出的值；根据结论可得出，由此可找出是等腰三角形分两种情况，分、两种情况考虑，根据两边相等找出关于的一元一次方程，解方程求出值，进而可得出三角形的三边长，再根据三角形的周长公式即可得出结论．
23.【答案】解：，
，
或，
解得，；
关于的一元二次方程有实数根，
且，
解得且，
故的取值范围为：且．
【解析】方程利用因式分解法求解即可；
根据一元二次方程的定义和根的判别式的性质列出算式，计算即可求解．
本题考查了解一元二次方程以及一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
24.【答案】解：证明：，
该方程总有两个实数根；
，
，
或，
，
方程的根都是整数，且其中一个根是另一个根的倍，
或，
解得或舍去，
的值为．

【解析】【分析】本题考查根的判别式，因式分解法解方程：
求出判别式的符号，判断即可；
因式分解法解方程，再根据其中一个根是另一个根的倍，分两种情况进行讨论求解即可．
25.【答案】证明：由题意得，
，
关于的一元二次方程总有两个不相等的实数根；
解：设方程的两个根分别为，
，
，
，
解得，
又，
．

【解析】【分析】利用根的判别式进行证明即可；
设方程的两个根分别为，利用根与系数的关系得到，由此建立关于的方程求解即可．
【点睛】本题主要考查了根的判别式、根与系数的关系，熟知相关知识是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)