2.6应用一元二次方程 北师大版初中数学九年级上册同步练习（含详细答案解析）

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2.6应用一元二次方程北师大版初中数学九年级上册同步练习
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某超市月份的营业额是亿元，第一季度的营业额共亿元．如果平均每月增长率为，则由题意列方程应为( )
A. B.
C. D.
2.如图，要把长为，宽为的矩形花坛四周扩展相同的宽度，得到面积为的新矩形花坛，则根据题意可列方程为( )
A. B.
C. D.
3.如图，将边长为的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到，若两个三角形重叠部分的面积为，则它移动的距离等于( )
A. B. C. D.
4.国产动画电影舒克贝塔五角飞碟于年元旦档上映电影的点映及预售总票房突破万元，若以后每天票房按相同的增长率增长，两天后累计票房收入达万元设票房收入的日均增长率为，则可列方程为( )
A.
B.
C.
D.
5.九章算术是我国古代的数学名著，其中“勾股”章有一题，大意是：已知矩形门的高比宽多尺门的对角线长尺，那么门的高和宽各是多少设门的宽为尺，根据题意，可列方程为( )
A. B.
C. D.
6.近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动某款燃油汽车今年月份售价为万元，月份售价为万元设该款汽车这两月售价的月均下降率是，则所列方程正确的是( )
A. B. C. D.
7.某公司今年月的营业额为万元，按计划第四季度的总营业额要达到万元，求该公司，两个月营业额的月均增长率，设该公司，两个月营业额的月均增长率为，则根据题意可列的方程为( )
A. B.
C. D.
8.手工兴趣小组的同学们将自己制作的书签向本组的其他成员各赠送个，全组共互赠了个，如果全组有名同学，则根据题意列出的方程是( )
A. B.
C. D.
9.某公司今年月的营业额为万元，按计划第四季度的总营业额要达到万元，求该公司，两个月营业额的月均增长率，设该公司，两个月营业额的月均增长率为，则根据题意可列的方程为( )
A. B.
C. D.
10.随着科技水平的提高，某种电子产品的价格呈下降趋势，今年年底的价格是两年前的，则这种电子产品的价格在这两年中平均每年下降( )
A. B. C. D.
11.某果园年水果产量为吨，年水果产量为吨，求该果园水果产量的年平均增长率设该果园水果产量的年平均增长率为，则根据题意可列方程为( )
A. B.
C. D.
12.某药品经过两次降价，且第二次降低的百分率是第一次降低的百分率的倍，药品价格由每盒元调至元，若设第一次降低的百分率为，则根据题意，可得方程为( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由元降为元，求平均每次降价的百分率，设平均每次降价的百分率为，则可列方程为 ．
14.某商场将进价为元的台灯以单价元售出，平均每月能售出个．调查表明：这种台灯的单价每上涨元，其销售量将减少个．为实现平均每月元的销售利润，从消费者的角度考虑，商场对这种台灯的售价应定为 元．
15.月初，“胖东来启动帮扶步步高超市”这一词条冲上热搜，得到帮扶后的步步高超市月日当天的营业额是万元，月日的营业额是万元，假设营业额每天的平均增长率相同，可设为，那么可列出的方程是 ．
16.某品牌手机经过连续两次降价，每台售价由原来的元降到了元，设平均每次降价的百分率为，则所列方程为________________．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，在矩形中，厘米，厘米，点从点开始沿边向点以厘米秒的速度移动，点从点开始沿边向点以厘米秒的速度移动，如果，分别是从，同时出发，设时间为秒．
经过几秒时，的面积等于平方厘米？
经过几秒时，的面积等于矩形面积的？
18.本小题分
暑假期间，某商场购进一批价格为元的文化衫，根据市场预测，每件文化衫售价为元时，每周可售出件，售价每上涨元，销售量将减少件，为了维护消费者的利益，物件部门规定，该文化衫的售价不能超过进价的倍该商场为了确保这批文化衫每周的销售利润为元，每件文化衫应定价多少元？
19.本小题分
如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地，已知，，，，，小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，求这块空地铺满草坪的面积．
20.本小题分
今年年初一美丽的白鹅潭江面进行了以“活力湾区，新彩广州”为主题的烟花汇演，甲、乙两人从各自家前往最佳观赏点之一的洲头咀公园观看烟花汇演，由于当晚该公园附近路段实施了交通管制，甲先将车开到距离自己家千米的停车场后，再步行千米到达目的地，共花了小时．此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的倍．
求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？
乙是骑车前往与他家相距千米的目的地，若乙骑车的平均速度比甲步行的平均速度快千米小时，乙骑车时间比甲开车时间多小时，求的值．
21.本小题分
将两个大小相同的正方形如图摆放，重叠部分形成一个小正方形，按照此规律摆下去，得到下面一组图形：
请填写下表：
图形编号
大正方形个
小正方形个
第个图形中，有________个正方形；若第个图形中小正方形的个数是大正方形的倍，则________；
是否存在一个图形，这个图形中小正方形的个数是大正方形个数的平方？如果存在，求出图形的编号；如果不存在，请说明理由．
22.本小题分
来商店经市场调查发现：某种商品的周销售量件与售价元件的关系为，其售价与周销售利润元的三组对应值如表：
售价元件
周销售利润元
注：周销售利润周销售量售价进价
求该商品的进价；
求当该商品的售价是多少元件时，周销售利润为元？
周销售利润能达到元吗？如果能，请计算出此时的售价；如果不能，请说明理由。
23.本小题分
某校举办了“冰雪运动进校园”活动，计划在校园一块矩形的空地上铺设两块完全相同的矩形冰场．如下图所示，已知空地长，宽，矩形冰场的长与宽的比为，如果要使冰场的面积是原空地面积的，并且预留的上、下通道的宽度相等，左、中、右通道的宽度相等，那么预留的左、中、右通道的宽度是多少？
24.本小题分
我们知道，计算且为整数边形的对角线条数的公式为如果一个边形共有条对角线，那么可以得到方程整理，得，解得，且为整数，，即该多边形是八边形．
若一个多边形共有条对角线，则这个多边形的边数是多少？
同学说：“我求得一个多边形共有条对角线．”同学的说法正确吗？为什么？
25.本小题分
有一个两位数，个位数字与十位数字的和为，交换数字的位置后，得到的新两位数比这两个数字的积还大，求这个两位数．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为得到第一季度的营业额的等量关系是解决本题的关键．
【解答】
解：由题意得，
二月份的营业额为万元，
三月份的营业额为万元，
则由题意列方程应为，
即，
故选D
2.【答案】
【解析】解：依题意，拓展后的长为：，宽为，
矩形花坛四周扩展相同的宽度，得到面积为的新矩形花坛，
，
故选：．
拓展后的长为，宽为，根据矩形面积公式列方程即可．
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是会求拓展后的长和宽．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查平移的性质和一元二次方程的应用，解决此题的关键点是：由平移和正方形的性质可得等腰直角三角形；利用重叠部分面积为列一元二次方程．
【解答】
解：设交于点，
，，
是等腰直角三角形．
设，则，，
，
得，
即．
故选B．
4.【答案】
【解析】解：设票房收入的日均增长率为，根据题意得：
，
故选：．
设增长率记作，分别求得三天的收入，根据三天累计票房收入达万元，列方程即可求解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到等量关系是关键．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设门的宽为尺，则门的高为尺，利用勾股定理，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【解答】
解：设门的宽为尺，则门的高为尺，
依题意得：．
故选：．
6.【答案】
【解析】解：月份售价为万元，月均下降率是，月份售价为万元，
．
故选：．
首先根据月份售价为万元，月均下降率是可得出月份的售价为万元，月份的售价为万元，据此根据月份售价为万元可列出方程，进而可得出答案．
此题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，根据月均下降率是表示出月份的售价是解答此题的关键．
7.【答案】
【解析】解：设该公司，两个月营业额的月均增长率为，
根据题意可列的方程为，
故选：．
设该公司，两个月营业额的月均增长率为，根据第四季度的总营业额要达到万元，列方程即可得到结论．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，平均增长率问题，若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为．
8.【答案】
【解析】解：设全组有名同学，
则每名同学所赠的书签为：件，
那么名同学共赠：件，
所以，．
故选：．
先求每名同学赠的书签，再求名同学赠的书签，而已知全组共互赠了个，故根据等量关系可得到方程．
本题考查一元二次方程的实际运用：要全面、系统地弄清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
9.【答案】
【解析】解：设该公司，两个月营业额的月均增长率为，
根据题意可列的方程为，
故选：．
设该公司，两个月营业额的月均增长率为，根据第四季度的总营业额要达到万元，列方程即可得到结论．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，平均增长率问题，若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为．
10.【答案】
【解析】解：设这种电子产品的价格在这两年中平均每年下降，
根据题意可得：，
解得：，不合题意舍去，
即：这种电子产品的价格在这两年中平均每年下降．
故选：．
直接利用下降率求法今年年底的价格，进而得出答案．
此题主要考查了一元二次方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程得到年产量的等量关系是解决本题的关键．
年的产量年的产量，把相关数值代入即可．
【解答】
解：设该果园水果产量的年平均增长率为，则年的产量为吨，
年的产量为吨，
根据题意，得，
故答案为．
12.【答案】
【解析】解：由题意可得，
，
故选：．
根据第二次降低的百分率是第一次降低的百分率的倍，药品价格由每盒元调至元，可以列出相应的方程．
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
13.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程即可．
设该药品平均每次降价的百分率为，根据降价后的价格降价前的价格降价的百分率，则第一次降价后的价格是，第二次降价后的价格是，据此即可列方程求解．
【解答】
解：根据题意得：．
14.【答案】
【解析】略
15.【答案】．
【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程的应用，并属于变化率问题变化率问题一直是中考的热点，应重点掌握．
设营业额的平均每天的增长率为，月日的营业额为万元，则月日的营业额为，月日营业额为，即
【解答】
解：若营业额的平均每天的增长率为，
则由题意得，．
故答案为：．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是一元二次方程的运用，要注意题意指明的是降价，应该是而不是本题可先列出第一次降价的售价的代数式，再根据第一次的售价列出第二次降价的售价的代数式，然后根据已知条件即可列出方程．
【解答】
解：依题意得：第一次降价的售价为：，则第二次降价后的售价为：，
，
故答案为．
17.【答案】解：厘米，厘米．
根据题意，得，
整理，得，
解得，．
故经过秒或秒时，的面积等于平方厘米．
厘米，厘米，
根据题意，得，
整理，得，
解得，．
故经过秒或秒时，的面积等于矩形面积的．
【解析】此题考查了一元二次方程的应用，用到的知识点是三角形、矩形的面积公式，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
根据厘米，厘米，点从点开始沿边向点以厘米秒的速度移动，点从点开始沿边向点以厘米秒的速度移动，得出厘米，厘米，再根据三角形的面积公式列方程求解即可；
根据三角形的面积公式和矩形的面积公式列出方程，然后求解即可．
18.【答案】解：设每件文化衫的定价为元，则每周的销售量为件，
依题意，得：，
解得：，．
因为售价不能超过进价的倍，
所以，
所以不合题意，舍去，
所以．
答：每件文化衫应定价为元．
【解析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设每件文化衫的定价为元，则每周的销售量为件，根据每周销售利润每件的利润每周销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取符合题意的值即可得出结论．
19.【答案】
【解析】【分析】连接 ，根据勾股定理求出 ，根据勾股定理的逆定理证明 为直角三角形，分别求出 和 的面积，即可求出结果．
【详解】解：连接 ，如图所示：
， ， ，
，
， ，
，
为直角三角形，
，
，
这块空地铺满草坪的面积为： ．
【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握勾股定理和逆定理，准确计算．
20.【答案】解：设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
千米小时．
答：甲开车的平均速度是千米小时，甲步行的平均速度是千米小时
由题意可知，乙骑车的平均速度为千米小时时间为小时，
根据题意得：，
解得：，不符合题意，舍去．
答：的值为．
【解析】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；找准等量关系，正确列出一元二次方程．
设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时，利用时间路程速度，结合甲到达目的地共花了小时，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出甲步行的平均速度，再将其代入中，即可求出甲开车的平均速度；
利用路程速度时间，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
21.【答案】解：，，．
，
不存在．
由可知第个图形中小正方形的个数为个，大正方形的个数为个．
，
整理得：，
方程无解．
所以不存在一个图形，这个图形中小正方形的个数是大正方形个数的平方．
【解析】【分析】
本题考查图形变化的规律，能根据所给图形用含的代数式表示出第个图形中小正方形和大正方形的个数是解题的关键．
依次求出图形中小正方形和大正方形的个数即可解决问题．
根据中发现的规律即可解决问题．
根据中发现的规律即可解决问题．
【解答】
解：由所给图形可知，
第个图形中小正方形的个数为：，大正方形的个数为：
第个图形中小正方形的个数为：，大正方形的个数为：
第个图形中小正方形的个数为：，大正方形的个数为：
所以第个图形中小正方形的个数为个，大正方形的个数为个．
故答案为：，，，．
由发现的结论可知，
当时，
个，
即第个图形中正方形的个数个．
故答案为：．
由发现的结论可知，
，
解得，
故答案为：．
见答案．
22.【答案】解：当售价时，周销售量，
设每件进价为元，则：
，
，
该商品的进价为元件．
由题意得：
．
当时，，
解得：或，
当售价为元件或元件时，周销售利润为元．
周销售利润能达到元，
由表格可知：当售价为元件时，周销售利润即能达到元．
【解析】本题考查一元二次方程的应用、一次函数的应用，根据题意，建立关于进价和售价的方程是求解本题的关键．
建立关于进价的方程求解．
建立关于售价的方程求解．
周销售利润能达到元，根据表格即可得知．
23.【答案】解：设矩形冰场的长与宽分别为米、米，根据题意列方程得，
，
解得，，舍去，
则上、下通道的宽度为米，
左、中、右通道的宽度米，
答：预留的上、下通道的宽度和左、中、右通道的宽度分别是米和米．

【解析】【分析】设矩形冰场的长与宽分别为米、米，根据冰场的面积是原空地面积的列出方程，解方程后再求通道的宽度即可．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是准确把握题目中的数量关系，列出方程求解．
24.【答案】解：根据题意得：，
整理得：，
解得：或．
为大于等于的整数，
不合题意，舍去．
，即多边形是七边形．
同学说法是不正确的，理由如下：
当时，整理得：，
解得：，
符合方程的正整数不存在，
多边形的对角线不可能有条．
【解析】根据计算边形的对角线条数公式结合多边形的对角线有条，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
根据计算边形的对角线条数公式结合多边形的对角线有条，即可得出关于的一元二次方程，解之由方程的解不含正整数，可得出多边形的对角线不可能有条．
本题考查了一元二次方程的应用，根据计算边形的对角线条数公式结合多边形的对角线的条数，找出关于的一元二次方程是解题的关键．
25.【答案】解：设个位数字为，则十位数字为，两数字之积为，两个数字交换位置后的数为．
由题意得，
整理得，
解得，．
，不合题意，舍去．
．
当时，，
原数为．
答：这个两位数是．
【解析】本题考查的是一元二次方程的应用有关知识，设个位数字为，则十位数字为，两数字之积为，两个数字交换位置后的数为，根据题意的数量关系，列出方程即可．
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