3.1用树状图或表格求概率 北师大版初中数学九年级上册同步练习（含详细答案解析）

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3.1用树状图或表格求概率北师大版初中数学九年级上册同步练习
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某公园有，，，四个入口，每个游客都是随机从一个入口进入公园，则甲、乙两位游客恰好从同一个入口进入公园的概率是( )
A. B. C. D.
2.小彬和小颖计划从王维、柳宗元、白居易、王勃四位唐代山西诗人中任选一位撰写研习报告，则他们恰好选择的是同一位诗人的概率是( )
A. B. C. D.
3.为丰富学生的校园生活，各校积极开展课后服务项目某校设置了篮球、足球、乒乓球、羽毛球四个球类项目，每个同学可选择其中一个项目，问：小明和小王同时选中同一个项目的概率是( )
A. B. C. D.
4.五一期间，某商场设计了一个“玩转盘，享优惠”活动：如图所示的转盘盘面被分成四个相等的扇形区域，并分别标有文字满江红、红旗渠、殷墟、大峡谷若转动转盘两次，每次转盘停止后指针所指区域都是“满江红”，将获得一张优惠券当指针恰好指在分界线上时重转小王转动转盘两次，获得优惠券的概率为( )
A. B. C. D.
5.在瓶饮料中，有瓶已过保质期，从这瓶饮料中任取瓶，取到瓶都不过期的概率为( )
A. B. C. D.
6.中国古代将天空分成东、北、西、南、中区域，称东方为苍龙象，北方为玄武龟蛇象，西方为白虎象，南方为朱雀象，是为“四象”现有四张正面分别印有“苍龙象”“玄武象”“白虎象”“朱雀象”的不透明卡片除正面图案外，其余完全相同，将其背面朝上洗匀，并从中随机抽取一张，记下卡片正面上的图案后放回，洗匀后再从中随机抽取一张，则抽到的两张卡片恰好是“苍龙象”和“朱雀象”的概率为( )
A. B. C. D.
7.将分别标有“最”、“美”、“武”、“汉”四个汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字不同外其他完全相同，每次摸球前先搅匀，随机摸出一球，放回摸出的球后再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字可以组成“武汉”的概率是( )
A. B. C. D.
8.实验室中存放有，两组溶液，从两组中各随机选一瓶溶液滴入同一试管中能够反应生成氯化钙溶液的概率为( )
A. B. C. D.
9.小明忘记了旅行箱密码的后两位数字，只记得都是奇数，且这两个数字不同，小明随机输入，则他一次能打开密码锁的概率为( )
A. B. C. D.
10.如图是甲、乙两人手中的扑克牌，两人同时随机各出一张牌，则他们所出的牌中的数字相差的概率为( )
A. B. C. D.
11.年月日，农历三月初三，在新郑市举办了一年一度的拜祖大典海内外的炎黄子孙共同拜祭始祖轩辕黄帝，祈祷中华民族繁荣富强小明趁机制作了四张分别印有“繁”“荣”“富”“强”字样，质地均匀、大小相同的卡片放入盒中，打算用抽签的方式为国祈福他从中随机抽取一张不放回，再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上恰有一张印有汉字“富”的概率为( )
A. B. C. D.
12.不透明的袋子中有红，黄，绿三个小球，这三个小球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，两次摸出的小球的颜色相同的概率是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.下列不透明布袋中有若干个球，它们除颜色外无其他差别．
一个布袋中有个红球、个白球，先随机摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，再随机摸出一个球，则两个球颜色不同的概率是 ；
一个布袋中有个红球、个白球，随机摸出一个球后不放回，再随机摸出一个球，则两个球颜色不同的概率是 ；
两个布袋，一个布袋中有个红球、个白球，另一个布袋中有个黄球、个红球，从两个布袋中各随机摸出个球，则摸出的两个球颜色相同的概率是 ．
14.经过十字路口处的两辆汽车，可能直行，也可能右转，如果这两种可能性大小相同，则至少有一辆向右转的概率是 ．
15.罗浮山、丹霞山、西樵山、鼎湖山是广东四大名山，游客甲和游客乙都计划从这四大名山中任选一座游玩，则他们都选择游玩同一座山的概率为_________．
16.某校组织学生志愿者周末到福利院开展献爱心志愿服务活动，九班决定从，，，四名志愿者中随机抽取两名志愿者参加，则，两名志愿者同时被选中的概率是__________．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
某品牌免洗洗手液按剂型分为凝胶型、液体型，泡沫型三种型号分别用，，依次表示这三种型号小辰和小安计划每人购买一瓶该品牌免洗洗手液，上述三种型号中的每一种免洗洗手液被选中的可能性均相同．
小辰随机选择一种型号是凝胶型免洗洗手液的概率是______；
请你用列表法或画树状图法，求小辰和小安选择同一种型号免洗洗手液的概率．
18.本小题分
为了规范业主摆放机动车，某小区画出了一些停车位．如图，四个空停车位，标号分别为，，，，如果有两辆机动车要随机停在这四个停车位中的两个里边，小明认为这两辆机动车停在“标号是一个奇数和一个偶数”停车位，跟这两辆机动车都停在“标号同是奇数或同是偶数”停车位的可能性相等．小明的想法对吗？请用列表或画树状图的方法说明你的理由．
19.本小题分
张老师把微信运动里“好友计步榜”排名前的好友一天行走的步数做了整理，绘制了如下不完整的统计图表：
组别 步数分组 频率
合计
根据信息解答下列问题：
填空：______，______，并补全条形统计图；
这名朋友一天行走步数中位数落在______组；填组别
张老师准备随机给排名前名的甲、乙、丙、丁中的两位点赞，请求出甲、乙被同时点赞的概率．
20.本小题分
在月日“世界读书日”来临之际，某校为了了解学生的课外阅读情况，从全校随机抽取了部分学生，调查了他们平均每周的课外阅读时间单位：小时把调查结果分为四档，档：；档：；档：；档：根据调查情况，给出了部分数据信息：
档和档的所有数据是：，，，，，，，，，，，；
图和图是两幅不完整的统计图．
根据以上信息解答问题：
求本次调查的学生人数，并将图补充完整；
已知全校共名学生，请你估计全校档的人数；
学校要从档的名学生中随机抽取名作读书经验分享，已知这名学生名来自七年级，名来自八年级，名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求抽到的名学生来自不同年级的概率．
21.本小题分
小明随机调查了若干市民租用共享单车的骑车时间单位：分，将获得的数据分成四组，绘制了如图的统计图，根据图中信息，解答下列问题：：，：，：，：．
这项被调查的总人数是多少人？
求表示组的扇形统计图的圆心角的度数，补全条形统计图．
如果小明向从组的甲乙丙丁人中随机选择两人了解平时租用共享单车情况，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲的概率．
22.本小题分
丁丁、龙龙两人在一座六层大楼的第层进入电梯，从第层到第层，丁丁、龙龙两人各随机选择一层离开电梯．
丁丁离开电梯的楼层恰好是第层的概率是______；
求丁丁、龙龙两人离开电梯的楼层恰好相邻的概率．
23.本小题分
为庆祝中华人民共和国成立周年，某中学开展“祖国在我心中”征文比赛，随机调查了名学生的比赛成绩成绩满分分作为样本进行整理，并绘制统计图表，部分信息如下：
被抽查学生的比赛成绩统计表
组别 分数 人数
请根据以上信息，完成下列问题：
填空：________，组所在扇形的圆心角为________；
该校共有名学生参赛，若分以上为优秀，估计参赛学生的优秀人数；
已知组中有名女生和名男生获得满分，从中任意抽取两人代表学校参加市级比赛，求抽取的两人恰好是一男一女的概率．
24.本小题分
京剧脸谱是京剧艺术独特的表现形式．京剧表演中，经常用脸谱象征人物的性格，品质，甚至角色和命运．如红脸代表忠心耿直，黑脸代表强悍勇猛．现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“红脸”，另外一张卡片的正面图案为“黑脸”，卡片除正面图案不同外，其余均相同，将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．
请用画树状图或列表的方法，求抽出的两张卡片上的图案都是“红脸”的概率．图案为“红脸”的两张卡片分别记为、，图案为“黑脸”的卡片记为
25.本小题分
某校为了加强初一同学们的安全意识，随机抽取部分同学进行了一次安全知识测试，按照测试成绩从高到低分为优秀、良好、合格和不合格四个等级，绘制了如下不完整的统计图．
参加测试的学生有 人，等级为合格的学生的占比为
该年级有名学生，请估计该年级安全意识较强测试成绩能达到良好及以上等级的学生有 人
成绩为优秀的甲、乙两同学被选中参加安全宣讲活动，该活动随机分为，两组求甲、乙两人恰好分在同一组的概率．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式求事件或的概率．
画树状图列出所有等可能结果，从中确定出甲、乙两位游客恰好从同一个入口进入公园的结果数，再利用概率公式计算可得．
【解答】
解：画树状图如下：
由树状图知共有种等可能结果，其中甲、乙两位游客恰好从同一个入口进入公园的结果有种，
所以甲、乙两位游客恰好从同一个入口进入公园的概率为．
故选B
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查列表法与树状图法，数练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
画树状图可得出所有等可能的结果数以及他们恰好选择的是同一位诗人的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】
解：将王维、柳宗元、白居易、王勃四位唐代山西诗人分别记为，，，，
画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中他们恰好选择的是同一位诗人的结果有：，，，，共种，
他们恰好选择的是同一位诗人的概率为．
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查的是用列举法求概率的有关知识，篮球、足球、乒乓球和羽毛球这四个活动项目依次用、、、表示，列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】
解：篮球、足球、乒乓球和羽毛球这四个活动项目依次用、、、表示，
列表如下：
共有种等可能的结果数，其中小明和小王同时选中同一个项目有种结果，
小明和小王同时选中同一个项目的概率为．
4.【答案】
【解析】解：满江红、红旗渠、殷墟、大峡谷分别用数字、、、表示，
根据题意画树状图如下：
可知共有种情况，两次都是的只有一种情况，
所以小王转动转盘两次，获得优惠券的概率为．
故选：．
画树状图得出所有等可能的结果数和两次转盘停止后指针所指区域都是“满江红”的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
5.【答案】
【解析】解：把已过保质期的饮料记为，不过保质期的饮料记为，
画树状图如图：
共有个等可能的结果，取到瓶都不过期的结果有个，
取到瓶都不过期的概率为，
故选：．
画树状图，共有个等可能的结果，取到瓶都不过期的结果有个，再由概率公式求解即可．
此题考查了列表法与树状图法求概率；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查的是用列举法求概率的有关知识，画树状图得出所有等可能的结果数以及抽到的两张卡片恰好是“苍龙象”和“朱雀象”的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】
解：将“苍龙象”“玄武象”“白虎象”“朱雀象”的不透明卡片分别记为，，，，
画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是“苍龙象”和“朱雀象”的结果有：，，共种，
抽到的两张卡片恰好是“苍龙象”和“朱雀象”的概率为．
7.【答案】
【解析】解：将写有“最”、“美”、“武”、“汉”四个汉字的小球分别记为：、、、，
画树状图如下：
由图可知共有种，其中两次摸出球上汉字可以组成“武汉”的结果有种，即，，
两次摸出的球上的汉字可以组成“武汉”的概率为：，
故选C．
根据题意画出树状图即可得到两次摸出球上汉字可以组成“武汉”的概率．
本题考查了用树状图求概率，树状图可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件，熟记概率公式是解题的关键．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是列举法求概率有关知识，列举出所有等可能结果，然后再求概率
【解答】
解：根据题意，所有可能的结果有：和，和，和，和，共种，其中能够反应生成氯化钙溶液的只有和一种，所以能够反应生成氯化钙溶液的概率为．
9.【答案】
【解析】解：由题意画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中小明一次能打开密码锁的结果有种，
小明一次能打开密码锁的概率为，
故选：．
画树状图，共有种等可能的结果，其中小明一次能打开密码锁的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查了树状图法以及概率公式．正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
10.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了列表法或树状图法求概率的知识．画树状图，共有个可能的结果，使得所出的牌中的数字相差的结果有个，由概率公式求解即可．
【解答】
解：树状图如下：
所有可能的结果有种，使得所出的牌中的数字相差的结果有个，
使得所出的牌中的数字相差的概率为，
故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是列举法求概率，概率公式有关知识，列出出所有等可能结果，然后求出抽取的两张卡片上恰有一张印有汉字“富”的结果数，最后利用概率公式计算
【解答】
解：“繁”“荣”“富”“强”分别用，，，表示
则，，，，，，，，，，，共种，
抽取的两张卡片上恰有一张印有汉字“富”结果数为种
则抽取的两张卡片上恰有一张印有汉字“富”的概率为
12.【答案】
【解析】【分析】本题考查概率的求法，如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中出现种可能，那么事件的概率．
画树状图列出等可能得结果，从中找到符合条件的结果数，再根据公式求出结果．
【详解】解：根据题意画出树状图如下：
共有种等可能的结果，其中两次摸出的小球的颜色相同的有种，则两次摸出的小球的颜色相同的概率是．
故选B．
13.【答案】【小题】
【小题】

【小题】

【解析】 略
略
略
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式求事件或的概率．
画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解可得．
【解答】
解：画树状图如下：
由树状图知，共有种等可能结果，其中至少有一辆向右转的有种等可能结果，
所以至少有一辆向右转的概率为．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式计算事件或事件的概率．
画树状图展示所有种等可能的结果数，找出他们都选择游玩同一座山的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】
解：把罗浮山、丹霞山、西樵山、鼎湖山记为，，，，画树状图为：
共有种等可能的结果数，其中他们都选择游玩同一座山的结果数，
所以小欢和小乐都选择去香草湖游玩的概率
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查用列举法求概率列表法与树状图法，概率公式．
根据题意先画出树状图得到所有等可能的结果数，再找出符合条件的结果数，最后根据概率公式计算即可．
【解答】
解：画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中则，两名志愿者同时被选中的结果有种，
则，两名志愿者同时被选中的概率为．
17.【答案】解：；
列表如下：
由表可知，共有种等可能结果，其中小辰和小安选择同一种型号免洗洗手液有种结果，
小辰和小安选择同一种型号免洗洗手液的概率为．
【解析】直接根据概率公式求解即可；
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题主要考查用列表法或画树状图法求概率，掌握用列表法或画树状图法求概率的方法是解题关键．
解：小辰随机选择一种型号是凝胶型免洗洗手液的概率是．
故答案为：；
见答案．
18.【答案】解：小明的想法不对，理由如下：
画树状图如图：
共有种等可能的结果，这两辆机动车停在“标号是一个奇数和一个偶数”停车位的结果有种，
这两辆机动车都停在“标号同是奇数或同是偶数”停车位的结果有种，
这两辆机动车停在“标号是一个奇数和一个偶数”停车位的概率为，
这两辆机动车都停在“标号同是奇数或同是偶数”停车位的概率为，
，
小明的想法不对．
【解析】画树状图，共有种等可能的结果，这两辆机动车停在“标号是一个奇数和一个偶数”停车位的结果有种，这两辆机动车都停在“标号同是奇数或同是偶数”停车位的结果有种，再由概率公式分别求出概率，即可求解．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
19.【答案】， ；
；
画树状图如下：
共有种等可能的结果数，其中甲、乙被同时点赞的结果数为，
甲、乙被同时点赞．
【解析】解：组人数为，
则，，
故答案为；；
，组共有人，
这名朋友一天行走步数的中位数落在组；
故答案为；
见答案；
【分析】
分别用组、组的频数除以总人数得到、的值；
利用中位数的定义进行判断；
画树状图展示种等可能的结果数，找出甲、乙被同时点赞的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率所求情况数与总情况数之比．
20.【答案】解：由于档和档共有个数据，而档有个，
因此档共有：人，
人，
补全图形如下：
人，
答：全校档的人数为．
用表示七年级学生，用表示八年级学生，用和分别表示九年级学生，画树状图如下，
因为共有种等可能的情况数，其中抽到的名学生来自不同年级的有种，
所以．
【解析】用档和档所有数据数减去档人数即可得到档人数，用档人数除以所占百分比即可得到总人数；用总人数减去档，档和档人数，即可得到档人数，从而可补全条统计图；
先求出档所占百分比，再乘以即可得到结论；
分别用，，，表示四名同学，然后通过画树状图表示出所有等可能的结果数，再用概率公式求解即可．
本题考查条形统计图以及树状图法，注意结合题意中“写出所有可能的结果”的要求，使用列举法，注意按一定的顺序列举，做到不重不漏．
21.【答案】解：调查的总人数是：人；
组所占圆心角的度数是：；
组的人数有：人，
补全条形图如图所示，
画树状图，共有个可能的结果，
恰好选中甲的结果有个，
恰好选中甲．

【解析】根据组的人数和所占的百分比，即可求出这次被调查的总人数即可；
用乘以组所占的百分比，求出组的扇形圆心角的度数，再用总人数减去、、组的人数，求出组的人数，从而补全统计图；
画出树状图，由概率公式即可得出答案．
本题考查了列表法与树状图法、条形统计图的综合运用．熟练掌握画树状图法，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
22.【答案】解：；
画树状图为：
共有种等可能的结果，其中丁丁、龙龙两人离开电梯的楼层恰好相邻的结果数为，
所以丁丁、龙龙两人离开电梯的楼层恰好相邻的概率．
【解析】【分析】
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式求出事件或的概率．
直接根据概率公式计算；
利用树状图展示所有种等可能的结果，再找出丁丁、龙龙两人离开电梯的楼层恰好相邻的结果数，然后根据概率公式计算．
【解答】
解：丁丁离开电梯的楼层恰好是第层的概率为；
故答案为：；
见答案．
23.【答案】，
解：组人数为人，组人数为人，
人，
估计参赛学生的优秀人数为人
树状图如下：表示女生，表示男生
一共有种等可能的情况，其中恰好是一男一女的有种，
选中的两名同学恰好是一男一女的概率．
【解析】【分析】
本题考查的是画树状图求概率，扇形统计图，样本估计总体有关知识
利用组人数除以组人数的占比即可解答，再利用乘以组的占比即可
分别求出组和租人数，然后再进行计算
画出树状图，然后再利用概率公式计算
【解答】
解：人
见答案
见答案
24.【答案】画树状图为：
由树状图可知，所有可能出现的结果共有种，其中两次抽取的卡片上都是“红脸”的结果有种，所以两张都是“红脸”，
答：抽出的两张卡片上的图案都是“红脸”的概率是．

【解析】【分析】根据题意画出树状图，求出所有的情况数和两次抽取的卡片上都是“红脸”的情况数，再根据概率公式计算即可．
【点睛】本题考查了概率的求法．用到的知识点为数状图和概率，概率所求情况数与总情况数之比，关键是根据题意画出树状图．
25.【答案】解： ；；
；
画树状图如下：
可得一共有种可能，甲、乙两人恰好分在同一组有种，
所以甲、乙两人恰好分在同一组的概率为．
【解析】解：抽取的学生数：人；
等级为合格的学生有：人，
等级为合格的学生比例为：；
故答案为：，；
根据题意得：
人，
则估计全校安全意识较强测试成绩能达到良好及以上等级的学生有人；
见答案
利用良好的人数除以良好的人数所占的百分比可得抽查的人数，然后求出合格的学生的比例即可；
用总人数乘以测试成绩能达到良好及以上等级的学生所占的百分比即可得出答案；
直接利用树状图法求出所有可能，进而求出概率．
此题主要考查了树状图法求概率以及扇形统计图和条形统计图的应用，由图形获取正确信息是解题关键．
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