4.1成比例线段 北师大版初中数学九年级上册同步练习（含详细答案解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
4.1成比例线段北师大版初中数学九年级上册同步练习
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则的值为( )
A. B. C. D.
2.秦兵马俑的发现被誉为“世界第八大奇迹
，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比等于头顶到眼睛的距离与眼睛到下巴的距离之比，则这个比值( )
A. B. C. D.
3.下列四组线段中，不是成比例线段的是( )
A.
B.
C.
D.
4.以下列长度同一单位为长的四条线段中，不成比例的是( )
A. ，，， B. ，，，
C. ，，， D. ，，，
5.若，则等于( )
A. B. C. D.
6.已知，则分式的值为 ( )
A. B. C. D.
7.若，则下列等式成立的是
A. B. C. D.
8.如果，且
，那么的值为
( )
A. B. C. D.
9.已知，则( )
A. B. C. 或 D.
10.在比例尺为的地图上测得、两地间的图上距离为，则、两地间的实际距离为 ．
A. B. C. D.
11.已知，则下列式子中正确的是( )
A. B.
C. D.
12.如果，那么等于( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.若，且，则________．
14.已知，则的值为______．
15.已知，且：：：：，则____________．
16.盐宜铁路是一条南北向高速铁路，预计年第三季度开工建设，它北起盐城，沿线经过泰州、无锡、常州等地，最终到达宜兴．在比例尺为的地图上，盐城、宜兴两地的图上距离是厘米，那么盐城、宜兴两地的实际距离为 千米．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算：已知，，求的值．
已知，求的值．
18.本小题分
已知线段、、满足，且．
求、、的值
若线段是线段、的比例中项，求的值．
19.本小题分
已知，且，求的值．
20.本小题分
已知，，求代数式的值．
21.本小题分
已知：，求代数式的值．
22.本小题分
已知，，为的三边，，且，求的面积．
23.本小题分
已知线段，，求线段，的比例中项．
已知：：，求的值．
24.本小题分
如图所示，在线段上有、两点，已知，，且线段是线段和的比例中项，求线段的长．
25.本小题分
在一幅比例尺是：的地图上，量得甲、乙两个城市之间高速公路的距离是若，两辆车同时从甲、乙两城市沿高速公路对开，车每小时行车每小时行．
求甲、乙两地的实际距离？
出发小时后，车与车相距多少千米？
出发多少小时后，车与车相距？
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
．
故选：．
先把化成，再把代入进行计算，即可得出答案．
此题考查了比例的性质，解题的关键是化成．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查成比例线段，黄金分割等知识．
设兵马俑的眼睛到下巴的距离为，头顶到下巴的距离为，则头顶到眼睛的距离，得出比例线段，得出，的关系即可．
【解答】
解：设兵马俑的眼睛到下巴的距离为，头顶到下巴的距离为，则头顶到眼睛的距离，
由题意可得：
，负值舍去
则
3.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了成比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．同时注意单位要统一．
根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．
【解答】
解：、，是成比例线段，故本选项不符合题意；
B、，是成比例线段，故本选项不符合题意；
C、，不是成比例线段，故本选项符合题意；
D、，是成比例线段，故本选项不符合题意．
故选C．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查比例线段的判定方法其方法有二一是：将四条线段按大小顺序排列，计算前两条线段的比与后两条线段的比，若两个比值相等，则四条线段成比例线段若两个比值不相等，则四条线段不成比例线段但线段的单位不一致，首先应统一单位。二是：看是否有两条线段长的积等于其余两条线段长之积有则成比例，没有则不成比例通常用最大的数与最小的数之积与其余两个数之积比较通过计算比较即可得答案．
【解答】
解：由于，所以，，，成比例；
B.由于，所以，，，不成比例；
C.由于，所以，，，成比例；
D.由于，所以，，，成比例．
故选B．
5.【答案】
【解析】解：，
设，，
．
故选B．
利用合比性质即可求解．
本题考查了比例的性质，掌握合比性质是解题的关键．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查分式的化简求值解题的关键是能够对已知条件和代数式进行正确的变形，难度不大．首先将已知条件变形为，从而得到，然后将原式变为，整体代入求解即可．
【解答】
解：，
，即，
原式
．
故选A．
7.【答案】
【解析】解：，，故C错误；D正确；
，，故A错误；
，，故B错误；
故选：．
根据比例的性质逐个判断即可．
本题考查了比例的性质，能选择适当的方法求解是解此题的关键，注意：如果，那么．
8.【答案】
【解析】解：首先，根据题目中的条件，我们可以得到、、的值：

接下来，我们计算、、的和：
，
最后，根据题目中的另一个条件，我们可以求出的值：
。
故答案为：的值为。
9.【答案】
【解析】解：分两种情况：
当时，根据等比性质，
得；
当时，
则，．
综上所述，的值为或．
故选：．
分两种情况进行讨论：当时，根据等比性质计算得出结果；当时，则，代入计算得出结果．
本题考查了比例的性质，熟悉等比性质：若，则特别注意条件的限制分母是否为进行分类讨论是解题的关键．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查比例线段，掌握比例尺是解题的关键．
根据比例尺求解即可．
【解答】
解：设、两地间的实际距离为，
根据题意得，
解得．
所以、两地间的实际距离为．
故选B．
11.【答案】
【解析】解：、若，则，故本选项错误，不符合题意；
B、若，则，故本选项正确，符合题意；
C、若，：：不成立，故本选项错误，不符合题意；
D、若，：：不成立，故本选项错误，不符合题意；
故选：．
根据比例的性质，逐项判断即可求解．
本题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了比例的性质和代数式的求值，因为，所以，代入求解即可．
【解答】
解：，
，
原式．
故选C．
13.【答案】
【解析】解：，
由比例性质，得，
．
故答案为：．
根据比例性质，由得到，结合已知可得答案．
本题考查了比例等性质．
14.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了比例的性质，正确将已知变形是解题关键．直接利用已知条件，将原式变形化简求出答案．
【解答】
解：，
，
则，
则．
故答案为．
15.【答案】
【解析】解：：：：：，
设，，，
，
，
解得：，
，，，
，
故答案为：．
利用设法进行计算，即可解答．
本题考查了比例的性质，熟练掌握设法是解题的关键．
16.【答案】
【解析】【分析】
根据“比例尺图上距离与实际距离的比”进行作答即可得出答案．
本题主要考查比例尺，熟练掌握“比例尺图上距离与实际距离的比”是解题的关键．
【解答】
解：：厘米千米．
故答案为：．
17.【答案】解：，，
，，
原式
；
，
，，，
原式
．
【解析】本题考查的是二次根式的化简求值和比例的性质，掌握二次根式的加减法法则、乘法法则、完全平方公式和比例的性质是解题的关键．
根据二次根式的加法法则求出，根据二次根式的乘法法则求出，利用完全平方公式把原式变形，代入计算即可；
根据比例的性质得，，，代入所求的式子即可求出答案．
18.【答案】解：设，
则，，．
因为，
所以，解得，
所以，，．
因为线段是线段、的比例中项，
所以，
所以舍负．

【解析】【分析】本题考查比例的性质和比例线段根据比例的性质和比例线段的定义求解即可．
设，然后用表示出、、，再代入等式求解得到，然后求解即可；
根据比例中项的定义列式求解即可．
19.【答案】解：设，则，，，
，
，
，
，，，
．
【解析】设，得出，，，再根据，求出的值，然后得出，，的值，从而得出的值．
此题考查比例的性质，关键是设，得出的值．
20.【答案】解：
，
，
，
原式．
【解析】此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时分式的分子分母出现多项式，应将多项式分解因式后再约分．
将所求式子第一个因式的分母利用平方差公式分解因式，约分后得到最简结果，然后由已知的等式用表示出，将表示出的代入化简后的式子中计算，即可得到所求式子的值．
21.【答案】解：
，
，
，
原式
．
【解析】此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时分式的分子分母出现多项式，应将多项式分解因式后再约分．
将所求式子第一个因式的分母利用平方差公式分解因式，约分后得到最简结果，然后由已知的等式用表示出，将表示出的代入化简后的式子中计算，即可得到所求式子的值．
22.【答案】解：设，
所以，，，
把，，代入，
可得：，
解得：，
，，，
，，
，
是直角三角形，
的面积．
【解析】根据比例的性质得出，，的值，再根据勾股定理的逆定理和三角形的面积公式解答即可．
此题考查勾股定理的逆定理和三角形面积，关键是根据比例的性质得出，，的值解答．
23.【答案】解：设线段是线段，的比例中项，
，，
：，
，
，
，
，
线段，的比例中项是．
：：，
设，，
．
【解析】本题考查了比例中项的概念，熟练掌握比例中项的概念是解题的关键．设线段是线段，的比例中项，根据比例中项的定义列出等式，利用两内项之积等于两外项之积即可得出答案．
本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．设，，代入计算，于是得到结论．
24.【答案】解：，，
，
线段是线段和的比例中项，
，
即，
解得：．
【解析】根据题意列方程即可得到结论．
本题考查了比例线段，一元二次方程的解法，正确的理解题意是解题的关键．
25.【答案】解：厘米，
厘米千米．
故甲、乙两地的实际距离是千米；
千米．
故出发小时后，车与车相距千米；
设出发小时后，车与车相距，
相遇前车与车相距，依题意有：
，
解得；
相遇后车与车相距，依题意有：
，
解得．
故出发或小时后，车与车相距．
【解析】根据实际距离图上距离比例尺，列出算式计算即可求解；
根据路程和速度和时间求出车与车行驶路程，进一步可求车与车相距多少千米；
可设出发小时后，车与车相距，分两种情况讨论即可求解．
本题主要考查了一元一次方程的应用，比例线段，根据车与车相距分类讨论得出是解题关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)