4.2平行线分线段成比例 北师大版初中数学九年级上册同步练习（含详细答案解析）

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4.2平行线分线段成比例北师大版初中数学九年级上册同步练习
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.一段加固后的护栏如图所示，该护栏竖直部分是由等距相邻的两根木条之间的距离相等且平行的木条构成已知，则的长度为( )
A. B. C. D.
2.如图，已知是平行四边形的对角线，点是的延长线上一点连接分别交，于点，下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
3.如图，在中，点，，分别在边，，上，若，，则下面所列比例式中正确的是( )
A. B. C. D.
4.如图，直线，直线，，分别交直线，于点，，，，，，若，，，则( )
A.
B.
C.
D.
5.如图，在中，是边上的中线，是的中点，连接交于点，则的值为( )
A. B. C. D.
6.在中，已知，，，则的长为( )
A. B. C. D.
7.如图，与相交于点，点在线段上，且若，，，则的值为( )
A. B. C. D.
8.小明按照以下步骤画线段的三等分点：
画法 图形
以为端点画一条射线； 用圆规在射线上依次截取条等长线段、、，连接； 过点、分别画的平行线，交线段于点、，、就是线段的三等分点．
这一画图过程体现的数学依据是( )
A. 两直线平行，同位角相等
B. 两条平行线之间的距离处处相等
C. 垂直于同一条直线的两条直线平行
D. 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
9.如图，已知，，，那么下列结论正确的是( )
A. ：： B. ：：
C. ：： D. ：：
10.如图，正的边长为，点从点出发，沿方向运动，于点，下面是的面积随着点的运动形成的函数图象拐点左右两段都是抛物线的一部分，以下判断正确的是( )
A. 函数图象的横轴表示的长
B. 当点为中点时，点为线段的三等分点
C. 两段抛物线的形状不同
D. 图象上点的横坐标为时，纵坐标为
11.如图，中，，，点在的延长线上，且，连接并延长，作于，若，则的面积为( )
A. B. C. D.
12.如图，，直线、与这三条平行线分别交于点、、和点、、，若，，，则的长等于( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.如图，是的中线，点在上，延长交于点若，，则 ．
14.如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个沿点到点的方向平移到的位置，，，平移距离为，则阴影部分的面积为 ．
15.如图，在中，是的中点，的角平分线交于点，若，，则的周长为__________．
16.如图，是等边三角形，点在的延长线上，点在上，且，若的边长为，，则的长为
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形中，顶点，，是格点，顶点是网格线上一点，是上一格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
在图中，将绕点逆时针旋转，画出旋转后的线段，再在上画一点，使平分；
在图中，先画矩形，再在上画一点，使平分四边形的面积．
18.本小题分
定义：若直角三角形的两直角边的比值为为正整数，这样的直角三角形称为“”
利用尺规在图中作出以点为直角顶点，以为直角边的“”；作出一种情况即可
如图，已知是“”，其中，，点在斜边上，且，过点作于点，连接，证明是“”；
如图，已知是“”为正整数，其中，，利用尺规作图在中作出一个，使得是“”其中
19.本小题分
如图，在等边中，点，分别在，的延长线上，且，的延长线交于点．

求的度数；
延长至点，使，连接交于点，依题意补全图形，猜想线段与的数量关系，并证明．
20.本小题分
学习相似三角形后，曾老师开展了一节探索黄金分割之旅的活动课．
【背景资料】黄金分割是一种数学上的比例关系如图，点把线段分成和两部分，如果，那么称点为线段的黄金分割点，叫做黄金分割比黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，在人体、建筑、美学等很多方面都有广泛应用，蕴藏着丰富的美学价值几何图形中的黄金分割，造就了图形不一样的美如图和图，都是黄金三角形腰与底的比或底与腰的比等于黄金比如图，矩形是黄金矩形宽与长的比等于黄金比．
【知识探究】直角三角形中的黄金分割
活动一：如图，在中，，是边上的高以为边，作 ，使得点，分别落在边，上要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹
活动二：在活动一的条件下，若，求证：点是线段的黄金分割点．
21.本小题分
如图，在菱形中，，为对角线，点是边延长线上的任意一点，连结交于点，平分交于点．
求证；
若，．
求菱形的面积；
求的值．
22.本小题分
如图，在中，，，，是中点，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿折线方向运动．设运动时间为秒，点到直线的距离与点到点的距离之和记为．
请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围；
在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出该函数的一条性质；
结合函数图象，直接写出的图象与函数的图象有两个公共点时的取值范围．
23.本小题分
已知是的中线，是线段上一点，过点作的平行线，过点作的平行线，两平行线交于点，连接．
如图，当点与点重合时，求证：≌．
如图，当点与点不重合时，求证：四边形是平行四边形．
如图，记与的交点为，的延长线与的交点为，且为的中点．
求的值；
若，，求的长．
24.本小题分
如圖，已知，，，，求的長度．
25.本小题分
如图，在中，是的中点，点在上，，交于点．
求证：；
若，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查的是平行线分线段成比例，属于基础题；过点作交于点，交于点，根据，可得对应比例，求解即可；
【解答】
解：过点作交于点，交于点，
，
，
，
．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查平行四边形的性质以及平行线分线段成比例．
先根据平行四边形的性质得到，，再利用平行线分线段成比例解答即可．
【解答】
解：四边形是平行四边形，
，，
，，
，
即，
故选C．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了平行线分线段成比例定理有关知识，根据平行线分线段成比例定理找准线段的对应关系，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】
解：，
，，
，选项A不正确；
，，
，，，
，
，选项B不正确；
，
，选项C正确；
，，
，，，
，选项D不正确；
故选C．
4.【答案】
【解析】解：，
，
，，，
，
解得：，
故选：．
根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是平行线分线段对应成比例有关知识，过点作交于点，由是边上的中线，可得出，由，利用平行线分线段成比例，可求出，由是的中点，可得，进而可得出：的值．
【解答】
解：过点作交于点，如图所示，
是边上的中线，
．
，
，
是的中点，
，
，
，
，
．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查的是平行线分线段成比例的有关知识，先根据平行线分线段成比例得到，求出，进而求出．
【解答】
解：，，
，
，
，
，
7.【答案】
【解析】解：设，
，，
，
，
，
，
解得，
，
．
故选：．
设，则，求出，由即可求出的值．
本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：，
：：：：，
，
，
这一画图过程体现的数学依据是两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，
故选：．
根据平行线分线段成比例定理解答即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，尺规作图，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了平行线分线段成比例定理、比例的性质；由平行线分线段成比例定理得出是解决问题的关键．
由平行线分线段成比例定理得出，由比例的性质得出，即可得出结论．
【解答】
解：，
，
，
：：；
故选B．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查的是动点函数的图象，三角形的面积，平行线分线段成比例等有关知识，的有关知识，第二个图形中点在两段函数中，是关键点结合第一个图形，可得此时点移动到点，在的中点，那么，的面积为所以横轴表示的长，故A错误当为的中点时，作于点，可得，根据平行线分线段成比例定理可得，那么，为的四等分点，那么B错误根据在和上，分别计算出的面积，得到相应函数解析式，看二次项的比例系数的绝对值是否相等，若相等，则形状相同把代入点在上的函数解析式中可求得面积的值，判断出是否正确．
【解答】
解：点在两段函数中，
点点重合．
正的边长为，，
，
．
．
符合所给点
横轴表示的长，故A错误；
作于点．
又是等边三角形，
，
．
为中点，
．
点为的四等分点，故B错误
当在上时，为，则，
．
当在上时，为，则，
，
．
两个二次函数的比例系数的绝对值相等，
形状相同，故C错误
当时，点在上，，故D正确．
11.【答案】
【解析】【分析】过点作于，由“”可证≌，可得，，由平行线分线段成比例可求，由三角形中位线定理可求，由三角形面积公式可求解．
【解答】解：如图，过点作于，
，
，
，
，
，
又，
≌，
，，
，，
，
，
，
又，
，
，
，
的面积，
故选：．
12.【答案】
【解析】解：，
，
，，，
，
解得，
故选：．
根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把，，，代入计算即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：如图，过点作交于，
是的中线，
点是的中点，
是的中位线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
过点作交于，可得是的中位线，所以，由根据平行线分线段成比例定理可得，即可求解．
本题考查了平行线分线段成比例，三角形的中位线，过点作，构造三角形的中位线是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：根据题意得，，，．
，△HEC,
即，
故答案为．
根据平移的性质可知：，，，结合即可求解．
此题考查平移的性质，梯形的面积计算．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查平行线分线段成比例定理，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
如图，过点作于点，于点，过点作交于点证明，设，证明，设，则，求出，可得结论．
【解答】
解：如图，过点作于点，于点，过点作交于点．
平分，，，
，
，
，
设，则，
，，
，
，
设，则，
，
，
，
的周长，
故答案为：．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，平行线的判定，等腰三角形的性质以及邻补角性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，平行线的判定，等腰三角形的性质，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
延长至点，使得，由，利用等腰三角形的性质得出，结合邻补角性质进而得出，利用“”可证得≌，根据全等三角形的性质得出，由平行线的判定定理得，利用平行线分线段成比例定理证得后即可求得的长．
【解答】
解：延长至点，使得，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
．
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
17.【答案】解：如图：，即为所求作
如图：即为所求作．

【解析】本题考查作图旋转变换、轴对称变换、平行线的性质、格点作图，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．
根据格点特征取格点，作出，根据正方形的性质连接交于点，则即为所求
根据全等三角形的判定和性质作出，根据三角形中位线的性质和矩形的性质作出．
18.【答案】解：即为所求作的三角形，如图：
证明：是“型三角形”，，
，
设，则，，
，，
，，
，
，即，
，
，
是“型三角形”；
即为所求作的三角形，如图．

【解析】本题主要考查了尺规作图，新定义，平行线分线段成比例，过一点作已知直线的垂线，作一条线段作已知线段；解答本题的关键是理解新定义的概念．
利用尺规作图，以点为直角顶点，以为直角边，画等腰，为“型三角形”，则即为所求作的三角形；
证明：根据是“型三角形”，，得出，设，则，，根据，，得出，，进而得出，再根据平行线分线段成比例定理得出，即，求出，进一步得出，即可证明是“型三角形”；
利用尺规作图，在上截取，过点作的垂线交于，连接，则即为所求作的三角形．
19.【答案】 是等边三角形，
， ．
．
，
．
．
，
．
即 ．
补全图形，如下图：
猜想 ，理由如下：
在 上截取 ，连接 ， ，
，
是等边三角形，
， ，
是等边三角形，
， ，
．
即 ．
．
．
．
．
．
．
， ，
．
．

【解析】【分析】证明 得出 ，再利用三角形外角的性质得出 ；
先根据题意补全图形，在 上截取 ，连接 ， ，证明 ，得出 ，再证明 ，最后利用平行线分线段成比例定理得出 ．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质以及平行线分线段成比例定理，熟练掌握相关定理，正确作出辅助线是解题的关键．
20.【答案】解：如图所示，四边形是所求作的平行四边形．
在 中，，
是菱形，
，，，
，，
，，
．
是边上的高，
，
，
．
，
点是线段的黄金分割点．
【解析】此题考查了平行四边形的性质、黄金分割等知识；关键是根据题意画出图形，注意黄金分割线的灵活运用．
首先作可得，再在上截取即可得到四边形是平行四边形；
首先证明 是菱形，并根据平行线分线段比例定理证明，再证明，可得，从而得到，即可证明点是线段的黄金分割点．
21.【答案】证明：四边形是菱形，
，，
，
≌，
，
，
．
解：如图，连结交于点，交于点，
，
，
，，
，
，
，
，
．
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【解析】本题考查了菱形的性质、平行线的判定、平行线分线段成比例定理、勾股定理，锐角三角函数定义有关知识
由菱形的性质得，，可证明≌，得，而，所以；
连结交于点，交于点，由，，，根据勾股定理可求得，则，即可由求出菱形的面积；
先由证明，则，所以，再由得，则，即可由，得，可求得，所以，再求出的值即可．
22.【答案】解：如图
，，，
，
是中点，
，
过作于，过点分别作于，于，
四边形是矩形，
，
，
，，
，，
当时，点在上，
，
，
，
，
，
；
当时，点在上，
如图
，
，
关于的函数表达式为；
由令得，得，
由令得，得，
函数图像如下：
当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大．
当的图象过点时，，
，
当的图象过点时，
，
当的图象过点时，，
，
时，的图象与的图象有两个公共点．
【解析】本题考查分段函数，平行线分线段成比例定理，勾股定理．
分当时，点在上，当时，点在上，两种情况求解即可；
通过描点，连线可画出图形，写出一条性质即可；
根据图象可直接求解．
23.【答案】证明：由已知得：，，
，，
是的中线，
，
≌；
证明：延长交于点，
，是的中线，
，
，
，，
，，
≌，
，
，
四边形是平行四边形；
解：连接，
，，
，，
，
四边形是平行四边形，
，

，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
为的中点，
≌，
，
．

【解析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形，平行线分线段成比例定理的知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理．
根据题意，得，，根据平行线的性质，得，，再根据是的中线，全等三角形的判定，即可；
延长交于点，根据是的中线，，得，根据，，得，，根据全等三角形的判定，，再根据平行四边形的判定，即可；
连接，根据，，得，；根据四边形是平行四边形，得，根据等量代换得，，即可；
根据，，得，根据，求出，根据四边形是平行四边形，得，根据平行四边形的判定，得四边形是平行四边形，得，根据，即可．
24.【答案】解：，，
，
，
，
，
解得
【解析】本题主要考查的是平行线分线段成比例的有关知识，先求出，然后利用平行线分线段成比例求解即可．
25.【答案】【小题】
解：过点作交的延长线于点，则，，是的中点，，，故 AE；
【小题】
，，
，
又，
，
又，，≌，
，，，．

【解析】 见答案
见答案
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