4.3相似多边形 北师大版初中数学九年级上册同步练习（含详细答案解析）

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4.3相似多边形北师大版初中数学九年级上册同步练习
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列四组图形中，相似图形为( )
A. B.
C. D.
2.在数学史上，有很多著名的几何图形用来验证数学知识的产生过程下图是由一连串公共顶点为的直角三角形拼接而成，若，则图中直角三角形之间存在的变换关系是( )
A. 图形的平移 B. 图形的旋转 C. 图形的全等 D. 图形的相似
3.如图，在矩形、锐角三角形、正五边形、直角三角形的外边加一个宽度一样的外框，保证外框的边与原图形的对应边平行，则外框与原图一定相似的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
4.下列图形一定相似的是( )
A. 两个等腰梯形 B. 有一个角相等的两个等腰三角形
C. 有一个内角相等的两个菱形 D. 对应边成比例的两个平行四边形
5.下列說法中，錯誤的是( )
A. 全等圖形一定是相似圖形 B. 兩個等邊三角形一定相似
C. 兩個等腰直角三角形一定相似 D. 兩個直角三角形相似
6.下列圖形一定是相似圖形的是( )
A. 任意兩個菱形 B. 任意兩個長方形
C. 任意兩個等腰三角形 D. 任意兩個圓形
7.下列四組圖形中，不屬於相似圖形的是( )
A. B. C. D.
8.下列四組圖形中，一定相似的是．
A. 平行四邊形與平行四邊形 B. 矩形與矩形
C. 菱形與菱形 D. 圓形與圓形
9.下列說法正確的是( )
A. 所有等腰三角形都相似 B. 所有等邊三角形都相似
C. 所有菱形都相似 D. 所有矩形都相似
10.甲说：“将三角形各边向内平移个单位长度并适当缩短，得到如图所示的图形，变化前后的两个三角形相似”
乙说：“将菱形各边向内平移个单位长度并适当缩短，得到如图所示的图形，变化前后的两个菱形相似”
对于两人的观点，下列说法正确的是( )
A. 两人都对 B. 两人都不对 C. 甲对，乙不对 D. 甲不对，乙对
11.下列命题中，正确的是( )
A. 相似三角形的角平分线的比等于相似比
B. 所有的菱形都相似
C. 一般来说，一条线段的黄金分割点有两个
D. 如果一条直线截三角形两边的延长线所得的对应线段成比例，那么这条直线一定平行于三角形的第三边
12.剪纸是我国传统的民间艺术，在创作时，将纸片进行一系列操作，剪出图样后再展开，即可得到一由湖光倒影的美景这体现了数学中的( )
A. 图形的轴对称 B. 图形的平移 C. 图形的旋转 D. 图形的相似
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.如图，为四边形的对角线，是的中点，，，，连接交于点若，则的长为________．
14.如图，相似的正方形共有______个，相似的三角形共有______个
15.秋天红透的枫叶，总能牵动人们无尽的思绪，所以诗人杜牧说：“停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花”如图是两片形状相同的枫叶图案，则的值为______．
16.如图，矩形中，，，点为边的中点，连接，，点，分别在和上，且，点关于的对称点为，分别交和于，，若，则四边形的面积为______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
将下列各图形的变换与变换的名称用线连起来：
18.本小题分
如图，学校植物园是一块边长为米的正方形，现将其扩大成矩形，且使得矩形∽矩形，求的长．
19.本小题分
如图，四边形的对角线相交于点，、、、分别是、、、的中点，试判断四边形与四边形是否相似，并说明理由．
20.本小题分
如图，已知，，，，试判断四边形与四边形是否相似，并说明理由．
21.本小题分
如图，在矩形和矩形中，，，，矩形的面积为，那么这两个矩形相似吗？
22.本小题分
如图，在矩形中，，点，分别在，边上，且若矩形∽矩形，且相似比为，求的长．
23.本小题分
如图，将纸次折叠，发现第一次的折痕与纸较长的边重合，如图，将张纸对折，使其较长的边一分为二，沿折痕剪开，可得张纸．
纸较长边与较短边的比为 ；
纸与纸是否为相似图形？请说明理由．
24.本小题分
某矩形场地长，宽．
如图，在场地中央建有一矩形草坪，沿草坪四周外围有宽的小路，小路内外边缘所成的矩形相似吗？
如果矩形场地中矩形草坪的变化如图所示，它们相似吗？
如果变化如图所示，它们能相似吗？若能相似，求，满足的关系式；
如果变化如图所示，矩形与矩形能否相似？若能相似，求的值其中．
25.本小题分
如图，在中，与交于点，、、、分别是、、、的中点，连接、、、，得到求证：∽．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：形状不相同，不符合相似形的定义，此选项不符合题意；
B.形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，此选项符合题意；
C.形状不相同，不符合相似形的定义，此选项不符合题意；
D.形状不相同，不符合相似形的定义，此选项不符合题意；
故选：．
根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案．
本题考查的是相似形的定义，结合图形，即图形的形状相同，但大小不一定相同的变换是相似变换．
2.【答案】
【解析】解：，，
图中的直角三角形都相似，
故选：．
直接根据相似三角形的判定作答即可．
本题考查了相似三角形的判定，解题关键是熟练运用两个角相等证明三角形相似．
3.【答案】
【解析】【分析】
根据相似多边形的判定定理对各个选项进行分析，从而确定最后答案．
各角对应相等，各边对应成比例的两个多边形是相似多边形．
【解答】
解：矩形不相似，因为其对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，不符合相似的条件；
锐角三角形、直角三角形的原图与外框相似，因为其三个角均相等，三条边均对应成比例，符合相似的条件；
正五边形相似，因为它们的边长都对应成比例、对应角都相等，符合相似的条件．
故选C．
4.【答案】
【解析】略
5.【答案】
【解析】解：、全等图形一定是相似图形，正确，不合题意；
B、两个等边三角形一定相似，正确，不合题意；
C、两个等腰直角三角形一定相似，正确，不合题意；
D、两个直角三角形不一定相似，原说法错误，故此选项符合题意．
故选：．
直接利用相似图形的定义得出答案．
此题主要考查了相似图形，正确掌握相似图形的定义是解题关键．
6.【答案】
【解析】解：、两个菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合题意；
B、两个长方形，对应角相等，对应边不一定成比例，不符合相似的定义，故不符合题意；
C、两个两个等腰三角形，无法确定形状是否相等，故不符合题意；
D、任意两个圆形，是相似图形，故符合题意．
故选：．
根据相似图形的定义和图形的性质对每一项进行分析，即可得出一定相似的图形．
本题考查相似形的定义，熟悉各种图形的性质和相似图形的定义是解题的关键．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是相似图形有关知识，掌握相似图形的概念是解题关键．
利用相似图形进行解答即可．
【解答】
解：属于相似图形，不符合题意
B.属于相似图形，不符合题意
C.属于相似图形，不符合题意
D.不属于相似图形，符合题意
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了相似图形的定义，熟悉各种图形的性质和相似图形的定义是解题的关键．
根据相似图形的定义和图形的性质对每一项进行分析，即可得出一定相似的图形．
【解答】
A.平行四边形与平行四边形，对应角不一定相等，对应边不一定成比例，不符合相似图形的定义，故选项A不符合题意
B.矩形与矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，不符合相似图形的定义，故选项B不符合题意
C.菱形与菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似图形的定义，故选项C不符合题意
D.圆形与圆形一定相似，故选项D符合题意．
故选D．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是相似图形有关知识，根据形状相同的图形称为相似图形，对于相似多边形的对应边成比例，对应角相等，分别判断得出答案．
【解答】
解：等腰三角形对应边不一定成比例，对应角不一定相等，所有等腰三角形不一定相似，错误，不符合题意
B.所有的等边三角形都相似，正确符合题意
C.菱形对应角不一定相等，则所有菱形不一定相似，错误，不符合题意
D.矩形对应边不一定成比例，则所有矩形不一定相似，错误，不符合题意
10.【答案】
【解析】解：三角形边长改变后对应比值仍相等，且对应角相等，
变化前后的两个三角形相似，
菱形四条边均相等，边长改变后对应比值仍相等，且对应角相等，
变化前后的两个菱形相似．
故选：．
利用相似图形的判定方法：对应角相等，对应边成比例的图形相似，进而判断即可．
本题考查了相似图形的判定，解题关键是正确掌握相似图形的判定方法．
11.【答案】
【解析】解：、相似三角形对应边上的角平分线的比等于相似比，原说法错误，不符合题意；
B、菱形不一定都相似，原说法错误，不符合题意；
C、一般来说，一条线段的黄金分割点有两个，原说法正确，符合题意；
D、如果一条直线截三角形两边的延长线所得的对应线段成比例，那么这条直线不一定平行于三角形的第三边，原说法错误，不符合题意．
故选：．
根据相似三角形的性质求解即可．
此题考查了相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质．
12.【答案】
【解析】解：根据图形可知，将这个图形上下对折，两边的部分能够完全重合，因此这体现了数学中图形的轴对称，
故选：．
根据轴对称，平移，旋转，相似的特征来判断即可．轴对称的特点是一个图形绕着一条直线对折，直线两旁的图形能够完全重合；平移是将一个图形沿某一直线方向移动，得到的新图形与原图形的形状、大小和方向完全相同；旋转是指将一个图形绕着一点转动一个角度的变换；相似可以改变图形的大小，但不改变形状．
本题考查图形的对称、平移、旋转、相似等知识，掌握四者的特征是解题的关键．观察时要紧扣图形变换特点，认真判断．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查三角形的中位线、相似三角形和勾股定理求线段长度，取的中点，连接，可得，，根据相似比可得，求得，，，．
【解答】
解：取的中点，连接，
是的中点，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
是中点，
，
，
，
，，
，
，
，
≌，
，
，
，即，
是的中点，
，
，
，
，
，
．
14.【答案】
【解析】解：如图，相似的正方形共有个，相似的三角形共有个，
故答案为：，．
根据相似图形的定义判断即可．
本题考查相似图形，解题的关键是理解相似图形的定义，属于中考常考题型．
15.【答案】
【解析】解：由两个枫叶图案相似，
可得，
解得，
即的值为．
故答案为：．
根据两个枫叶图案的形状相同，可知两个图形相似，再根据相似多边形的对应边的比等于相似比可得结果．
此题考查的是相似多边形的性质，即两个多边形相似，其对应边、对角线的比等于相似比．
16.【答案】
【解析】解：连接，
点关于的对称点为，
垂直平分，
，，
四边形是矩形，
，，
点为边的中点，
，
≌，
，，
，
，
，
，，
，
，
四边形是菱形，
，，
，
，
，，
≌，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，，，
≌，
，
，
故答案为：．
连接，则垂直平分，可证明四边形是菱形，则，，再证明≌，得，由，，，得，则，，所以，由，根据平行线分线段成比例定理得，而∽，则，而，则，所以，，于是得到问题的答案．
此题重点考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、根据转化思想求多边形的面积等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线并且证明四边形是菱形是解题的关键．
17.【答案】解：

【解析】旋转的基本特征是图形旋转前后“对应点到旋转中心的距离相等，并且各组对应点与旋转中心连线的夹角都等于旋转的角度”，经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，对应点的排列次序相同；平移和旋转都是在平面内，图形变换前后的图形是全等的，对应线段相等，对应角相等，对应点的排列次序相同；由一个图形变为另一个图形，并使这两个图形关于某一条直线成轴对称，这样的图形改变叫作图形轴对称变换．
本题考查的是对平移变换，相似变换，旋转变换，轴对称变换的认识．根据概念作出回答．
18.【答案】解：四边形是正方形，
米，
矩形∽矩形，
．
，
解得舍去负值，
经检验是分式方程的解，
的长为．
【解析】根据相似多边形的性质求解即可．
本题主要考查了正方形的性质，相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边成比例是解决问题的关键．
19.【答案】相似．理由：、分别是、的中点，，
，，．
同理，，，
，，
同理，，，，，
四边形∽四边形．

【解析】见答案
20.【答案】解：四边形与四边形相似．
由已知条件知，， ，， ，且 ，
所以四边形与四边形相似．
【解析】见答案
21.【答案】矩形的面积为，，．
根据矩形的性质，知．
同理，得．
矩形的各内角都是，矩形与矩形相似

【解析】见答案
22.【答案】解：矩形∽矩形，且相似比为，
，
四边形为矩形，
，
，
，，
．
【解析】本题考查了相似多边形的性质：对应角相等；对应边的比相等．也考查了矩形的性质．利用相似多边形的性质得到，而根据矩形的性质得到，从而利用比例性质得到，，然后计算即可．
23.【答案】【小题】
【小题】
纸与纸是相似图形．理由：
纸较长边与较短边的比为，
设纸较短边的长为，则较长边为．
纸的长边与纸的短边重合，短边等于纸的长边的一半，
纸的长边为，短边为．
纸的长边与较短边的比为．
纸较长边与较短边的比纸的长边与较短边的比．又纸与纸的四个角均为直角，纸与纸相似．

【解析】
如图：
由折叠过程可以看到：第一次折叠，点与点重合，四边形为正方形，折痕为对角线，由勾股定理可得；第二次折叠，第一次的折痕与纸较长的边重合，即与较长边重合，所以较长边，纸较长边与较短边的比为．
见答案
24.【答案】【小题】
，，，，
，．
，．
小路内外边缘所成的矩形不相似．
【小题】
，，如果两个矩形相似，那么有，
即，解得，不符合题意，两个矩形不相似．
【小题】
能．
当时，解得．
当时，解得．
当或时，两个矩形相似．
【小题】
假设矩形与矩形相似，则，即，
解得矩形与矩形能相似，．

【解析】 见答案
见答案
见答案
见答案
25.【答案】、分别是、的中点，，，，同理，可得，，，，，，，，，，，，，∽
【解析】见答案
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