4.4探索三角形相似的条件 北师大版初中数学九年级上册同步练习（含详细答案解析）

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4.4探索三角形相似的条件北师大版初中数学九年级上册同步练习
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，把绕点旋转得到与重合，当点刚好落在上时，连接，设、相交于点，则图中相似三角形的对数是( )
A. 对
B. 对
C. 对
D. 对
2.如图，正方形中，，分别在边，上，，相交于点，若，，则的值是( )
A.
B.
C.
D.
3.如图，在中，，，，点在边上，，要求的长，以下作辅助线的方法不恰当的是 。
A. 过点作 B. 过点作
C. 过点作 D. 过点作
4.如图在的方格中，每一个小正方形的顶点叫做格点，以其中三个格点为顶点的三角形称为格点三角形，就是一个格点三角形，现从的三个顶点中选取两个格点，再从余下的格点中选取一个格点连接成格点三角形，其中与相似的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
5.如图，在中，，、分别为、的中点，连接，为的中点，过点作，交于点，连接，则与相似不含的三角形个数为( )
A. B. C. D.
6.能说明∽的条件是( )
A. B. ，且
C. ，且 D. ，且
7.如图，已知是的边上一点，根据下列条件，不能判定∽的是( )
A. B.
C. D.
8.如图，点在的边上，要判断∽，添加一个条件，不正确的是( )
A. B.
C. D.
9.如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( )
A. B.
C. D.
10.如图，锐角的高和高相交于，则与相似的三角形不含自身个数是( )
A. B. C. D.
11.如图，如果，那么添加下列一个条件后，仍不能确定∽的是( )
A. B. C. D.
12.如图，，，下列结论成立的是( )
A. ∽
B. ∽
C. ∽
D. 以上都不正确
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.如图，在中，，在中，，且，，则 ______时，图中的两个直角三角形相似．
14.如图，直线与轴、轴分别交于点、，一动点从点出发，沿的路线运动到点停止，是的中点，沿直线截，若得到的三角形与相似，则点的坐标是______．
15.如图，在 中，是上的一点，直线与的延长线相交于点，，且与相交于点，请从图中找出一组相似的三角形______．
16.如图，在中，，，点是边的中点，点是边上一个动点，当 时，与相似．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
点在矩形的对角线上，于点，交于点．
如图，若平分，求证：；
如图，取的中点，若，求的值；
如图，过的中点作于点，延长交于点，连接交于点若，求证：．
18.本小题分
计算：．
如图，在四边形中， ，，点在对角线上，连接，求证：∽．
19.本小题分
如图是的正方形网格，已知，请按下列要求完成作图要求保留作图痕迹，不要求写作法和结论
在图中，仅用无刻度直尺在线段上找一点，使得；
在图中，以为公共角，仅用无刻度直尺在线段，上分别找一点，，使与相似但不全等．
20.本小题分
如图，在矩形中，，，点沿边从点开始向点以的速度移动，点沿边从点开始向点以的速度移动如果，同时出发，用表示移动的时间，那么：
当为何值时，为等腰直角三角形
对四边形的面积，提出一个与计算结果有关的结论．
当为何值时，以点，，为顶点的三角形与相似
21.本小题分
如图是由边长为的小正方形组成的网格，、、、、、、、均为网格格点，请用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写画法．
在线段上找到一点，使≌．
在线段上找点，使∽．
22.本小题分
如图，在矩形中，，，点沿边从点开始向点以的速度移动，点沿边从点开始向点以的速度移动如果，同时出发，用表示移动的时间，那么：
当为何值时，为等腰直角三角形
对四边形的面积，提出一个与计算结果有关的结论．
当为何值时，以点，，为顶点的三角形与相似
23.本小题分
如图，菱形中，，，，垂足为，连接．
求对角线的长；
点为边上一动点，且动点以的速度沿边由点向点运动，设点运动的时间为当为何值时，以，，为顶点的三角形与相似
24.本小题分
如图，点在内，点在外，且，与相似吗？为什么？
25.本小题分
如图，在正方形中，点，分别在，上，，且．
求证：；
求证：∽．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了相似三角形的判定：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；三组对应边的比相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．
根据旋转的性质得到≌，，利用三角形内角和得到，则可判断∽；根据相似的性质得：：，而，则可判断∽；由于，，，所以，于是可判断∽．
【解答】
解：把绕点旋转得到与重合，
≌，，即∽，
，
∽；
：：，
而，
∽；
把绕点旋转得到与重合，
，，，
，
∽．
图中共有对相似三角形．
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】本题考查的知识点是正方形的性质，平行线分线段成比例，如图作，交于，交于设，则，利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
【解答】
解：因为四边形是正方形，所以．
如图，过点作 交于点．
所以四边形是平行四边形．
因为 ，所以四边形是矩形．
因为，设，则，，．
因为，，所以，
所以
因为，所以 ．
故选C．
3.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了勾股定理，相似三角形的性质和判定，含角直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确作出辅助线，逐一分析选项。首先求出，利用勾股定理求出，得到，然后分别根据相似三角形的性质和勾股定理逐项求解判断即可．
【解答】
解：在中，，，，
，
，
，
，
选项：如图所示，过点作，
，
，
∽，
，即，
解得，，
，
，可以求出的长，
故A不符合题意；
选项：如图所示，过点作，
，和的长度都不知道，
无法利用勾股定理求解，且没有相似三角形，
故也无法利用相似三角形的性质求解，
作辅助线的方法不恰当，符合题意；
选项：如图所示，过点作，
，，
，
，
，
，可以求出的长，
故C不符合题意；
选项：如图所示，过点作，
，
，
∽，
，即，
解得，，
，
，可以求出的长，故D不符合题意，
故选B．
4.【答案】
【解析】解：如图，
根据勾股定理得，，，，
又，，，
，
又，
∽；
且，
∽；
且，
∽．
故选：．
根据相似三角形的判定方法解答即可．
此题考查了相似三角形的判定，熟记相似三角形的判定定理是解题的关键．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是相似三角形的判定，三角形中位线定理有关知识，由三角形中位线定理可得，可得∽，由有两组角对应相等的两个三角形相似可证∽，可得结论
【解答】
解：、分别为、的中点，
，
∽，
，
，
又，
∽
6.【答案】
【解析】解：、三组对应边的比不相等，故选项错误；
B、如果条件换为，则本题的结论成立，故选项错误；
C、满足两组对应边的比相等且夹角相等，故选项正确
D、不是夹角，故选项错误；
故选：．
考查相似三角形的判定定理：
两角对应相等的两个三角形相似；
两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；
三边对应成比例的两个三角形相似；
如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．
本题可根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似进行判断．
7.【答案】
【解析】解：是公共角，
再加上或都可以证明∽，故A，不符合题意，
选项中的对应两边成比例，但不是相应的夹角相等，所以选项C符合题意．
，
若再添加，即，可证明∽，故D不符合题意．
故选：．
根据相似三角形的判定定理对各个选项逐一分析即可．
本题考查相似三角形的判定定理，熟练掌握相关定理是解题的关键．
8.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了相似三角形的判定，正确把握判定方法是解题关键分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可．
【解答】
解：当时，又，∽，故此选项不符合题意；
B.当时，又，∽，故此选项不符合题意；
C.当时，又，∽，故此选项不符合题意；
D.添加，无法得到∽，故此选项符合题意．
故选D．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
【解答】
解：在选项A、中，阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，则两三角形相似，故A、选项不符合题意
在中，两三角形的对应边不成比例，则两三角形不相似，故C选项符合题意；
在中，两三角形对应边成比例且夹角相等，则两三角形相似，故D选项不符合题意．
故选C．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是找出两个对应角相等即可．根据，，易证∽，同理可证∽，∽．
【解答】
解：，，
∽，
，，
∽，
，，
∽，
∽∽∽．
故选C．
11.【答案】
【解析】解：，
，
，根据两角相等，两三角形相似可判断两个三角形相似，根据两边对应成比例且夹角相等可判定∽
选项C中不满足两边成比例且夹角相等，所以不相似，
故选：．
根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案．
此题考查了相似三角形的判定：
如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；
如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；
如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．
12.【答案】
【解析】解：，设，
，，，，，，
，，，
，
∽．
故选：．
根据已知及相似三角形的判定进行分析，从而得到答案．
此题考查了相似三角形的判定：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．关键是掌握相似三角形的判定方法．
13.【答案】
【解析】解：，，
，
，
当∽时，
，
即，
；
当∽时，
，
即，
．
故答案为．
先利用勾股定理计算出，再根据相似三角形的判定方法进行讨论，当∽时，当∽时，然后利用比例性质求出对应的的长即可．
本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．
14.【答案】或或
【解析】解：直线，当时，；
当时，则，解得，
，，
，，，
，
是的中点，
，
如图，点在上，且∽，
，
，
，
，
；
如图，点在上，且∽，
，
，
，
；
如图，点在上，且∽，
，
，
，
，
，
综上所述，点的坐标是或或．
先由直线与轴、轴分别交于点、，求得，，再根据勾股定理求得，则，分三种情况讨论，一是点在上，且∽，此时，可求得，则；二是点在上，且∽，则，可求得，所以，则；三是点在上，且∽，此时，可求得，则．
此题重点考查一次函数的图象与性质、图形与坐标、勾股定理、相似三角形的性质、平行线分线段成比例定理、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性质强，应注意按点的不同位置分类讨论，求出所有符合题意的答案．
15.【答案】∽答案不唯一
【解析】解：，
∽．
故答案为：∽答案不唯一．
可利用平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似判断∽．
本题考查了相似三角形的判定与性质：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
16.【答案】或
【解析】【分析】
直接利用∽或∽，分别得出答案．
本题考查了相似三角形的判定，正确分类讨论是解题关键．
【解答】
解：，，点是边的中点，
．
当∽时，
则，
，
解得：；
当∽时，
则，
，
解得：，
综上所述：当或时，与相似．
故答案为：或．
17.【答案】证明，
，
四边形为矩形，
，
平分，
，
又，，
，
解：如图，延长交于点，
，四边形是矩形，
，
∽，∽，
，，
又是中点，
，
，即，
，
，即，
证明：如图，连接并延长交于点，分别连接，．
则为的中位线，
为的中点，
，
四边形为平行四边形，
，，
，
，
，
．
【解析】本题考查了相似三角形的性质与判定，矩形的性质，等腰三角形的判定．
通过证明，得出
通过证明∽，∽，得出，，再得出，即，从而求出的值
通过证明，，即可求证．
18.【答案】解：原式．
证明：，
．
，
，
．
又，
∽．
【解析】此题考查了实数的运算，平行线的性质，相似三角形的判定等知识点，
利用算术平方根，绝对值的性质，负整数指数幂分别计算即可；
得出，再利用，即可判定∽．
19.【答案】解：如图，设正方形网格的边长为，延长到点，使，作，且使，连接，交于点，
，，
∽，
，
点即为所求．
如图所示，作平行四边形，连接，交于点，
，
，，
∽，
，
，
与不全等，
点和点为所要求作的点．
【解析】利用相似三角形的判定，结合网格求解即可；
根据题意作出平行四边形，然后利用相似三角形的判定，结合网格求解即可．
本题主要考查尺规作图，解题的关键是掌握相似三角形的判定．
20.【答案】解：由题意知，，，
当时， 是等腰直角三角形，
所以，解得．
即为时，为等腰直角三角形．
四边形的面积
在，两点移动的过程中，四边形的面积始终保持不变．
分两种情况：
当∽时，，则，即
当∽时，，则，即．
所以当或时，以点，，为顶点的三角形与相似．

【解析】【分析】
本题主要考查等腰直角三角形，三角形面积以及相似三角形的判定和性质，掌握分类讨论思想的运用是解题的关键．
表示出，，根据等腰直角三角形的概念即可建立方程，求出
利用三角形面积公式，结合四边形的面积 ，即可求出面积，得出结论；
分当∽时，当∽时两种情况讨论即可．
21.【答案】解：如图，点即为所求作．
如图，点即为所求作．

【解析】连接交于点，点即为所求作．
取格点，连接交于，点即为所求作．
本题考查作图应用与设计作图，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22.【答案】解：由题意知，，，
当时， 是等腰直角三角形，
所以，解得．
即为时，为等腰直角三角形．
四边形的面积
在、两点移动的过程中，四边形的面积始终保持不变．
分两种情况：
当∽时，，则，即
当∽时，，则，即．
所以当或时，以点、、为顶点的三角形与相似．

【解析】本题主要考查矩形的性质，等腰直角三角形，三角形面积以及相似三角形的判定和性质，掌握分类讨论思想的运用是解题的关键．
表示出，，根据等腰直角三角形的概念即可建立方程，求出
利用三角形面积公式，结合四边形的面积 ，即可求出面积，得出结论；
分当∽时，当∽时两种情况讨论即可．
23.【答案】四边形是菱形，，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，
，
当时，∽
，
，
或舍去，
当时，∽
，
，
当或时，以，，为顶点的三角形与相似．
【解析】本题考查相似三角形的判定，菱形的性质，勾股定理，解直角三角形，关键是由锐角的正弦求出
的长判定和相似，要分两种情况讨论．
由菱形的性质得到，由锐角的正弦定义求出，由勾股定理求出，得到，由勾股定理即可求出．
由，得到，由勾股定理得到，由平行线的性质得到，当时，∽，求出，当时，∽，得到，于是得到当或时，以，，为顶点的三角形与相似．
24.【答案】解：与相似．
在和中，
，，
∽两角分别相等的两个三角形相似．
相似三角形的对应边成比例．
又，
．
在和中，
，，
∽两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．

【解析】在和中，易知如果，那么这两个三角形就相似．
25.【答案】【小题】
证明：四边形是正方形，
，，
，
，，
，≌，；
【小题】
，，，
，，又，∽．

【解析】 见答案
见答案
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