4.5相似三角形判定定理的证明 北师大版初中数学九年级上册同步练习（含详细答案解析）

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4.5相似三角形判定定理的证明北师大版初中数学九年级上册同步练习
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，矩形，，，点是边上的动点，点是射线上的动点，且，连接，若，则的最小值为( )
A. B. C. D.
2.如图，在平面直角坐标系中，为原点，，点为平面内一动点，，连结，点是线段上的一点，且满足当线段取最大值时，点的坐标是( )
A. B. C. D.
3.如图，在中，、为边的三等分点，，点为与的交点若，则为( )
A.
B.
C.
D.
4.如图，在正方形中，，，、交于点，下列结论中错误的是
A. B.
C. D.
5.如图，在矩形中，，，点是边的中点，连接与相交于点，作，则的长是
A. B. C. D.
6.平面直角坐标系中，，，则坐标原点关于直线对称的点的坐标为
A. B. C. D. 　　　
7.如图，平行四边形的对角线、相交于点，点为的中点，连接，交于点，连接，若平行四边形的面积为，则的面积为( )
A. B. C. D.
8.如图，在中，点在上，连接，点在上，过点作，交于点，过点作，交于点，则下列式子一定正确的是( )
A. ：：
B. ：：
C. ：：
D. ：：
9.如图，在中，，，于点，是上的一个动点，以为直角顶点向右作等腰，连接，则的最小值为( )
A. B. C. D.
10.如图，点是的边上的一点，且，连接并延长交的延长线于点，若，，则 的周长为( )
A.
B.
C.
D.
11.如图，以的三边为边分别向外作正方形连结交于点，作交于点，连结交于点若：：，则的值为( )
A. B. C. D.
12.如图，菱形中，为对角线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接，，若，则长为
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.如图，在中，，，，将绕点旋转得到，连接，且，则的长为 ．
14.在和中，已知，，，，点、分别在边、上，且，那么的长是 ．
15.如图，在中，点为的中点，点在的延长线上，且，连接、，延长交于点，若，，则的长为 ．
16.如图，矩形中，，，点从出发以每秒个单位长度的速度沿运动一周到点停止．当点不与矩形的顶点重合时，过点作直线，与矩形的边的另一交点为若点的运动时间为，当时，长度的范围是_________．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，已知中，，，点是边上的一个动点点与点，不重合，点在边上，若为等腰三角形，求的长．
18.本小题分
如图，在中，，点在边上不与点，重合，过点作，交延长线于点以，为边作 ．
备用图
求证：；
记的面积为， 的面积为，若平分，用等式表示与的数量关系，并说明理由；
延长交于点，连接，，若，求证：．
19.本小题分
如图，四边形是正方形，是延长线一动点，连，，连交于，交于．
若时，求的大小；
求证：．
20.本小题分
如图，在中，点在边上，点在边上，且，B.
求证：∽
若，，求的长．
21.本小题分
如图，是等边三角形，是外角平分线，点在上，连接并延长与交于点．
求证：∽；
若，，求的长．
22.本小题分
已知：如图，在梯形中，，，，的平分线交延长线于点，交于点．
求证：四边形是菱形
联结交于点，如果，求证：．
23.本小题分
如图，在中，平分，且．
若，，，求的度数
证明：
设，试判断，，之间的数量关系用含的式子表示，并说明理由．
24.本小题分
【问题背景】如图，，，，可以由通过旋转变换得到，请直接写出旋转中心、旋转方向及旋转角的大小
【变式迁移】如图，，，连接，试猜想，，之间的数量关系，并加以证明
【拓展创新】如图，，，连接，若，，请直接写出的长度．
25.本小题分
如图，矩形中，，，点为线段边上一点，点为线段上一点，取线段的中点，以，为邻边向上作 ，、所在直线分别交于、设．
当点落在上时如图，的值为 ．
若为的中点，且点到直线的距离为时，求的值．
设的面积为，求与的函数表达式．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：连接，如图：
，，
∽，
，
，
延长至点，使，连接，则，
，
当点为与的交点时，取最小值，此时
即的最小值为，
故选：．
本题的思路是先根据两条边对应成比例并且夹角相等证明三角形相似，将转化为，然后做关于的对称线段，结论自然可得．
本题考查了矩形的性质，掌握三角形相似的性质是解题的关键．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定及性质以及坐标与图形的性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．
由题意可得点在以点为圆心，为半径的圆上，在轴的负半轴上取点，连接，分别过和作，，垂足为、，先证∽，得，从而当取得最大值时，取得最大值，结合图形可知当，，三点共线，且点在线段上时，取得最大值，然后分别证∽，∽，利用相似三角形的性质即可求解．
【解答】
解：点为平面内一动点，，
点在以点为圆心，为半径的圆上，
在轴的负半轴上取点，
连接，分别过、作，，垂足为、，
，
，
，
：：，
，
，
∽，
，
当取得最大值时，取得最大值，结合图形可知当，，三点共线，且点在线段上时，取得最大值，
，，
，
，
，
，
轴轴，，
，
，
∽，
，即，
解得，
同理可得，∽，
，即，
解得，
，
当线段取最大值时，点的坐标是，
故选D．
3.【答案】
【解析】解：、为边的三等分点，，
，，，
，是的中位线，
，
，
∽，
，即，
解得：，
，
故选：．
依据是的中位线，即可得出，再根据∽，即可得到的长，进而得出的长．
本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
4.【答案】
【解析】【分析】
主要考查了四边形的综合题，涉及正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及三角形面积的知识点，解决问题的关键是熟练掌握正方形的性质．根据正方形的性质证明≌，可得；，证明∽，可得，故不正确；由可得，故正确．
【解答】
在正方形中，，，
又，
≌，
，，
，
，
．
故A，B正确；
，，，
，
，
，
，
∽，
，
故C不正确
≌，
，
，
，
故D正确，
故选C．
5.【答案】
【解析】【分析】本题主要考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质．
先证∽，得出，再证∽，得出，即可解答．
【解答】解：在矩形中，，
点是边的中点
∽
，
∽
6.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了轴对称的基本性质，坐标与图形性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是掌握利用相似三角形的性质求线段长的思路与方法；连接交于，过点作轴于，则垂直平分线段，得出，于，根据，得出，根据、两点的坐标得出、的长，利用勾股定理求出的长，利用三角形的面积公式求出的长，进而得出的长，证明∽，利用相似三角形的性质求出，，进而得出，即可求解．
【解答】
解：连接交于，过点作轴于，如图：
则垂直平分线段，
，于，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
，，
∽，
，即，
，，
．
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质有关知识，通过证明∽，由相似三角形的性质可得，，即可求解．
【解答】
解：平行四边形的面积为，
，
四边形是平行四边形，
，，
点是的中点，
，
，
∽，
，
，，
，
，
．
8.【答案】
【解析】解：，
∽，
．
选项的比例式不正确；
，
．
，
．
．
选项的比例式正确；
，
．
，
．
．
选项的比例式不正确；
，
．
，
．
选项的比例式不正确．
故选：．
利用平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定与性质对每个选项中的比例式进行逐一判断即可得出结论．
本题主要考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，利用平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定与性质正确写出比例式是解题的关键．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了等腰直角三角形，相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是通过作辅助线，构造相似三角形；连接，根据等腰直角三角形的性质得出是等腰直角三角形，，，，，进而得出，再根据，证明∽，得出，，点在直线上运动，当时，有最小值，求出此时的长，即可求解．
【解答】
解：连接，如图：
在中，，，于点，
，，，，
是等腰直角三角形，，，
是等腰直角三角形，
，，
，
又，
∽，
，
，点在直线上运动，
当时，有最小值，此时，，，
，是等腰直角三角形，
，即，
，
的最小值为．
故选B．
10.【答案】
【解析】【分析】
此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质解答．
根据平行四边形的性质得，再由平行线得相似三角形，根据相似三角形求得，，进而根据平行四边形的周长公式求得结果．
【解答】
解：四边形是平行四边形，
，，
∽，
，
，，
，，
，
平行四边形的周长为：．
故选：．
11.【答案】
【解析】解：延长，与的延长线交于点，如图，
若：：，四边形与四边形为正方形，
，
设，则，
．
四边形为正方形，
．
，
，
，
．
，
∽，
，
，
，
，
∽，∽，
，，
，
，
．
故选：．
延长，与的延长线交于点，利用正方形的性质得到，设，则，则利用勾股定理求得，利用相似三角形的判定与性质求得线段，利用相似三角形的判定与性质得到，再利用比例的性质解答即可得出结论．
本题主要考查了直角三角形的性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质勾股定理，平行线的性质，通过构造恰当的辅助线得到型图，从而利用相似三角形的判定与性质解答是解题的关键．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，解答本题的关键是掌握利用相似三角形的性质求线段长的思路与方法；根据菱形的性质得出，，根据作图过程可知，，进而得出，设，则，根据，得出，进一步得出，进而得出∽，利用相似三角形的性质构造关于的方程，解方程，即可求解．
【解答】
解：四边形是菱形，
，
，
根据作图过程可知，，
，
设，则，
，
，
，
∽，
，
，即，解得，舍去，
的长为．
故选：．
13.【答案】
【解析】【分析】
此题考查的是相似的判定和性质，旋转的性质，以及勾股定理，三角形中位线定理等知识点，设与相交于点，与相交于点，证明为等边三角形，得到点为的中点，易得为的中位线，再证明∽，得到，设，则，根据比例关系求出，即可得到，的长，再根据勾股定理求出和的长，即可得的长．
【解答】
解：如图，设与相交于点，与相交于点，
在中，，，，
，，
由勾股定理得，，
由旋转的性质，得，
为等边三角形，
点为的中点，
于点，，
，
为的中位线，
，
，，
，
∽，
，
设，则，
，
解得，
，，
根据勾股定理可得，，
．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了全等三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，证得∽是解题的关键．
根据勾股定理求得，设，则，根据全等三角形的性质得出，，，即可求得，根据等角的余角相等求得，即可证得∽，根据相似三角形的性质得出，解之求出的长．
【解答】
解：如图，在和中，，，，，
，
设，则，
≌，
，，，
，
，，
，
∽，
，即，
解得，
的长为，
故答案为．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是掌握利用相似三角形的性质求线段长的思路与方法；首先证明∽，得，可推导出，则，然后过点作交的延长线于点，则∽，∽，根据相似三角形的性质得出，，根据，得出，进一步得出，，，进而得出，即可求出．
【解答】
解：，，
∽，
，，
又，
，
，
，
，
过点作交的延长线于点，如图：
则∽，∽，
，，
点为的中点，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了勾股定理的应用，结合相似三角形的判定与性质以及二次函数最值问题来解答是本题解题的关键．先判断出点所在位置，连接，根据三角形相似的判定与性质，用表示出，从而求出，在根据二次函数的最值求出的取值范围，最后根据勾股定理求出的取值范围即可．
【解答】
解：由题意可知，当时，点的运动路程为，
当时，点的运动路程为，
，，
当时，点在线段上，
，，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
故答案为
17.【答案】解：当时，
，
，
，
即，
，
，
在和中，，
≌，
，
；
当时，
设，则，
，
，
，
，
，∽，
，即，
，
，
，
又，
，
∽，
，
即
解得，经检验符合题意；
的长为或．
【解析】分两种情况讨论：当时，证明≌，可得；当时，设，则，证明∽，可得，，再证明∽，可得，可得答案．
本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，清晰的分类讨论是解本题的关键．
18.【答案】证明：，
，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
；
解：，
理由如下：延长，交于点，过点作于点，
平分，
，
，
，
，
，
即，
，
，
，
∽，
，
，
证明：延长交于点，
四边形是平行四边形，
，，，
，，
，
，
垂直平分，
，
，
，
取中点，连接，，
，
，
，
点，，，在以为圆心，为半径的圆上，
，
，
，
，
，
，
，
≌，
，
．
【解析】此题是四边形综合题，考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，关键是添加辅助线得出相似三角形解答．
根据垂直的定义得出，再根据平行四边形的性质解答即可；
延长，交于点，过点作于点，根据相似三角形的判定和性质得出比例解答即可；
延长交于点，根据四点共圆的判定和性质解答即可．
19.【答案】解：四边形是正方形，
，，即，
，
，
，
，
，
；
证明：连接，
四边形是正方形，
，，，
，
，，
，
，
，
∽，
，
，
．
【解析】本题考查了正方形的性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键．
根据四边形是正方形，可得出，，即，由等边对等角知，而，可得，因为，得；
连接，利用证明，得，，再利用两个角相等证明∽，再根据相似三角形的性质得出，从而证明结论．
20.【答案】证明：，
，
，
，
又，，
，
又，
∽．
解：由可知，∽，
，
，，
，
将、的值代入上式，得：，故AD，
又，
．
【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：利用“两角对应相等，两三角形相似”证出∽；利用相似三角形的性质，求出的长．
利用等腰三角形的性质，和邻补角的定义可得，结合即可证出∽；
利用相似三角形的性质可求出的长，再结合即可得出的长．
21.【答案】证明：是等边三角形，
，
又是外角平分线，
，
，
，，
∽；
解：由可知∽，
，
又，，
，
解得，．
【解析】根据等边三角形的性质及角平分线的性质推出，从而推出，利用平行线的性质得到，，即可得出∽；
根据相似三角形的性质推出，将各数值代入求解即可．
本题考查相似三角形的判定与性质及等边三角形的性质，解题的关键是由等边三角形的性质及角平分线的性质逐步推出，需注意观察图形，充分的数形结合．
22.【答案】证明：的平分线交延长线于点，
．
又，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
，
，
．
四边形是菱形，
，，
，
，
梯形，，
四边形是等腰梯形，
．
又，
，
即，
，
∽，
，
．
【解析】此题主要考查菱形的判定与性质及相似三角形的判定与性质．
利用平行线的性质，角平分线定义及菱形的判定求解；
根据菱形的性质及相似三角形的判定与性质求解．
23.【答案】解：，，，

是直角三角形， ，
平分
；
分别作于，于，
平分，

，


，即
四边形中，

：；
过作于

由可得


、、、四点共圆，






．

【解析】【分析】
本题综合考查全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、角平分线的性质、勾股定理的逆定理，解题的关键是根据角平分线正确的做出辅助线．
由，，，可得 ，再由角平分线可求的度数；
根据角平分线的性质过分别作于，于，证明 即可；
由中 易证 ，再由得到、、、四点共圆，可证 找到与 的关系．
【解答】
解：见答案；
见答案；
见答案．
24.【答案】解：旋转中心为点
旋转方向：顺时针旋转
旋转角的大小为．
，，之间的数量关系是．
证明如下：
如下图，过点作，且，连接、，
，，
，
．
，
．
，
，
，
，
．
，且，
为等腰直角三角形，
，
．
．
【解析】【分析】
本题考查图形的旋转、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理；
由图可直接看出旋转中心、旋转方向和旋转角度；
过点作，且，连接、，证，得，再利用勾股定理证得．
过点作，且，得∽，再利用求出．
【解答】
解：由图可看出绕顺时针旋转即可得到；
见答案；
如图，过点作，且，
所以，连接，
，
，
中，中，，
，
∽，
所以，，
因为，，
所以，
所以，
所以．
25.【答案】解：；
如图，当点在上方时，过点作于，过点作于，
，
点是的中点，，
，则，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，，
，
，
，
，点是的中点，
，
，
，
，
，
，
解得；
如图，当点在下方时，过点作于，过点作于，
同可得：，，
同理可证：，
，
同可得：，
，
同理可证：，
，
，
解得，
综上，的值为或；
如图，当时，点在的上方，过点作于，
由可知：，
又，点是的中点，
，
，
解得，
，，
，
，则，
，
由可知：，
，
；
如图，当时，点在的下方，过点作于，
同理可得：，，
可得，
同理可得：，
，
又，
，
综上，关于的函数表达式为：．
【解析】【分析】
本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，分类讨论思想等知识，关键是找出相似三角形，并根据相似三角形的性质得到边之间的关系．
根据平行四边形的性质以及平行线分线段成比例定理得到，即可求出；
分当点在上方时，当点在下方时，过点作于，过点作于，求出，，证明，，利用相似三角形的性质得到，进而可得关于的方程，求解即可；
分当时，点在的上方，当时，点在的上方，两种情况，类比第问的方法，先求出的面积，再根据，代入化简，即可得到与的函数表达式．
【解答】
解：四边形是平行四边形，
，，
，
点是的中点，
，
，
故的值为；
见答案；
见答案．
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